[PDF] Espaces de Lebesgue Exercice 1. Soient f et g des fo

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MAT 3112016

Introduction a l'analyse reelle

Feuille d'exercices#9: Espaces de Lebesgue

Exercice 1.Soientfetgdes fonctions mesurables, positives, denies sur ]0;1[ et telles quef(x)g(x)>1 p.p. sur ]0;1[. Montrer que 16Z ]0;1[f(x)dxZ ]0;1[g(x)dx: Appliquons l'inegalite de Cauchy-Schwarz aux fonctions pfetpg. On a 1 = Z ]0;1[1dx6Z ]0;1[pf(x)g(x)dx6 Z ]0;1[pf(x)2dx! 12 Z ]0;1[pg(x)2dx! 12 Z ]0;1[f(x)dxZ ]0;1[g(x)dx! 12 En passant le tout au carre, on obtient l'inegalite recherchee.

Exercice 2.

Etudier les cas d'egalite :

a) dans l'in egalitede H older; b) dan sl'in egalitede Mink owski. Pour s'echauer, on va redemontrer les inegalites en question par une methode elementaire, i.e. sans convexite. On regarde surR+la fonction auxiliaire':t7!tpp +tqq pourpetqdes nombres reels>1 tels que1p +1q = 1. On a'0(t) =tp1tq1=tp1(11t p+q), donc'est une fonction qui a un unique minimum egal a 1 ent= 1 surR+. En excluant le cas trivial ou = 0 ou= 0, on peut regarder'1q 1p et on voit qu'on a : 6pp +qq avec =pp +qq ()p=q: Ceci permet d'en deduire comme dans le cours (i.e. en prenant=jf(x)jkfkLpet=jg(x)jkgkLq) l'inegalite de Holder pourf;g: !C, avec egalite si, et seulement si, il existe deux nombres ;>0 non tous deux nuls tels quejf(x)jp=jg(x)jqpour presque toutx2 Cela permet aussi de retrouver l'inegalite de Minkowski. Pour le cas d'egalite, on voit d'abord que les fonctionsjfjp,jgjpetjf+gjpdoivent ^etre positivement proportionnelles presque partout par le cas d'egalite dans Holder, puis par le cas d'egalite dans l'inegalite triangulaire, quefetgdoivent ^etre positivement proportionnelles. 1 2 Exercice 3.Soientf1;:::;fndes fonctions positives mesurables, denies sur un ouvert non vide

RN, et soientp1;:::;pn>1 tels quePn

i=11p i= 1. Montrer que Z nY i=1f i(x)! dx6nY i=1 Z jfi(x)jpidx 1=pi C'est une recurrence nie sur l'inegalite de Holder (m^eme principe que pour obtenir une inegalite de convexite avec plus de deux points). Exercice 4.Soientp>2 etfetgdeux fonctions mesurables a valeurs reelles, denies sur un ouvert non vide RN.

1) Montrer quex7!(x2+ 1)p=2xp1 surR+est croissante surR+.

On derive la fonction auxiliaire':x7!(x2+ 1)p=2xp1, ce qui donne

0(x) =px(x2+ 1)p22

(x2)p22 >0:

En particulier, pour toutx2R+, on a'(x)>'(0) = 0.

2) En deduire quep+p6(2+2)p=2, pour tout;>0.

C'est une inegalite homogene de degrepenet en, d'ou l'idee de travailler avec le rapport quand il a un sens. Le cas= 0 est immediat et pour >0 on se ramene a'( )>'(0) = 0 (en multipliant parpl'inegalite ainsi obtenue).

