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Chapitre 13 : Intégration

PTSI B Lycée Eiffel

4 mars 2014

Les mathématiciens sont comme les français : quoique vous leur dites, ils le traduisent dans leur propre langue, et le transforment en quelque chose de totalement différent.

Goethe

Qu"est-ce qu"un dilemme?

Un lemme qui sert à prouver deux théorèmes!

Introduction

Comment, encore de l"intégration? On n"avait donc pas déjà tout vu dans le chapître consacré

aux équations différentielles? Mais non, nous avions simplement travaillé la pratique (le calcul effectif

d"intégrales) mais sans creuser la théorie : comment est définie la notion d"intégrale? Nous comblerons

ce manque en présentant la construction de l"intégrale de Riemann, qui permet notamment de justifier

les calculs d"intégrales de fonctions continues (on peut faire mieux avec d"autres théories, mais c"est

complètement superflu pour nous). Nous reverrons égalementégalement notre amie la formule de

Taylor, sous une nouvelle forme faisant intervenir, vous l"aurez deviné, des intégrales.

Objectifs du chapitre :

•comprendre comment la notion de primitive est reliée à la notion nettement plus géométrique

de calcul d"aire.

•savoir utiliser les propriétés de l"intégration pour étudier des suites ou des fonctions définies

par des intégrales.

1 Construction de l"intégrale

Avant de nous lancer dans le cours proprement dit, essayons de faire un petit calcul mal justifié

permettant de comprendre comment ça fonctionne. L"intégration, comme vous le savez sûrement, a

pour but de calculer des aires. Cette notion géométrique d"aire est loin d"être facile à définir et pose

des problèmes de calcul effectif. Pour cela, comme vous le savez aussi, on recourt pour les calculs

d"intégrale à la notion de primitive, qui est en quelque sorte l"opération inverse de la dérivation.

Mais quel est le lien entre les deux? Pour le comprendre, le plus simple est de se ramer à des calculs

d"aires de formes géométriques très élémentaires : les rectangles. 1 Soit doncfune fonction définie et continue sur un segment[a;b]etCfsa courbe représentative.

On s"intéresse à la fonctionAdéfinie sur[a;b]de la façon suivante :A(x0)est l"aire de la portion

de plan délimitée par les droites d"équationx=a;x=x0;y= 0et par la courbeCf. L"aire sera

comptée positivement lorsqueCfse trouve au-dessus de l"axe des abscisses, négativement dans le cas

contraire.

0 1 2 3

012 -1 -2 Proposition 1.La fonctionAest dérivable sur[a;b]et a pour dérivée la fonctionf. Démonstration.(non rigoureuse) Calculons le taux d"accroissement deAentrex0etx0+h(oùhest

un réel positif). Par définition, la quantitéA(x0+h)-A(x)est l"aire comprise entre la courbe, l"axe

des abscisses et les droites d"équationsx=x0etx=x0+h. Supposons pour la clarté du raisonnement

la fonction croissante aux alentours dex0(le cas général n"est pas vraiment plus compliqué), on a

donc une figure qui ressemble à ceci : x0 x0+hf(x0)f(x0+h)h

On peut encadrer l"aire qui nous intéresse par celle des deuxrectangles de largeurhdessinés sur la

figure, l"un ayant pour hauteurf(x0)et l"autref(x0+h). On a donchf(x0)?A(x0+h)-A(x0)? 2 hf(x0+h), ou encoref(x0)?A(x0+h)- A(x0)h?f(x0+h). Mais on obtient alors, en faisant tendrehvers0et en utilisant le théorème des gendarmes,limh→0+A(x0+h)- A(x0) h=f(x0)(notez

qu"on a besoin pour cela de la continuité de la fonctionf). En procédant de la même manière pour

h <0, on montre la dérivabilité de la fonctionA, et on a bienA?(x0) =f(x0).

Le principe de base de cette méthode (tracer des rectangles)est à la base d"une méthode de calcul

approché d"intégrales dont nous reparlerons en fin de chapître. En attandant, essayons de définir

plus rigoureusement cette fameuse notion d"aire sous une courbe, encore une fois en utilisant des rectangles.

1.1 Fonctions en escalier

Définition 1.Soit[a,b]une segment, une liste den+ 1réelsτ= (x0,x1,...,xn)constitue une subdivisiondu segment[a,b]sia=x0< x1<···< xn=a. Lepasde la subdivisionτest le réel strictement positifh= max(x1-x0,x2-x1,...,xn-xn-1). Remarque1.En fait, il serait plus rigoureux de dire que les intervalle[xi,xi+1], pourivariant entre

0etn-1, constituent une subdivision de[a,b].

