[PDF] CALCUL INT´EGRAL 17 nov. 2014 Fonction continue

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17-11- 2014J.F.C. p. 1

CALCUL INT

´EGRAL

I NOTION DE PRIMITIVE

1. Notion de primitive

2. Le cas des fonctions continues

3. Quelques r´esultats utiles pour calculer des primitives

4. Quelques formules de trigonom´etrie utiles pour calculer des primitives

5. Primitives usuelles

II INT

´EGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE SUR UN SEGMENT

1. D´efinition

2. Relation de Chasles

3. Lin´earit´e de l'int´egrale

4. Croissance de l'int´egrale

5. Fonction continue de signe constant et d'int´egrale nulle

6. In´egalit´e de Cauchy-Schwarz

7. Valeur moyenne

III INT

´EGRATION PAR PARTIES. CHANGEMENT DE VARIABLE.

1. Int´egration par parties

2. Changement de variable

IV FORMULES DE TAYLOR

1. La formule de Taylor avec reste int´egral

2. L'in´egalit´e de Taylor-Lagrange

3. La formule de Taylor-Young

4. Remarques

V SOMMES DE RIEMANN

1. D´efinition

2. Le th´eor`eme fondamental

J.F.C. p. 2

VI INT´EGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE PAR MORCEAUX

1. D´efinition d'une fonction continue par morceaux

2. Une caract´erisation

3. Quelques propri´et´es

4. Int´egrale d'une fonction continue par morceaux

5. Propri´et´es de l'int´egrale d'une fonction continue par morceaux

6. Quelques diff´erences importantes

VII SAVOIR FAIRE

VIII UN BREF R

´ESUM´E DE FAUTES`A NE PAS FAIRE

IX COMPL

´EMENTS

1. Moins que rien

2. Une banalit´e bien utile

3. Encadrement de l'int´egrale d'une fonction monotone

4. Des int´egrales usuelles

5. Lemme de Riemann-Lebesgue

6. Encore la stricte croissance

7. Int´egrations par parties it´er´ees

8. Calcul de primitives classiques

9. Premier th´eor`eme de la moyenne

10. Beaucoup plus sur les sommes de Riemann

11. Prolongement des fonctions de classeCp

12. Formule de Taylor-Lagrange

13. Validit´e des formules de Taylor

14. L'´equation diff´erentielley′+ay= 0

X COMPL

´EMENTS (suite) : VALEUR APPROCH´EE D'UNE INT´EGRALE

1. G´en´eralit´es

2. M´ethode des rectangles

3. Le point moyen

4. La m´ethode des trap`ezes

5. Simpson

J.F.C. p. 3CALCUL INT´EGRAL

ISi vous trouvez quelques "coquilles" dans ces feuilles merci de me les signaler (jean-francois.cossutta@wanadoo.fr).

P

Mentionne des r´esultats particuli`erement utiles dans la pratique des s´eries, souvent oubli´es...

⋆Mentionne des erreurs `a ne pas faire o`u des hypoth`eses importantes ou des mises en garde. SD Mentionne des r´esultats qu'il serait bon de savoir d´emontrer.

Notions ou r´esultats qui ne semblent pas toujours tr`es importants mais qui figurent explicitement dans le pro-

gramme donc qui sont exigibles.

A partir de programme des concours 2015 la construction de l'int´egrale est hors programme. On revient donc `a la

notion de primitive suivie de la notion d'int´egrale.

Dans la suite les fonctions consid´er´ees sont des fonctions num´eriques de la variable r´eelle.

Sauf mention du contraire, dans tout ce qui suit,Iest un intervalle deRnon vide et non r´eduit `a un point. Nous

ne le dirons pas `a chaque fois.

De mˆeme lorsque nous ´ecrirons [a,b], et sauf cas particulier, il sera entendu queaetbsont deux r´eels tels que

a < b.

Conform´ement au programme nous donnerons (le plus souvent) des ´enonc´es pour des "fonctions d´efinies sur un

intervalle deR". Clairement beaucoup de r´esultats s'´etendent `a des fonctions dont le domaine de d´efinition est une

r´eunion finie (ou infinie et non pathologique) d'intervalles.

I PRIMITIVES ET INT

´EGRALES

I1. Notion de primitive

Def. 1

Iest un intervalle deRetfune application deIdansR.

Uneprimitive de f sur Iest une application d´erivableFdeIdansRtelle que:∀x∈I, F′(x) =f(x).

Th. 1 Iest un intervalle deRetfune application deIdansR.