3) [Inegalite de Clarkson] Montrer, en utilisant la question precedente et le fait quet7! jtjp=2

est convexe, que Z jf(x) +g(x)jpdx+Z jf(x)g(x)jpdx62p1Z jf(x)jpdx+Z jg(x)jpdx Avec=jf(x) +g(x)jet=jf(x)g(x)jet en developpant les carres dans le majorant, la question precedente fournit : jf(x) +g(x)jp+jf(x)g(x)jp6(2jf(x)j2+ 2jg(x)j2)p2 = 2p2 (jf(x)j2+jg(x)j2)p2 et ce majorant vaut encore 2 pjf(x)j2+jg(x)j22 p2 . On a fait appara^tre une moyenne pour utiliser la convexite de l'applicationt7!tp2 (convexite impliquee parp>2), ce qui donne : p2 62p2
(jf(x)j2)p2 +(jf(x)j2)p2 et on conclut en integrant sur

4) En deduire que pour tout" >0, il existe >0 tel que, pour toutes fonctions mesurablesf

etgveriant 3 Z jf(x)jpdx61 etZ jg(x)jpdx61; on a Z jfgjpdx 1=p Z f+g2 p dx 1=p 61:
Soit" >0. Pourfetgcomme dans l'enonce et telles que Z jfgjpdx 1=p >", l'inegalite de la question 3 donne Z jf(x) +g(x)jpdx62p1(1 + 1)Z jf(x)g(x)jpdx62p"p; et en divisant par 2 p, il vient : Z f+g2 p dx61("2 )p:

Finalement= 11("2

)p1p convient. Remarque :cet enonce pourra ^etre compris comme un resultat de geometrie de la sphere unite de l'espace de BanachLp( ;dx) des (classes de) fonctionsftelles queR jf(x)jpdx <1. Dans cet espace, les fonctionsfetgcomme ci-dessus denissent des vecteurs de la sphere unite. L'exercice dit alors que pour tout" >0 il existe >0 tel que si deux vecteurs unite deLp( ;dx) sont a distance>"l'un de l'autre, alors leur moyenne est a distance>de la sphere unite. Exercice 5.[Equation fonctionnelle de Cauchy] Soitf:R!Rune fonction (denie en tout point deR) veriant l'equation fonctionnelle de Cauchy f(x+y) =f(x) +f(y);8x;y2R:

1) On noteg(x) :=f(x)f(1)x. Montrer quegest 1-periodique et verie l'equation fonc-

tionnelle de Cauchy.

2) Montrer queg(nx) =ng(x) pour toutn2Zet pour toutx2R.

3) Montrer queg(rx) =rg(x) pour toutr2Qet pour toutx2R.

4) On suppose dans cette question quefest bornee sur [0;1]. Determinerf.

5) Soithune fonction 1-periodique telle queh2 L1([0;1]). Montrer que, pour touty2R,Z

[0;1]h(x)dx=Z [0;1]h(x+y)dx:

6) On suppose dans cette question quefest integrable sur [0;1]. Determinerf.

7) On suppose dans les questions qui suivent quefest mesurable. Montrer qu'il existe2

Q f0gtel queZ

[0;1]eig(x)dx6= 0:

8) Montrer que, pour touty2R,g(y)22Z. Conclure.

4 Exercice 6.On dit qu'un espace vectoriel norme estseparables'il contient une suite denombrable et dense.

1) Soitp>1. Montrer queLp(R) est separable (on pourra penser a utiliser l'espace des

fonctions en escalier). On cherche une famille denombrable dense pour la normeLp. On sait deja queCc(R) est dense dansLp(R), donc il sut de trouver une famille denombrable avec laquelle on peut approcher arbitrairement bien en normeLpn'importe quelle fonction continue a support compact surR. Soitg2Cc(R) et soit" >0. Deja il existeM2Q+tel quegest nul en dehors de [M;M]. Par le theoreme de Heine, la fonctiongest uniformement continue sur [M;M]; en particulier, il existe un entierN>1 tel que pour tousx;y2Ron ajg(x)g(y)j< "des quejxyj<1N . Avec ces considerations, on trouve une fonction en escalier h M;N;= 2MNX k=0 k1[M+kN ;M+k+1N dont les valeurskforment une famille=fkg2MNk=0de nombres rationnels, et qui approche ga"presen normekk1. Pour verier que cela donne le resultat voulu en normeLp, on calcule : Z R jg(x)hM;N;(x)jdx 1p ZM

Mjg(x)hM;N;(x)jdx

1p

6"(2M)1p

Bref, la famille denombrable des fonctionshM;N;pourM;N2N>1et2Q2MNest dense dans (Lp(R);kkLp).