Proposition 2.Soientτetτ?deux subdivisions d"un même intervalle[a,b], alorsτ?τ?est encore

une subdivision de[a,b](en réordonnant les différents réels). Définition 2.Une fonction?est unefonction en escaliersur le segment[a,b]s"il existe une subdivsionτ= (x0,...,xn)de[a,b]telle que?i? {0,...,n-1},?|]xi,xi+1[est une fonction constante. La subdivisionτest alors appeléesubdivision adaptéeà la fonction en escalier?. Remarque2.Les valeurs prises par la fonction enx0,x1etc n"ont aucune importance, et ne doivent

pas nécessairement être égales à l"une des deux valeurs prises sur les intervalles ayantxipour borne.

Un exemple de fonction en escalier sur le segment[1,8]et de subdivision adaptée à cette fonction

(les aires servant à la définition de l"intégrale sont également indiquées) :

0 1 2 3 4 5 6 7 8

012345

-1 -2 x0 x1x2 x3 x4 Proposition 3.L"ensemble des fonctions en escalier sur un segment est stable par somme et par produit par un réel (ce qui en fait un espace vectoriel réel).

Démonstration.Considérons donc deux fonctions?etψ, en escalier sur[a,b], etτetτ?deux subdi-

visions adaptées respectivement à?et àψ. La subdivisionτ?τ?est alors une subdivision adaptée à

la fois à?et àψ. En effet, chacun des intervalles définis parτ?τ?est inclus dans un des intervalles

définis parτ, la fonction?y est donc constante, et de même pourψ. Chacune des deux fonctions

étant constante sur les intervalles définis parτ ?τ?, toute combinaison linéaire de?etψle sera aussi,

et est donc aussi une fonction en escalier sur[a,b]. La stabilité par produit par une constante est

triviale. 3 Définition 3.Soit?une fonction en escalier sur[a,b]etτ= (x0,...,xn)une subdivision adaptée à?, alors l"intégrale de?sur le segment[a,b]est le nombre réeln-1? k=0(xk+1-xk)αk, oùαkest la valeur constante prise par?sur l"intervalle]xk,xk+1[. Cette intégrale est notée? b a ?(x)dx. Remarque3.La variablexapparaissant dans la dernière notation introduite est une variable muette (comme l"indice d"une somme par exemple) qui peut être remplacée par n"importe quelle autre variable tant qu"on modifie également ledxqui suit :? b a ?(w)dw=? b a ?(x)dx.

Proposition 4.L"intégrale d"une fonction en escalier sur un segment ne dépend pas de la subdivision

τchoisie.

Démonstration.Soientτetτ?deux subdivisions adaptées à une même fonction?, alorsτ?τ?est

également une subdivision adaptée à?(nous l"avons démontré un peu plus haut), il suffit alors de

constater que l"intégrale donnée parτet parτ?τ?est identique (ce sera également le cas pourτ?

etτ?τ?, donc pourτetτ?). Or, pour passer deτàτ?τ?, on se contente de découper chaque

intervalle deτen (éventuellement) plusieurs intervalles. L"égalité découle alors de la distributivité

des sommes : siiréelsy1,...,yiapparaissent entrexketxk+1, en notanty0=xketyi+1=xk+1, i? j=0(yj+1-yj)αk=αki j=0(yj+1-yj) =αk(xk+1-xk).

Proposition 5.L"application??→?

b a ?(x)dxest une application linéaire :? b a ?(x) +ψ(x)dx= b a ?(x)dx+? b a

ψ(x)dx, et?

b a

λ?(x)dx=λ?

b a ?(x)dx. De plus,?c?[a,b],? c a ?(x)dx+ b c ?(x)dx(résultat connu sous le nom de relation de Chasles). Enfin, sila fonction?est positive

sur le segment[a,b], son intégrale sur[a,b]est positive (résultat connu sous le nom de positivité de

l"intégrale).

Démonstration.En prenant une subdivision adaptée simultanément à deux fonctions en escalier?

etψ, la linéarité de l"intégrale découle une fois de plus de la distributivité dans les sommes. Notons

ketβkles valeurs respectives prises par?etψsur les intervalles de la subdivision commune, alors? b a (?+ψ)(x)dx=n-1? k=0(xk+1-xk)(αk+βk) =n-1? k=0(xk+1-xk)αk+n-1? k=0(xk+1-xk)βk= b a ?(x)dx+? b a ψ(x)dx. Le produit par une constante, encore une fois, est encore plus simple. La

relation de Chasles est une conséquence encore plus simple de l"associativité de la somme (on ajoute

cà la subdivision, ce qui ne change pas l"intégrale comme on l"a vu précédemment, et on sépare la

somme en deux), et la positivité est carrément triviale : unesomme de réels positifs est certainement

positive.

1.2 Intégrale d"une fonction continue

Dans tout ce paragraphe, ainsi que dans la suite du chapître,fdésigne une fonction continue sur

un segment[a,b]. Théorème 1.Approximation des fonctions continues par des fonctions enescalier.

