[PDF] Théorisation des phénomènes denseignement des mathématiques

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1-Remerciemens et table des matières.doc - 4 -

- 1986 - Créé le 07/03/2010 3:03

N° d'ordre : 894

THÈSE

PRÉSENTÉE A

L'UNIVERSITÉ DE BORDEAUX I

POUR OBTENIR LE GRADE DE

DOCTEUR d'ÉTAT ES SCIENCES

PAR

Guy BROUSSEAU

THÉORISATION DES PHÉNOMÈNES

D'ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES

Soutenue le 2 décembre 1986 devant la Commission d'examen :

MM. P. DAMEY, Professeur

J. COLMEZ, Professeur honoraire

J. ESTERLE, Professeur .......................................................................................................................................

J. DHOMBRES, Professeur à l'Université de Nantes .................................................Examinateurs

B. MALGRANGE, Correspondant de l'Académie des sciences

G. VERGNAUD, Directeur de recherche au C.N.R.S................................................................................

Je remercie le jury de cette thèse :

Bernard MALGRANGE a distrait de ses recherches en

mathématiques un temps précieux pour regarder fonctionner le séminaire de didactique. Ses indications m'ont permis d'éclaircir mes idées et d'améliorer les textes que je préparais, sa caution m'a donné le courage de les présenter. Gérard VERGNAUD s'est intéressé depuis des années à ce travail. Il m'a convaincu des liens qui unissent fondamentalement la psychologie cognitive et la didactique. Sa solidité, ses conseils, ses analyses, son exemple, ses critiques, ses encouragements aussi, ont été pour moi, un soutien incomparable. Je suis redevable à Pierre DAMEY qui m'a permis de bénéficier de la chaleur et des moyens de l'IREM de Bordeaux, à Jean ESTERLE qui a accepté de rapporter pour l'Université de Bordeaux-I, et à Jean DHOMBRES qui, en acceptant de participer à ce jury, consent à souligner les apports de l'épistémologie et de l'histoire des mathématiques è la didactique. Je n'aurais pu entreprendre ni poursuivre de prendre l'enseignement des mathématiques comme champ d'études scientifiques sans quelques rencontres que j'évoque avec émotion. Depuis 1960, Lucienne FELIX m'a encouragé et prodigué son appui, son aide, ses conseils et son affection. Aux moments les plus difficiles sa confiance m'a permis de persévérer. Instituteur, j'ai été passionné par ses livres, apprenti en mathématiques, j'ai été fasciné par ses aperçus pénétrants et par le contact direct qu'elle

