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18 déc. 2007 en cours d'institutionnalisation utilisé dans des exercices. Transmission directe du savoir. Non utilisation d'un milieu adidactique.

LUNIVERSITE BORDEAUX I DOCTEUR SPECIALITE : Didactique

Dans l'enseignement supérieur l'étude de transcriptions de cours et de Brousseau ci-dessus) ; et c'est du sein des mathématiques savantes elles-mêmes.

Pourquoi enseigner le triangle

Pour nous les questions vives motivant l'étude du triangle en cours de nous nous référons aux travaux de Guy Brousseau et à la thèse de René Berthelot ...

Isabelle Bloch 0

N° d'ordre : 2174

THESE

PRESENTEE A

L'UNIVERSITE BORDEAUX I

ECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE

POUR OBTENIR LE GRADE DE

DOCTEUR

SPECIALITE : Didactique des mathématiques

par

Isabelle BLOCH

-oOo- L'enseignement de l'analyse à la charnière lycée / université Savoirs, connaissances et conditions relatives à la validation

Thèse soutenue le 19 janvier 2000

Après avis de Mme Michèle ARTIGUE

M. François CONNE Rapporteurs

devant la commission d'examen: MM.

Jean ESTERLE

Michèle ARTIGUE

René BERTHELOT

Guy BROUSSEAU

Pierre CLANCHE

François CONNE

André ROUCHIER Professeur Université Bordeaux 1

Professeur IUFM Champagne - Ardennes

Maître de conférences IUFM d'Aquitaine

Professeur émérite

Professeur Université Bordeaux 2 V. Segalen

Professeur Université de Genève

Professeur IUFM d'Aquitaine Président

Directeur de thèse

Rapporteur du jury

REMERCIEMENTS

Kind of Blue

Miles Davis

J'entends, dit Alice, qu'un enfant ne peut s'empêcher de grandir. Un enfant ne le peut sans doute pas, dit Humpty-Dumpty, mais deux enfants le peuvent à coup sûr. Convenablement aidée, vous eussiez pu vous arrêter à sept ans.

Lewis Carroll, " A travers le miroir ».

Je remercie Guy Brousseau d'avoir accepté de diriger ce travail ; non seulement les

discussions avec lui ont été passionnantes, mais la découverte du monde des mathématiques

de l'école primaire m'a ouvert des horizons qui ne sont pas près de se refermer. Je le remercie

pour m'avoir aidée à découvrir et à comprendre la théorie des situations, dont j'ai pu constater

la " déraisonnable efficacité » pour étudier l'enseignement de l'analyse du secondaire à

l'université. Je tiens à remercier tout particulièrement René Berthelot, pour son amitié et sa disponibilité ; pour ses analyses rigoureuses, sa pensée incisive ; pour avoir mis à ma

disposition son savoir en didactique, qui est considérable, sa bibliothèque, qui l'est aussi, et

une voire deux oreilles attentives à mes questions et mes difficultés. Je remercie Pedro Alson, qui m'a vivement encouragée à utiliser la situation " Graphiques et Chemins » issue de son ouvrage " Metodos de graficacion », et m'a aidée de ses précisions et ses conseils. Je remercie François Conne, non seulement pour avoir accepté d'être rapporteur de cette thèse, mais aussi pour les échanges stimulants qui m'ont permis de progresser, pour son humour réconfortant et pour ses encouragements amicaux. Je remercie Michèle Artigue d'avoir accepté de se rendre disponible pour être

rapporteur de cette thèse, et tous les membres du jury, en particulier Jean Esterle qui a accepté

de le présider. Je suis très reconnaissante aux amis et collègues qui m'ont ouvert leurs classes et communiqué des travaux d'élèves, Guillaume Anachi, Marie-Noëlle Arnould, Michel

Arnould et Antoine Hollard.

Merci enfin à tous les élèves de Première Scientifique du lycée Saint-John Perse à Pau,

qui ont participé avec dynamisme et humour à la recherche de graphiques et chemins, et à la découverte des propriétés du flocon de von Koch.

Merci à Thomas et Thalia, qui, bien qu'étant deux, ne se sont pas arrêtés à sept ans, et

ont continué de grandir malgré les absences (réelles ou virtuelles) de leur mère ; et merci, du

Isabelle Bloch 2

fond du coeur, à Jean de les avoir aidés à surmonter ce que cette période pouvait avoir pour

eux (et pour lui) de difficile). L'INRP et l'IUFM d'Aquitaine m'ont accordé des heures de décharge sur mon service

d'enseignante durant trois ans, et ont ainsi contribué à ce que cette thèse voit le jour ; qu'ils en

soient remerciés. 3 Teaching calculus / analysis at the turning point between Secondary School and University. Knowledge, knowing and conditions for validation. The study of maths curriculum in the last grades of secondary schools in France along 30 years brings to light important variations that took place since 1962 in the contents of calculus at this level. These evolutions concern the objects of calculus that are taught as well as the procedures used by students and teachers. The suggested methods affect the knowledge that students are likely to use when doing the given tasks; and we observe that since the 90ths', the tasks given to students do not valorise validation. We study the possibilities of establishing an real relationship to the knowledge in calculus, at this level of teaching, and to allow the students to build appropriate methods. We study the question of validation in teaching analysis through the following directions: - the mathematical theory; its organisation; the methods of proof and the formalization; how these methods can be introduced in the teaching, in a way that students can understand; - the existence of fundamental situations concerning the concepts of function and limit, and the possibility of implement such situations in the class. Besides, the study of the different settings of representation that are at stake to build a suitable environment for the teaching of function and limit makes new potentialities come to light, particularly in the graphic and formal settings. The experimentation is carried through the building of situations with an a-didactical component for the teaching of function and limit, and through the observation of their implementation in a scientific class of 17 years-old students. This makes us first question the knowledge and professional knowing a teacher uses to manage a teaching situation in analysis, with an a-didactical component, and then draw a pattern to the teacher's milieu. We also submit a test to the students and analyse the results with statistic tools so as to test the main features of the learning. In the last chapter we study lectures at undergraduate level, and student's papers with lots of errors about calculus definitions. This leads us to question the knowledge that is compulsory at University level; we wonder how it is possible to link it with Secondary school's knowledge and habits. As a conclusion, we shall suggest some remarks about the balance between definitive knowledge and what students must get as an experience in the teaching of a new mathematical theory; this balance affects the possibilities of validation and finally, the future prospects of teaching analysis from Secondary Schools to University.