Soitfune fonction continue sur[a,b]etεun réel strictement positif. Alors il existe une fonction?

en escalier sur[a,b]telle que?x?[a,b],?(x)?f(x)et|f(x)-?(x)|?ε. 4

Démonstration.Nous admettrons ce résultat, qui est hors programme. Il nécessite en fait le théo-

rème de Heine (hors programme), qui est lui-même une conséquence du théorème de Bolzano-

Weierstraß(encore hors-programme, même si celui-là a été énoncé et même démontré dans notre

chapître sur les suites). Pour essayer de comprendre l"idée(et ce qui pose problème), un début de

raisonnement :fétant supposée continue ena, il existe certainement un intervalle de la forme [a,x1]sur lequel|f(x)-f(a)|?ε(c"est la définition de la limite qui nous le donne). On peut

poser?(x) = infx?[a,x1]f(x)sur l"intervalle[a,x1]. Ensuite, de la même manière, on trouvex2tel que

|f(x1)-f(x)|?εsur[x1,x2], ce qui permet de poser?(x) = infx?[x1,x2]f(x)sur]x1,x2]. Et ainsi de

suite, on construit une subdivisionτet une fonction en escalier vérifiant les hypothèses du théorème.

Le problème est qu"on n"a aucun contrôle sur le pas de la subdivision créée : on pourrait très bien

avoir des intervalles de plus en plus petits, et ne jamais approcher deb, la deuxième borne de notre

segment. Le théorème de Heine assure justement que ce ne serapas le cas, en " renversant » les

quantificateurs dans la définition de la continuité : il assure que, sifest continue sur[a,b]etε >0,

il existe un réelηtel que?(x,y)?[a,b]2,|x-y|?η? |f(x)-f(y)|?ε. Le réelηne dépend plus

deε, ce qui change tout. Théorème 2.En notantE-={?|?x?[a,b],?(x)?f(x)}avec?en escalier sur[a,b], etE+=

{ψ|?x?[a,b],ψ(x)?f(x)}(oùψest, comme vous l"aurez deviné, en escalier sur[a,b]), alors

sup ??E-? b a ?(x)dx= infψ?E+? b a

ψ(x)dx.

Démonstration.Une petite illustration de ce théorème, qui dit simplement qu"on peut encadrer

une fonction continue par deux fonctions en escalier, dont les intégrales peuvent être rendues aussi

proches qu"on le souhaite (ici avec un pas constant, une fonction en escalier minorantfen bleu, et une majorantfen vert) :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

01

La démonstration est en fait relativement simple avec le théorème précédent. On peut déjà constater

que??? E-,?ψ? E+,? b a ?(x)dx?? b a ψ(x)dx(c"est par exemple une conséquence de la

positivité et de la linéarité de l"intégrale, en constatantque la fonctionψ-?est toujours positive).

On en déduit quesup

??E-? b a ?(x)dx?infψ?E+? b a ψ(x)dx(au passage cela prouve l"existence de la

borne supérieure et de la borne inférieure, car le membre de gauche, par exemple, est majorée

par l"intégrale de n"importe quelle fonction en escalier majorantf, et de telles fonctions existent).

Ensuite, le théorème assure l"existence d"une fonction?? E-telle que?x?[a,b],f(x)-?(x)?ε

2(b-a)(qui est un nombre strictement positif comme les autres), mais aussi deψ? E+telle

que?x?[a,b],ψ(x)-f(x)?ε

2(b-a)(on applique le théorème à-fet on prend l"opposé de

5 la fonction obtenue). On a donc,?x?[a,b],0?ψ(x)-?(x)?εb-a. La fonctionψ-?et a une intégrale positive et majorée par n-1? k=0(xk+1-xk)×ε b-a=ε. Autrement dit, en appliquant la linéarité de l"intégrale des fonctions en escalier, b a

ψ(x)dx??

b a ?(x)dx+ε. Cela prouve que sup ??E-? b a ?(x)dx?infψ?E+? b a ψ(x)dx-ε. Comme cette inégalité est vraie quelle que soitε >0, les deux membres sont nécessairement égaux. Définition 4.L"intégrale de la fonctionfsur le segment[a,b]est le nombre réelsup ??E-? b a ?(x)dx = inf

ψ?E+?

b a

ψ(x)dx. On le note?

b a f(x)dx.

Proposition 6.La linéarité de l"intégrale est conservée sur l"ensemble des fonctions continues, ainsi

que la relation de Chasles et la positivité.

Démonstration.Cette démonstration un peu technique fait intervenir la caractérisation des bornes

supérieure et inférieure. Soientfetgdeux fonctions continues sur[a,b],λetμdeux réels, etε >0.

Par caractérisation de la borne supérieure, il existe une fonction en escalier?majorée parfsur[a,b]

telle que0?? b a f(x)-?(x)dx?ε

2λ. De même, il existe une fonctionψmajorée pargtelle que

b a g(x)-ψ(x)dx?ε

2μ. La fonctionξ=λ?+μψest alors une fonction en escalier majorée par

λf+μget telle que?

b a

ξ(x)dx?λ?

b aquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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