1. SiFest une primitive defsurI, pour tout r´eelλ,F+λest encore une primitive defsurI.

2. SiFest une primitive defsurI, toutes les primitives defsurIdiff`erent deFd'une constante.

Autrement dit on obtient toutes les primitives defsurIen ajoutant `aFles constantes. ⋆⋆Le premier r´esultat vaut siIn'est pas un intervalle mais pas le second!x→1 x a surR∗des primitives qui ne diff´erent pas n´eccessairement d'une constante. Th. 2

Iest un

intervalle deR.fest une application deIdansRposs`edant une primitive surI.cest un

´el´ement deIetλun r´eel.

Il existeF1une primitive defsurIet une seule qui prend la valeurλenc(∀x∈I, F1(x) =F(x)+λ-F(c)).

⋆⋆Ici encore ce r´esultat tombe en d´efaut siIn'est pas un intervalle. ⋆⋆La fonction partie enti`ere ne poss`ede pas de primitive surR.

J.F.C. p. 4

I2. Le cas des fonctions continues

Th. 3 Soitfune applicationcontinued'un intervalleIdeR.cest un ´el´ement deIetλest un r´eel. •fposs`ede une primitive surI. •On obtient toutes les primitives defen ajoutant `a l'une d'entre elles les constantes. •fposs`ede une primitive surIet une seule qui prend la valeurλenc. •Toute primitiveFdefsurIest de classeC1surIet∀x∈I, F′(x) =f(x). ⋆⋆Il existe des fonctions qui poss`edent des primitives sans ˆetre continue. Posonsf(0) = 0 et∀x∈R∗,f(x) = 2xsin1 x -cos1 x

·F(0) = 0 et∀x∈R∗,F(x) =x2sin1

x est une primitive de fsurRmais n'est pas continue en 0. I3. Quelques r´esultats utiles pour calculer des primitives... Th. 4 uetvsont deux applications d´erivables deIdansR. •uvest une primitive deu′v+uv′surI. •Sivne s'annule pas surI,u v est une primitive surIdeu′v-uv′ v 2· •Sinappartient `aN,1 n+ 1un+1est une primitive deu′unsurI. Th. 5 uest une application d´erivable deIdansRqui ne s'annule pas surI. •ln|u|est une primitive deu′ u surI. •Sinappartient `aZet sinest dif´erent de-1,1 n+ 1un+1est une primitive deu′unsurI. Th. 6 uest une application deIdansRd´erivable et strictement positive surI. uest une primitive deu′ 2 u surI. •Siαappartient `aRet siαest diff´erent de-1,1 α+ 1uα+1est une primitive deu′uαsurI. P

Pour trouver une primitive def=u′

u βil est fortement conseill´e de partir def=u′u-β, lorsqueβ̸= 1... I4. Quelques formules de trigonom´etrie utiles pour obtenir des primitives...

⋆⋆⋆Il est essentiel de savoir par coeur les formules de trigonom´etrie et de maˆıtriser la technique de lin´earisation

pour calculer des int´egrales faisant intervenir des fonctions circulaires.

Prop. 1

∀a∈R,cos2a=1 + cos(2a) 2 ∀a∈R,sin2a=1-cos(2a) 2

Prop. 2

aetbsont deux r´eels. sinacosb=1 2 sin(a+b) + sin(a-b)) cosasinb=1 2 sin(a+b)-sin(a-b)) cosacosb=1 2 cos(a+b) + cos(a-b)) sinasinb=1 2 cos(a-b)-cos(a+b))

J.F.C. p. 5

Prop. 3θest un r´eels tel quet= tanθ2soit d´efini c'est `a dire tel queθ̸≡π[2π].

sinθ=2t 1 +t2 cosθ=1-t2 1 +t2 tanθ=2t

1-t2siθ̸≡π

2 [2π]

I5. Primitives usuelles

f D

Une primitive defsurD

n∈N x→xn R x→1 n+ 1xn+1 n∈N- {1} x→1 x n R x→ -1 n-11 x n-1 x→1 x R x→ln|x| x→1 2 x R x

α∈R- {-1}

x→xα R x→1

α+ 1xα+1

a∈R∗ +- {1} x→ax R x→1 lnaax x→lnx x R x→1 2 ln2x x→1 xlnx R +- {1} x→ln|lnx| x→lnx R x→xlnx-x x→cosx R x→sinx x→sinx R x→ -cosx x→1 + tan2x D tan x→tanx x→1 cos 2x D tan x→tanx x→1 + cot2x D cot x→ -cotx x→1 sin 2x D cot x→ -cotx (a,b)∈R∗×R x→cos(ax+b) R x→1 a sin(ax+b) (a,b)∈R∗×R x→sin(ax+b) R x→ -1 a cos(ax+b)

J.F.C. p. 6

f D

Une primitive defsurD

x→1 1 +x2 R x→arctanx a∈R∗ x→1 x 2+a2 R x→1 a arctanx a

Et encore...

f D

Une primitive defsurD

x→tanx D tan x→ -ln|cosx| x→1 sinx D cot x→ln|tanx 2 a∈R∗ x→1 x 2+a R x→ln( x 2+a) x→1 1-x2 ]-1,1[ x→arcsinx a∈R∗ x→1 a 2-x2 ]-a,a[ x→1 a arcsinx a

II INT

´EGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE SUR UN SEGMENT

I1. D´efinition

Th. 7etdef. 2

Soitfune application continue deIdansR. Soientaetbdeux ´el´ement deI. Soitfune application continue deIdansR. SiFetGsont deux primitives defsurI:

F(b)-F(a) =G(b)-G(a).