2) Pour tousa;b2Rtels quea < b, on note

B a;b:= f2L1(R) :jjf1]a;b[jjL1(R)<12

Montrer que

B a;b\Ba0;b06=?,]a;b[=]a0;b0[: Supposons queBa;b\Ba0;b06=?; alors il existef2L1(R) telle que kf1]a;b[k<12 etkf1]a0;b0[k<12 ce qui implique quek1]a;b[1]a0;b0[k<1. Ceci impose quea=a0etb=b0car sinon il existerait un intervalle de longueur, c'est-a-dire de mesure de Lebesgue,>0 et donc non negligeable sur lequel les valeurs des deux fonctions caracteristiques dierent de 1, emp^echant tout majorant essentiel dej1]a;b[1]a0;b0[jd'^etre<1.

3) En utilisant la question prececente, montrer queL1(R) n'est pas separable.

Le point precedent exhibe une famille non denombrable de boules ouvertes deux a deux disjointes dansL1(R). Une famille dense doit rencontrer chacune de ces boules et les elements de cette famille qui sont dans les boules sont necessairement deux a deux distincts : cela emp^eche une famille dense d'^etre denombrable et refute donc la separabilite deL1(R). 5

Exercice 7.Soit2]0;1[. On noteL(

) l'ensemble des fonctionsfmesurables sur a valeurs reelles telles queZ jf(x)jdx <+1:

Pourf2 L(

;C), on pose N (f) := Z jf(x)jdx 1=

1) Montrer que sif;g2 L(

), alorsf+g2 L( ) et quef2 L( ) pour tout2R.

Soitx2

. On a soitjf(x)j6jg(x)jsoitjg(x)j6jf(x)j, ce qui nous donne (jf(x)j+ jg(x)j)62jg(x)jsoit (jf(x)j+jg(x)j)62jf(x)j. Dans tous les cas, on obtient (jf(x)j+jg(x)j)62(jf(x)j+jg(x)j): Ainsi Z jf(x) +g(x)jdx6Z (jf(x)j+jg(x)j)dx62Z jf(x)jdx+Z jg(x)jdx <+1 et doncf+g2 L( ). L'etude de la stabilite par multiplication scalaire est plus simple. En eet sif2 L( ) et2R, on aZ jf(x)jdx=jjZ jf(x)jdx <+1:

Ainsif2 L(

2) Montrer que, sif>0 etg>0 p.p. alors

N (f) +N(g)6N(f+g): Remarquons que le membre de gauche est une puissance de R h(x)1p oup=1>1 et h(x) = (f(x))p+ (g(x))p, il est donc tentant d'essayer d'appliquer l'inegalite de Minkowski avecp=1. PosonsF(x) =f(x)sif(x)>0 etF(x) = 0 sinon,G(x) =g(x)sig(x)>0 etG(x) = 0 sinon, de sorte queF=fetG=gpresque partout. L'inegalite de Minkowski nous donne, pour toutx2 F(x) Z

F(x)dx

p1 +G(x) Z

G(x)dx

p1

6(F(x)p+G(x)p)1p

Z

F(x)dx

(p1)pp1+ Z

G(x)dx

(p1)pp1! p1p

En integrant cette inegalite sur

,, on obtient Z F(x) Z

F(x)dx

p1 +G(x) Z

G(x)dx

p1! dx 6 Z

F(x)dx

p Z

G(x)dx

pp1p Z (F(x)p+G(x)p)1p dx: Par linearite de l'integrale, le terme de gauche est egal a R

F(x)dxp+R

G(x)dxp. Comme

FetGsont positives, ce terme est nul si et seulement siFetGsont nulles presque partout, 6 auquel casfetgsont nulles presque partout et l'inegalite est veriee. SiR

