[PDF] Inégalité de Hölder discrete

View - Download Inégalité de Hölder discrete

Previous PDF

Next PDF

Math I - CPGEI - P3 Correction DM 3

Inegalite de H

older discrete

Exercice 13

1. S oitIun intervalle etf:I!Rcontinue, et derivable sur l'interieur de I. Montrer que sifest croissante, alors8x;y2I,8t2[0;1], f(tx+ (1t)y)tf(x) + (1t)f(y):

On dit alors que f est convexe.

2.

Mo ntrerq uep ourt outx;y2R+ett2[0;1], on a

ln(tx+ (1t)y)tln(x) + (1t)ln(y): 3.

S oit( p;q)2[1;+1[22 tel que1p

+1q = 1. (a)

Mon trerq uep ourto uta;b2R+, on a

abapp +bqq (b)

En d eduireq uep ourt outa;b2R+et >0, on a

abpapp +qbqq (c) Mo ntrerqu ep ourt outn2Net tout (a1;:::;an);(b1;:::;bn)2(R+)n, on a n X i=1jaibij nX i=1jaijp!

1=p nX

i=1jbijq! 1=q Correction.1.S oity2Iett2[0;1]. On denit la fonctiongsurItel que pour toutx2I, g(x) =f(tx+ (1t)y)tf(x) + (1t)f(y): Montrons que pour toutx2I,g(x)g(y), ce qui implique l'inegalite demandee. gest derivable sur l'interieur deIcomme composee de fonctions derivables, et pour toutx2I, g

0(x) =t(f0(tx+ (1t)y)f0(x)):

On ag(y) = 0 et pour toutx2I:

xy)tx+ (1t)yx )f0(tx+ (1t)y)f0(x) carf0est croissante )g0(x)0:

De m^eme

xy)tx+ (1t)yx )f0(tx+ (1t)y)f0(x) carf0est croissante )g0(x)0: En faisant le tableau de variation deg, cela montre queg(y) est le maximum degsurI, c'est a dire que8x2I; g(x)g(y). Le resultat s'en suit.

Math I - CPGEI - P3 Correction DM 3

2. S oitx;y2R+ett2[0;1]. La fonction exp, denie surR, est convexe d'apres la question precedente. On applique alors l'inegalite de convexite aa= lnxetb= lny, obtenant: e tlnx+(1t)lnytelnx+ (1t)elny; c'est a dire: x ty1ttx+ (1t)y: On applique alors la fonction ln qui est croissante a l'inegalite precedente, obtenant l'inegalite demandee. 3. ( a) S oita;b2R+. On applique l'inegalite precedente at=1p ,x=apety=bq, obtenant ln( 1p ap+1q aq)1p ln(ap) +1q ln(bq); ce qui se simplie en ln(1p ap+1q aq)lna+ lnb: On applique alors la fonction exp qui est croissante, obtenant l'inegalite voulue. (b)

Il su td ep rendrea0=aetb0=b

dans l'inegalite precedente. (c) S oitn2Net (a1;:::;an);(b1;:::;bn)2(R+)n. D'apres la question precedente, on a pour tout >0:nX i=1jaibij pp n X i=1jaijp+qq n X i=1jbijq:

On poseA= (Pn

i=1jaijp)1=petB= (Pn i=1jbijq)1=q. L'inegalite precedente se reecrit: n X i=1jaibij pp Ap+qq Bq:

On cherche alorstel quel

pp Ap+qq

Bq=AB:

Comme 1p +1q = 1, on peut tenter de trouvertel quepAp=ABetqBq=AB. On trouve =B1=pA 1=q:

On verie ensuite qu'un teldonne bien le resultat.

quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

[PDF] méthode des isohyètes

[PDF] inégalité intégrale valeur absolue

[PDF] méthode de thiessen pdf

[PDF] inégalité de la moyenne

[PDF] méthode des polygones de thiessen

[PDF] inégalités sur les intégrales

[PDF] polygone de thiessen definition

[PDF] propriété intégrale

[PDF] comment tracer les polygones de thiessen

[PDF] inégalité de holder démonstration pdf

[PDF] comment calculer les précipitations annuelles

[PDF] courbes isohyètes

[PDF] exercices et corriges sur le bassin versant

[PDF] inégalité triangulaire propriété

[PDF] inégalité triangulaire preuve