On appelleintegrale defdeaable r´eelF(b)-F(a) o`uFest une primitive quelconque de fsurI.

Cette int´egrale se note

b a f(t)dt=∫ b a f(u)du=∫ b a f(y)dy=···=∫ b a f(♣)d♣ ⋆Dans∫ b a f(t)dt,test une variable muette d'o`u les autres notations...

Th. 8etdef. 3

Soitfune application continue deIdansR. Soitcun ´el´ement deI. PP h:x→∫ x c f(t)dtest la primitive defsurIqui prend la valeur 0 enc. •En particulierhest d´erivable surIet∀x∈I, h′(x) =f(x).

J.F.C. p. 7

Th. 9SDIetJsont deux intervalles deR.fest une application continue deIdansR.uest une application d´erivable deJdansR `a valeurs dansI .Fest une primitive defsurIetcest un ´el´ement deI.

1.∀x∈J,∫

u(x) c f(t)dt=F(u(x))-F(c).

2.φ:x→∫

u(x) c f(t)dtest d´erivable surJet pour toutxdansJ: ′(x) =u′(x)f(u(x)).

Th. 10

SD IetJsont deux intervalles deR.fest une application continue surIdansR.uetvsont deux applications d´erivables deJdansR `a valeurs dansI .Fest une primitive defsurI.

1.∀x∈J,∫

v(x) u(x)f(t)dt=F(v(x))-F(u(x)).

2.ψ:x→∫

v(x) u(x)f(t)dtest d´erivable surJet pour toutxdansJ: ′(x) =v′(x)f(v(x))-u′(x)f(u(x)).

⋆⋆⋆Les points 2 de ces deux derniers r´esultats ne sont pas dans le programme. On les red´emontrera en partant

du point 1. Ne pas oublier de justifier la d´erivabilit´e en utilisant par exemple le th´eor`eme de composition des

fonctions d´erivables. On ´evitera de dire queφ(resp.ψ) est d´erivable comme int´egrale d'une fonction continue!!

I2. Relation de Chasles

Th. 11

Relation de Chaslesfest une application continue deIdansR.a,betcsont des ´el´ements deI. b a f(t)dt=∫ c a f(t)dt+∫ b c f(t)dt.

I3. Lin´earit´e de l'int´egrale

Th. 12

Linearitefetgsont deux applications continues deIdansR.aetbsont deux ´el´ements deI.λest un r´eel. ∫b a (λf+g)(t)dt=λ∫ b a f(t)dt+∫ b a g(t)dt. Cor. C([a,b],R) est l'espace vectoriel des applications continues de [a,b] dansR. L'application qui `a tout ´el´ementfdeC([a,b],R) associe∫ b a f(t)dtest une forme lin´eaire surC([a,b],R).

I4. Croissance de l'int´egrale

Th. 13

Croissancefest une application continue deIdansR.aetbsont deux ´el´ements deI.

On suppose que:

1. a6b

2.fest positive sur [a,b]

Alors:

b a f(t)dt>0

J.F.C. p. 8

Cor. 1fetgsont deux applications continues deIdansR.aetbsont deux ´el´ements deI. On suppose que:

1. a6b

2.∀t∈[a,b], f(t)6g(t)

Alors:

b a f(t)dt6∫ b a g(t)dt.

Cor. 2

fest une application continue deIdansR.aetbsont deux ´el´ements deI.metMsont deux r´eels tels

que:m6M. On suppose: 1. a6b

2.∀t∈[a,b], m6f(t)6M.

Alors:m(b-a)6∫

b a f(t)dt6M(b-a). PP

Ce dernier r´esultat rend alors ais´e l'encadrement de l'int´egrale d'une fonction monotone. Qu'on se le dise

et qu'on se l'utilise. Voir `a ce propos les compl´ements. P

Dans les r´esultats pr´ec´edents des in´egalit´es strictes dans les hypoth`eses donnent des in´egalit´es strictes

dans les conclusions. Voir mieux dans les compl´ements.

Cor. 3

fest une application continue deIdansR.aetbsont deux ´el´ements deI.

On suppose que:

a6b

Alors:

b a f(t)dt6∫ b aquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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