F(x)dxp+R

G(x)dxpest non nul on peut simplier les deux c^otes de l'inegalite par le terme Z

F(x)dx

p Z

G(x)dx

pp1p pour obtenir Z

F(x)dx

p Z

G(x)dx

p1p 6Z (F(x)p+G(x)p)1p dx: En remplacantF(x) parf(x),G(x) parg(x)etppar1, on obtient Z f(x)dx 1 Z g(x)dx 1! 6Z (f(x) +g(x))dx: En elevant les deux c^otes a la puissance1, on obtient l'inegalite N (f) +N(g)6N(f+g):

3) Montrer que

(N(f+g))6(N(f))+ (N(g)): Considerons tout d'abord le cas oufetgsont positives. L'inegalite sera demontree une fois demontre que pour toutx>0 ety>0 on a (x+y)6x+y. C'est vrai lorsquex= 0, on peut donc supposerx >0 auquel cas l'inegalite est equivalente a (1 +x1y)61 + (x1y). Considerons la fonctiont7!1+t(1+t)de [0;+1[ dansR. Elle est continue, nulle pour t= 0 et derivable sur ]0;+1[ de deriveet7!(t(1 +t)1)<0 pourt >0 puisque

0< <1. On en deduit donc que 1+t>(1+t)pour toutt>0. Ainsi (x+y)6x+y

pourx>0 ety>0, et doncZ (f(x) +g(x))dx6Z f(x)dx+Z g(x)dx pourfetgpositive. Lorsquefetgne sont pas necessairement positives, on a, pour tout x2 jf(x) +g(x)j6jf(x)j+jg(x)j; ce qui nous donneN(f+g)6N(jfj+jgj). CommeN(jfj+jgj)6N(jfj)+N(jgj), on en deduit que N (f+g)6N(jfj)+N(jgj)=N(f)+N(g):

4) NotonsL(

) leR-espace vectoriel des classes de fonctions deL( ) egales p.p. sur

Montrer que l'expression

d([f];[g]) =Z jf(x)g(x)jdx;8[f];[g]2L( denit une distance surL( ). Cette distance provient-elle d'une norme? Verions que d est une distance. Si d([f];[g]) = 0, on aR jf(x)g(x)jdx= 0. Ainsi f(x) =g(x) pour presque toutx2 et donc [f] = [g]. On a donc d([f];[g]) = 0 si et 7 seulement si [f] = [g]. La propriete de symetrie (d([f];[g]) = d([g];[f])) est immediate, il reste donc a verier l'inegalite triangulaire. En remarquant que d([f];[g]) =N(fg), c'est une consequence immediate de la question 3). Cette distance ne provient pas d'une norme. En eet si tel etait le cas, il existerait une normejjjjtelle que pour tout [f] et [g] dansL( ), d([f];[g]) =jjfgjj. En particulier, pour tout2R, on devrait avoir d([f];[g]) =jjd([f];[g]), ce qui n'est pas le cas puisque pour f2 L( ) et2R, on aN(f)=jfjN(f). Exercice 8.Soitp2]1;+1[ etq2]1;+1[ son exposant conjugue. On se donne les fonctionsf2Lp(RN;C) etg2Lq(RN;C).

1) Pour toutx2RN, montrer quey7!f(xy)g(y) est une fonction integrable surRN.

On calcule ax2RNxe :

Z R

Njf(xy)g(y)jdy6

Z R

Njf(xy)jpdy

1p Z R

Njg(y)jqdy

1q =kfkLp kgkLq; la premiere etape etant l'inegalite de Holder et la seconde provenant du changement de va- riablesy7!xy.

On pose

(f ? g)(x) :=Z R

Nf(xy)g(y)dy:

2) Montrer que la fonctionf ? gainsi denie est bornee, avec

sup R

Njf ? gj6kfkLp(RN) kgkLq(RN):

C'est le calcul de 1. qu'on fait preceder de

j(f ? g)(x)j=jZ R

Nf(xy)g(y)dyj6Z

R

Njf(xy)g(y)jdy:

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