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Chapitre 5

Integration

Nous allons construire l'integrale par un procede de passage a la limite. D'abord on denit l'integrale des fonctions en escaliers, ensuite on passe a la limite pour integrer des fonctions plus generales. Le point delicat est que le mode de convergence doit ^etre uniforme.

5.1 Integration des fonctions en escaliers

La notion de fonction en escaliers est assez intuitive. Nous allons la preciser. Denition 5.1.1.Soientaetbdeux reels tels quea < b. (1) Une sub divisionde [a;b] est la donnee d'une liste nie strictement croissante d'elements de [a;b] = (x0;x1;:::;xn) avecx0< x1<< xn telle quex0=aetxn=b. (2) On dit qu'une sub division0est plus ne qu'une subdivisionsi tous les elements de la listesont dans la liste0. (3) On dit qu'une fonction ': [a;b]!Rest en escaliers s'il existe une subdivision = (x0;x1;:::;xn) de [a;b] telle que'soit constante sur chacun des intervalles ]xi;xi+1[ pouriparcourantf0;1;:::;n1g. On dit qu'une telle subdivisionest adaptee a'. Notons que, si'est une fonction en escaliers et siest une subdivision adaptee a', alors toute subdivision plus ne queest elle aussi adaptee a'. Si'et sont deux fonctions en escaliers, et sietsont deux reels, alors'+ est une fonction en escaliers, ainsi que le produit' et la valeur absoluej'j. On denit l'integrale d'une fonction en escaliers de facon evidente : c'est la somme des aires des rectangles delimites par l'axe des abscisses et la courbe de la fonction, les 49
rectangles au-dessus de l'axe etant comptes positivement, ceux en dessous etant comptes negativement. Denition 5.1.2.Soit': [a;b]!Rune fonction en escaliers et= (x0;x1;:::;xn) une subdivision adaptee. Pouriparcourantf0;1;:::;n1g, on notecila valeur de la fonction'sur l'intervalle ]xi;xi+1[. On denit l'integrale de'sur l'intervalle [a;b] comme etant la quantiteZb a '(x)dx=n1X i=0(xi+1xi)ci On verie que cette quantite ne depend que dea,bet', et pas du choix de la subdivision . On denit aussi le symbole Z b a '(x)dx=Z b a '(x)dx (autrement dit, si l'on integre"a reculons», on inverse le signe de l'integrale). On denit enn Za a '(x)dx= 0

Exemple.L'integrale d'une fonction constante

Z b a cdx=c(ba)

Voici les principales proprietes de l'integrale.

Proposition 5.1.3.Soient'et deux fonctions en escaliers sur un intervalleI, et soienta;b2I. (1)(linearite). Sietsont deux reels, alors Z b a ('(x) + (x))dx=Z b a '(x)dx+Z b a (x)dx (2)(positivite). Sia < bet si'(x)0pourx2[a;b], alors Z b a '(x)dx0 (3)(relation de Chasles). Pour toutc2I, nous avons Z b a '(x)dx=Z c a '(x)dx+Z b c '(x)dx 50
Demonstration.(1) On peut supposer quea < b. Soitune subdivision adaptee a', et

0une subdivision adaptee a , alors la reunion[0est une subdivision adaptee a',

a , et a'+ . Le resultat est alors evident. (2)Evident. (3)Evident dans le cas ou acb. Dans les autres cas, on s'y ramene en utilisant le fait queRb a=Ra b.Consequences de la positivite. Corollaire 5.1.4.(1)Si'et sont deux fonctions en escaliers sur[a;b]telles que ' , alorsZb a '(x)dxZ b a (x)dx (2)Si'est une fonction en escaliers sur[a;b], alors Z b a '(x)dxZ b a j (x)jdx Demonstration.(1) En eet, 'est une fonction en escaliers positive, donc par posi- tivite et linearite de l'integrale nous avons 0Z b a ('(x) (x))dx=Z b a '(x)dxZ b a (x)dx ce qu'on voulait. (2) Nous avons, pour toutx2[a;b] j'(x)j '(x) j'(x)j donc, d'apres le premier point Z b a j'(x)jdxZ b a '(x)dxZ b a j'(x)jdx On en deduit le resultat.Le point (2) est un analogue de l'inegalite triangulaire. Remarque.L'ensemble des fonctions en escaliers sur [a;b] est naturellement muni d'une structure deR-espace vectoriel. L'integrale est une forme lineaire sur cet espace.