établit avec les plus grands. 1

Observateur de l'enseignement, je suis constamment provoqué par l'originalité et la sagacité de ses remarques. Je ne saurais dire à quel point la confiance que m'a témoigné A. LICHNEROWICZ a été décisive pour moi, ni combien l'attention qu'il a bien voulu prêter à mes premières tentatives m'a été précieuse. René LABORDERIE m'a fortement épaulé à un moment crucial. Jean COLMEZ m'a recruté et m'a guidé pendant de nombreuses années. Parmi tant de leçons que j'ai reçues de lui, une des plus importantes est celle de son courage, de son audace et de sa ténacité pour obtenir les moyens dont nous avons eu besoin : l'IREM, le contrat de l'école Michelet, le 3ème cycle... mais la plus précieuse est celle de la solidité et de la chaleur qu'il apporte dans ses amitiés. Je veux remercier ensuite ceux qui ont pris part directement au travail de rédaction : Nadine BROUSSEAU pour l'annexe sur les décimaux et Jacques PERES pour deux passages du Chapitre la. Régis GRAS s'est intéressé à mon analyse de l'espace explicatif et Harassons RATSIMBA-RAJOHN a collaboré aux analyses factorielles que j'évoque. Merci à tous ceux qui ont participé à la réalisation matérielle de l'ouvrage, à Françoise DEL MORAL et à Nicole BERGERIE qui ont accepté d'assurer la frappe dans des conditions très difficiles, à Michèle DEMIS et au personnel de l'imprimerie de l' I. R. E. M. de Bordeaux. II Cette thèse reflète un travail accompli avec l'aide d'un grand nombre de personnes que je veux associer dans ma gratitude. En premier lieu, tous les maîtres, qui depuis 1972 ont enseigné à l'école Jules Michelet de Talcrce. ll n'était pas facile d'accepter les contraintes liées aux recherches et en particulier le regard qui était porté sur leur travail. Sans leur dévouement aux élèves et au projet commun, sans leur compétence et leur honnêteté professionnelles et sans leur amicale collaboration, rien n'aurait été possible. Tous méritent ma gratitude, chacun pour une contribution spécifique et personnelle et particulièrement la directrice de l'école maternelle et le directeur de l'école élémentaire, pour leur vigilance et leur engagement. Je veux aussi remercier ceux des administrateurs qui ont eu à connaître le projet et qui l'ont soutenu en prenant des risques, simplement pour remplir leur mission. Il y en a eu plus qu'on ne pourrait le croire et à des niveaux très différents. Tous les inspecteurs de l'éducation qui se sont succédés dans la circonscription, et qui ont eu à s'accommoder d'une singularité aussi gênante et délicate, ont su trouver des solutions pour l'aider à survivre. Je soupçonne leurs difficultés et ma gratitude en est d'autant plus grande. Mes travaux du Groupe des 16 de l'IREM, pilier des recherches et des actions au niveau élémentaire, composé des Professeurs d'Écoles Normales de la région, ont été une source permanente de questions et de défis. Que tous soient sûrs de mon attachement à leur aventure, leur apport est visible dans la bibliographie. Mes collaborateurs du 3ième Cycle ont tous fortement marqué mon travail et leurs enseignements m'ont été très utiles. Dans un domaine aussi peu prometteur pour une carrière que la didactique des mathématiques, un étudiant ne peut qu'avoir une forte personnalité, un solide enthousiasme et souvent une expérience déjà riche. J'en ai bénéficié et on trouvera dans ces pages les traces de nos travaux communs. III Ma reconnaissance s'étend à toute la communauté des didacticiens, aussi bien à ceux que j'ai malmenés qu'aux autres. Sans leurs travaux, sans leur opiniâtre désir de comprendre et d'explorer les phénomènes d'enseignement, ces prolégomènes seraient de bien peu d'intérêt. Dans ce domaine je ne peux pas taire l'importance des longues discussions durant tant d'années avec Yves CHEVALLARD et André ROUCHIER mais comment arrêter la liste avant Nicolas BALACHEFF, Alain MERCIER, Régine DOUADY et tous ceux qui me sont proches et avant Georges GLAESER qui s'est consacré à la didactique et qui m'a fait l'amitié de critiquer méticuleusement certains textes. I

S O M M A I R E

-o0o-

INTRODUCTION .................................................................................................. P. 1

Bibliographie de l'introduction ...............................................................30, CHAPITRE I : PROBLÈMES DÉ DIDACTIQUE CENTRÉS SUR UNE NOTION MATHÉMATIQUE : L'ENSEIGNEMENT DES DÉCIMAUX ......................35

® Problèmes d'enseignement des décimaux ....................................................36

1. L'enseignement des décimaux dans les années 60

en France ................................................................................................39

2. L'enseignement

des décimaux dans les années 70

en France ................................................................................................53

3. Quelques problèmes de l'enseignement des décimaux .75 Problèmes

de didactique des décimaux

1. Introduction ...........................................................................................82

2. Conception générale d'un processus d'enseignement......................83

3. Analyse du processus et de sa réalisation ......................................103

4. Analyse d'une situation : L'épaisseur d'une feuille..........................131

5. Questions de didactique des décimaux ...........................................152

6. Conclusion ..........................................................................................166

Bibliographie du Chapitre 1 ............................................................169 CHAPITRE II : PROBLÈMES DE DIDACTIQUE CENTRÉS SUR

L'ÉLÈVE : LÉS ÉCHECS ÉLECTIFS.......................................................................173

1. Approche globale et statistique, les échecs électifs en

mathématiques .....................................................................................174

0 Définitions et caractères fondamentaux de l'échec en

mathématiques .................................................................................175

0 Plan d'études et méthodes ...............................................................181

0 Conclusion de l'approche statistique ...........................................191

2. Approche

clinique .................................................................196

0 Introduction ........................................................................................196

0 Exemple d'analyse de situation .......................................................197

0 Étude du cas de Gaël .......................................................................216