5.2 Integration des fonctions reglees

5.2.1 Fonctions reglees

Nous introduisons la notion de convergence simple et de convergence uniforme d'une suite de fonctions. 51
Denition 5.2.1.SoitIun intervalle deR. Soit (fn) une suite de fonctions surI, et soit fune fonction surI. (1) On dit que ( fn) converge simplement versfsi, pour toutx2I, la suitefn(x) converge versf(x) (2)

On dit que ( fn) converge uniformement versfsi

sup x2Ijfn(x)f(x)j !n!+10 Denition 5.2.2.On dit qu'une fonctionf: [a;b]!Rest reglee s'il existe une suite de fonctions en escaliers sur [a;b] qui converge uniformement versf. Nous allons maintenant etudier une classe importante de fonctions : les fonctions continues par morceaux. Denition 5.2.3.Soitf: [a;b]!Rune fonction. On dit quefest continue par morceaux s'il existe une subdivision= (x0;x1;:::;xn) de [a;b] telle que, pour tout i, la restriction defa l'intervalle ouvert ]xi;xi+1[ admet un prolongement continu a l'intervalle ferme [xi;xi+1]. En d'autres termes, une telle fonctionfest continue sur chacun des ]xi;xi+1[ et admet une limite nie a droite et a gauche en chaquexi, lesquelles limites peuvent ^etre distinctes et distinctes de la valeur defau pointxilui-m^eme. Remarque.L'ensembleC0pm([a;b]) des fonctions continues par morceaux sur [a;b] est naturellement muni d'une structure deR-espace vectoriel. Cet espace contient deux sous- espaces naturels : l'espaceE([a;b]) des fonctions en escaliers, et l'espaceC0([a;b]) des fonctions continues. En fait, on verie facilement que toute fonction continue par morceaux est somme d'une fonction continue et d'une fonction en escaliers, en d'autres termes : C

0pm([a;b]) =C0([a;b]) +E([a;b])

Cette somme n'est pas directe, mais presque : l'intersection des deux sous-espaces est l'es- pace des fonctions constantes. Autrement dit, la decomposition est unique a une constante pres.

Le resultat a retenir

Theoreme 5.2.4.Une fonction continue par morceaux sur un intervalle ferme borne est reglee.

Nous aurons besoin d'un resultat intermediaire

Lemme 5.2.5.Soitf: [a;b]!Rcontinue.

52
(i)Etant donnen2N, on denit une subdivisionn= (x0;x1;:::;xn)obtenue en decoupant l'intervalle[a;b]ennparties egales. Plus explicitement : x k=a+kn (ba)pourk= 0;1;:::;n On denit alors une fonction en escaliers'nsur[a;b]en posant n(x) =f(xk)pourx2[xk;xk+1[ et'n(b) =f(b). (ii)La suite de fonctions('n)ainsi denie converge uniformement versfsur[a;b]. Demonstration.Soit" >0, nous allons montrer qu'il existe un entierN2Ntel que, pour toutnN, sup x2[a;b]j'n(x)f(x)j " D'apres le theoreme de Heine,fest uniformement continue sur [a;b]. Par consequent, il existe un">0 tel que, pour tout (x;y)2[a;b]2, jxyj "=) jf(x)f(y)j "