0 Conclusion .........................................................................................274

0 Bibliographie du Chapitre II ..............................................................279

CHAPITRE Ill : FONDEMENTS ET MÉTHODES DE LA DIDACTIQUE

DES MATHÉMATIQUES .............................................................................. 281

0 Objet des études en didactique ................................................. 282

0 Phénomènes de didactique ...........................................................288

0 Éléments pour une modélisation ...................................................295

0 Cohérence et incohérences de la modélisation envisagée :

les paradoxes du contrat didactique .......................................... 314

0 Modélisation des situations didactiques ...................................... 326

CHAPITRE IV : QUESTIONS DE MÉTHODOLOGIE ......................................... 362

1. L'observation des activités didactiques .......................................365

2. Méthode de contrôle de l'analyse factorielle des correspondances par

l'analyse de l'espace explicatif 391

3. A propos d'ingénierie didactique : l'étude d'une situation 399

CHAPITRE V : COURTES ÉTUDES DE DEUX PROBLÈMES PRATIQUES DANS LE

CADRE DE LA THÉORIE DES SITUATIONS

DIDACTIQUES ................................................................................................433

1. L'enseignement de l'énumération ............................................ 434

2. L'enseignement de la géométrie élémentaire en tant que

modèle de l'espace 447

VOLUME ANNEXE :

Les décimaux dans la scolarité obligatoire ................p. 1 à 279

Textes divers

0 Tendances originales des recherches en didactique

des mathématiques ................................................. 1 à 30

0 Les obstacles épistémologiques et les problèmes

en mathématiques ................................................31 à 64

0 The fragility of knowledge .......................................65 à 97

0 Peut-on améliorer le calcul des produits de

nombres naturels ? ...............................................98 à 111

0 Documents internes ................................................112 à 118

Le texte ci-après plonge ses racines dans plus de vingt ans d'activités qui sont aussi difficiles aujourd'hui à présenter qu'à oublier. Il est possible qu'un jour il s'avère utile de rapporter l'histoire détaillée de ces expériences afin d'analyser les circonstances qui ont présidé à l'apparition de tel ou tel concept et de reconstituer la chaîne des questions, des observations et des réponses qui ont justifié le rejet d'un point de vue ou l'acceptation d'un autre. Mais tel n'est pas l'objet du présent travail et nous nous contenterons d'un bref rappel car il s'agit plutôt ici d'extraire de ces expériences quelques remarques utiles aux débats du moment. Ces débats sont de trois ordres : d'abord les débats sur l'utilité comparée, pour l'enseigne- ment des mathématiques, des innovations, des réflexions, des expériences, des recherches ou des théorisations de nature didactique ou d'autres, ensuite les débats sur la constitution même d'une théorie de la didactique, ses concepts et ses fondements, enfin les débats plus proprement méthodologiques. Nous présenterons nos observations suivant ce plan, mais il est clair que ces débats sont liés de façon dialectique et que leur séparation ne peut être qu'artificielle. De plus, il y a encore dans ce domaine, un décalage choquant entre les minuscules fragments de réalité qui peuvent être objectivement décrits et reproduits, et la déprimante complexité des concepts qui se proposent pour les expliquer. C'est pourquoi l'ambition d'insérer nos remarques dans un vaste tableau d'ensemble paraîtra présomptueuse à beaucoup. Circonstance aggravante, le problème central sera celui de la théorisation, les deux autres, l'utilité et la méthodologie, s'articulant autour de lui. Quelqu'un jugeant décousue cette collection de travaux et insuffisants nos efforts pour les amalgamer, estimera même notre projet prétentieux et manqué. 2 Mais je sais à quel point une oeuvre visée théorique peut être stimulante et utile à ceux-là même qu'elle ne convainc pas, même si elle doit être finalement rejetée, à condition qu'elle soit assez vaste, assez plausible pour résister un temps. Pendant quinze ans, j'ai nourri mes travaux de la critique et de la compréhension de certaine théorie, la seule à ma disposition. Je n'y croyais pas, mais elle s'imposait à moi car elle représentait très bien ce que l'on pouvait croire, ce que j'avais cru moi-même et qui m'aurait sans doute longtemps embarrassé s'il ne s'était pas trouvé un AUTRE pour l'écrire. Car il est plus facile de faire face à un texte qu'à un tissu d'opinions diffuses. L'acceptation de servir à mon tour d'appui et à la réflexion de mes lecteurs est la seule raison pour laquelle, après beaucoup d'hésitations, je livre aujourd'hui une étude aussi imparfaite.

LA THÈSE FONDAMENTALE

1 La thèse fondamentale que (ouvrage vise à soutenir) affirme donc que

pour produire, améliorer, reproduire, décrire, et comprendre les situations d'enseignement des mathématiques, il est devenu nécessaire - et possible - de théoriser 3 Inversement, cette thèse peut paraître comme banalement vraie : puisque l'enseignement des mathématiques pose des problèmes culturels, sociaux et économiques, étudions-le ; l'objet d'étude est identifié : puisque chacun peut reconnaître "à l'oeil nu" une leçon de mathématiques et ses protagonistes.

I1 est évident que pour améliorer

4. Il faut réfuter ce raisonnement : l'étude des phénomènes, liés

Dans ce dernier cas l'enseignement des mathématiques devient le référent d'un objet théorique qui doit être déterminé par une définition interne placée au coeur d'un ensemble de relations : une théorie

PROLÉGOMÈNES à UNE THÉORISATION :

HISTOIRE D'UN PROCESSUS EMPIRI

enthousiasme pour l'organisation bourbachique des mathématiques ainsi que mon adhésion aux conceptions didactiques et épistémologiques de l'époque : leçons non verbales de C. GATTEGNO ; parti-pris de donner directement du sens aux écritures formelles, usage des dessins et flèches de G. PAPY ; lourde insistance sur des pratiques et des matériels "isomorphes" comme moyen d'abstraction. Ces matériels étaient semblables à ceux que Z. DIENES (que je n'avais pas lu et qui n'était pas traduit ni publié en français) allait préconiser ; subtile progression où toujours les concepts nouveaux sont introduits implicitement avant d'être reconnus, symbolisés, formulés puis expliqués, puis réappliqués et enfin rappelés périodiquement. Cet ordre en permet éventuellement la définition mais seulement à la fin de l'étude. Cette méthode permet de concilier un contrôle axiomatique

2 Étude d'une progression_

Comme les leçons n'étaient qu'évoquées dans ce texte, MM. DERAMECOURT et HOUZIAU réalisèrent les 80 fiches nécessaires qui furent utilisées dans une quinzaine de classes de Dordogne sous leur contrôle [25]. Nos moyens ne nous permettaient d'obtenir et de traiter que les pourcentages de réussite et d'abstention dans chaque classe. J'avais utilisé, pour construire ma progression, un système de matrice assez complexe qui me permettait de tenir compte des diverses conditions de dépendance que je croyais devoir respecter, aussi bien entre les différents concepts engagés dans des leçons successives, qu'entre les formes de connaissances sous lesquelles ils se présentaient. Par exemple, on peut voir [ 6 ] que 5 l'égalité était introduite successivement et avec des sens différents, égalité de longueurs de baguettes, de poids, d'ensembles, de sommes de longueurs, de prix etc... Je préparai donc pour chaque type de dépendance que j'espérais tester, une matrice indiquant tous les couples de leçons qui se trouvaient ainsi liées a priori. Par exemple, des couples d'étapes didactiques d'un même concept : introduction/schématisation ou formulation/application ou application/réapplication... ou introduction/généralisation ou des couples de leçons liées axiomatiquement ou des ensembles de leçons ayant trait à la même notion mathématique. Ces matrices (30 x 30) devaient pouvoir se superposer à la matrice des corrélations observées de façon à voir si les valeurs des coefficients de corrélation pour les couples repérés différaient des autres (par un test non paramétrique tel que le randomization test par exemple). On pouvait penser que les classes qui avaient moins bien réussi une première leçon (relativement à leur moyenne) devaient être handicapées pour la deuxième en cas de dépendance didactique. Après un gros travail (que je repris plus tard avec Mme FRANCHI-

ZANETACCHI [ 30 ), je m'aperçus

que très peu de corrélations "leçon I - leçon J" étaient significatives : il n'y en avait guère plus que ce que le seuil choisi laissait espérer si toutes les leçons avaient été indépendantes (8 % au seuil de 5 que l'essentiel des variations s'exprimait par les taux d'abstentions. mais que la variance inter-classe était significativement faible, c'est-à-dire que les résultats variaient de façon assez semblable d'une façon à une autre dans toutes les classes. Deux dépendances seulement pouvaient être déclarées observées : 6 l'une liait entre elles les leçons qui utilisaient lesquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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