Choisissons un entierNtel que1N

(ba)" SoitnN. On considere la subdivisionnet la fonction'ndenies dans l'enonce.Etant donnex2[a;b[, il existektel quex2[xk;xk+1[, et alors jxxkj 1n (ba)" ceci implique, par continuite uniforme def, que jf(x)f(xk)j " c'est-a-dire jf(x)'n(x)j "

ce qu'on voulait.Demonstration du theoreme.Sachant que toute fonction continue par morceaux est somme

d'une fonction continue et d'une fonction en escaliers, il sut de montrer le resultat pour une fonction continue, ce qui a ete fait dans le lemme.53

5.2.2 Construction de l'integrale

Nous allons a present denir l'integrale des fonctions reglees. Proposition-denition 5.2.6.Soitf: [a;b]!Rune fonction reglee, et soit'n) une suite de fonctions en escaliers qui converge uniformement versf. Alors la suite (Rb a'n(x)dx)n2Nest convergente. En outre, sa limite ne depend que dea,b, etf, et pas du choix de('n). On denit alors l'integrale defsur[a;b]comme etant la quantite Z b a f(x)dx= limn!+1Z b a n(x)dx Enn, on pose (comme pour les fonctions en escaliers) Z a b f(x)dx=Z b a f(x)dx et Za a f(x)dx= 0 Demonstration.Nous devons d'abord montrer que la suite Z b a n(x)dx)n2N est convergente. Pour cela, nous allons verier que c'est une suite de Cauchy. Soit" >0, alors, comme la suite ('n) converge uniformement versf, il existeN2Ntel que

8nN;sup

y2[a;b]j'n(y)f(y)j "2(ba)

Autrement dit,

8nN;8x2[a;b];j'n(x)f(x)j "2(ba)

Maintenant, soientpetqdeux entiers superieurs aN. Nous pouvons ecrire, pour tout x2[a;b], j'p(x)'q(x)j j'p(x)f(x)j+j'q(x)f(x)j "ba D'apres les proprietes de l'integrale d'une fonction en escaliers, il vient alors Z b a p(x)dxZ b a q(x)dxZ b a j'p(x)'q(x)jdx Z b a"badx=" 54
ce qu'on voulait. Il reste a verier que la limite ne depend pas du choix de la suite ('n). Soit ( n) une autre suite de fonctions en escaliers qui converge versf. Alors nous avons, pour toutn2Net toutx2[a;b], j'n(x) n(x)j j'n(x)f(x)j+j n(x)f(x)j sup y2[a;b]j'n(y)f(y)j+ sup y2[a;b]j n(y)f(y)j

Il vient alors, pour toutn2N,

Z b a n(x)dxZ b a n(x)dxZ b a j'n(x) n(x)jdx (ba)( sup y2[a;b]j'n(y)f(y)j+ sup y2[a;b]j n(y)f(y)j) et la quantite a droite tend vers 0 quandntend vers +1. On en deduit que lim n!+1Z b a n(x)dx= limn!+1Z b a n(x)dx

ce qu'on voulait.Notons que, dans les deux etapes de la demonstration, on s'est servi de l'uniformite

de la convergence. Proposition 5.2.7.L'integrale des fonctions reglees est lineaire, positive, et satisfait la relation de Chasles. Demonstration.Il sut de passer a la limite les proprietes des l'integrale des fonctions en escaliers. Pour la positivite, on utilise aussi le fait qu'une fonction a valeurs positives

est limite uniforme de fonctions en escaliers a valeurs positives.On en deduit le m^eme corollaire que pour les fonctions en escaliers : sifest une

fonction reglee, alorsZ b a f(x)dxZ b a jf(x)jdx

5.3 Integrale et primitives

5.3.1 Theoreme de la moyenne

Theoreme 5.3.1.Soitf: [a;b]!Rcontinue. Alors il existe un reelc2[a;b]tel que Z b a f(x)dx= (ba)f(c) 55
Demonstration.La fonctionfetant continue, il existe (d'apres le theoreme des bornes et celui des valeurs intermediaires) des reelsmetMtels que f([a;b]) = [m;M]

En particulier, nous avons

8x2[a;b]; mf(x)M

En integrant ces inegalites, on trouve que

m(ba)Z b a f(x)dxM(ba) d'ou m1(ba)Z b a f(x)dxM Mais alors, comme [m;M] est l'image de [a;b] parf, il existec2[a;b] tel que l'on ait

1(ba)Z

b a f(x)dx=f(c) d'ou le resultat.Tout ceci a le m^eme parfum que le theoreme des accroissements nis.

5.3.2 Theoreme fondamental de l'analyse

On xe un intervalleIdeR.

Denition 5.3.2.Soitf:I!Rune fonction. Une primitive defsurIest une fonction F:I!Rderivable, telle queF0=f. Si elle existe, une telle fonctionFest unique a une constante additive pres. L'unicite a une constante pres s'exprime ainsi : siF1etF2sont deux primitives def surI, alors la fonctionF1F2est constante. En eet, (F1F2)0= 0, doncF1F2est constante d'apres le chapitre 3. On peut poser la question suivante : quelles sont les fonctions qui admettent des primitives? Le principal resultat (attribue a Newton) est le suivant Theoreme 5.3.3(Theoreme fondamental de l'analyse).Soitf:I!Rune fonction continue, et soita2I. Alors la fonctionF:I!Rdenie par

F(x) =Z

x a f(t)dt est une primitive defsurI. Plus precisement, c'est l'unique primitive defqui s'annule ena. 56
Demonstration.Soitx02I, nous allons montrer queFest derivable enx0. Soith6= 0, alors nous avons, d'apres la relation de Chasles

F(x0+h)F(x0) =Z

x0+h x

0f(t)dt

D'apres le theoreme de la moyenne, il existe2[0;1] tel que Z x0+h x

0f(t)dt=hf(x0+h)

d'ou

F(x0+h)F(x0)h

=f(x0+h)

La fonctionfetant continue, cette quantite tend versf(x0) quandhtend vers 0.Ce resultat permet de denir de nouvelles fonctions. Par exemple, la fonction log

(logarithme neperien) est denie (pourx >0) par la formule log(x) =Z x 11t dt Notons aussi que le theoreme fondamental ne s'applique pas aux fonctions discontinues. Ainsi, une fonctionf:I!Rcontinue par morceaux est integrable mais elle n'admet pas toujours une primitive. Plus precisement, la fonction x7!Z x a f(t)dt est continue surI, mais n'est en general pas derivable en un point de discontinuite def. Corollaire 5.3.4.Soitf:I!Rune fonction continue. Alorsfadmet des primitives. En outre, siFest une primitive defalors, pour tousa;b2Ion a Z b a f(t)dt=F(b)F(a)

On adopte la notation usuelle

[F(x)]ba=F(b)F(a) Ainsi l'integrale permet de montrer, de facon theorique, l'existence de primitives. In- versement, si l'on a explicitement trouve une primitive, on peut en deduire la valeur numerique d'une integrale. 57
Demonstration.Soitc2I. D'apres ce qui precede, la fonction F c(x) =Z x c f(t)dt est une primitive defsurI. Soient maintenanta;b2I. D'apres la relation de Chasles, nous avons :Zb a f(t)dt=Fc(b)Fc(a) SoitFune autre primitive defsurI, alorsFcFest une fonction constante surI, donc F c(b)Fc(a) =F(b)F(a) d'ou le resultat.5.3.3 Application au calcul de limites de certaines suites Proposition 5.3.5.Soitf: [a;b]!Rune fonction continue. Alors lim n!+1(ba)n n X k=1f a+kn (ba) =Z b a f(x)dx Demonstration.Soit ('n) la suite de fonctions en escaliers denie dans le lemme 5.2.5. Comme ('n) converge uniformement versfnous avons, par denition de l'integrale, lim n!+1Z b a n(x)dx=Z b a f(x)dx

D'autre part

Zb a n(x)dx=(ba)n n1X k=0f a+kn (ba)

d'ou le resultat en retirant le premier terme et en rajoutant le dernier dans la somme.Par exemple, la somme

n X k=1nn

2+k2=1n

n X k=111 + (quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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