Key words

Analysis, functions, graphical representations, limits; fundamental situations in analysis; knowing, knowledge, validation in teaching analysis; role of the teacher, pattern of the teacher's milieu, mathematical activity of teacher and students. L'enseignement de l'analyse à la charnière lycée / université: savoirs, connaissances et conditions relatives à la validation. Une étude de l'enseignement de l'analyse au niveau des dernières classes de l'enseignement

secondaire français fait apparaître des variations importantes à chaque réforme depuis 1962,

variations qui concernent aussi bien l'objet du savoir que les procédures conseillées par les programmes et les manuels. Les méthodes préconisées conditionnent les connaissances

utilisables par les élèves pour effectuer les tâches prescrites, et l'équilibre connaissances /

savoirs caractérise la place dévolue à la validation. Nous étudions les possibilités d'établir à ce

Isabelle Bloch 4

niveau un rapport effectif au savoir de l'analyse et de permettre à l'élève de construire des

connaissances appropriées. Par ailleurs l'examen des registres et des ostensifs disponibles pour construire un milieu

propre à l'enseignement des notions de fonction et de limite, fait apparaître des potentialités

non exploitées dans les registres graphique et formel. Ceci conduit à construire et à expérimenter dans la classe de première Scientifique, une situation pour l'enseignement de la notion de fonction : la situation " Graphiques et Chemins » , et une situation pour une première approche de la notion de limite de suite : la situation du flocon. Les problèmes rencontrés dans la gestion des situations comportant une dimension a- didactique amènent à s'interroger sur les connaissances que le professeur met en oeuvre pour gérer une situation d'enseignement comportant une telle composante, et sur une modélisation possible du milieu du professeur. Un questionnaire est construit pour l'étude des connaissances sur l'analyse; son traitement statistique a pour but de tester l'effectivité de l'apprentissage.

Dans l'enseignement supérieur, l'étude de transcriptions de cours et de copies d'élèves permet

de s'interroger sur les connaissances nécessaires à ce niveau, et sur l'articulation avec l'enseignement secondaire. En conclusion, nous proposons quelques pistes de réflexion sur l'équilibre connaissances / savoirs dans l'enseignement des débuts d'une théorie mathématique, et sur l'enseignement possible, au niveau du secondaire, de connaissances requises dans la suite du cursus.

Mots clés:

Analyse, fonctions, représentations graphiques, limites; ostensifs graphiques, ostensifs formels de fonctions ; théorie des situations et situation fondamentale de l'analyse; savoirs, connaissances, validation dans l'enseignement de l'analyse; rôle du professeur, modélisation du milieu du professeur, activité mathématique enseignant/enseigné. 5

SOMMAIRE

REMERCIEMENTS 1

SOMMAIRE 5

AVANT-PROPOS 11

QUESTIONS SUR L'ENSEIGNEMENT 17

DE L'ANALYSE 17

I. INTRODUCTION 17

I.1. UN CONSTAT D'INSTABILITE 17

I.2. LA " DERIVE » DES SUJETS DU BACCALAUREAT 18 II.1 CONTRATS DIDACTIQUES DANS L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR 20

II.2. DU COTE DES INSTITUTIONS 24

II.3. OBJETS EXPLICITES ET IMPLICITES DE L'ANALYSE 26

II.4. L'ANALYSE NON STANDARD 30

III. difficultes de l'enseignement de l'analyse dans l'enseignement secondaire 31

III.1. PROBLEMES LIES AU SAVOIR 31

III.2. PHENOMENES INSTITUTIONNELS 32

III.3 INTRODUCTION A LA DIDACTIQUE DE L'ANALYSE 34 III.4 OBJETS MATHEMATIQUES ET CHAMP DE PROBLEMES DANS

L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE 39

le milieu en analyse 48 IV. 1. LES THEORIES EN DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES 48

IV.2 L'ENSEIGNEMENT DE L'ANALYSE : LE MILIEU 51

IV.3 CONNAISSANCES ET SAVOIRS 54

V. questions 55

resume du chapitre 1 57

L'ENSEIGNEMENT DE L'ANALYSE : CONNAISSANCES ET

SAVOIRS 59

MILIEU DU PROFESSEUR 59

Introduction 59

I. Connaissances et SAVOIRs, 62

des modEles pour l'analyse du milieu 62 I.1. CONNAISSANCES ET SAVOIRS DANS LA PERSPECTIVE DE LA DETERMINATION D'UN MILIEU POUR L'ENSEIGNEMENT DE L'ANALYSE 62

1.2 ACTIVITE MATHEMATIQUE DU COUPLE ENSEIGNANT/ENSEIGNE 68

II. MODELISATION DES SAVOIRS ET CONNAISSANCES du professeur 71

Isabelle Bloch 6

II.1 QUESTIONS SUR LA SITUATION DU PROFESSEUR 71

II.2 ANALYSE ASCENDANTE DE LA SITUATION DU PROFESSEUR 75 II.3 ACTIONS ET CONNAISSANCES DU PROFESSEUR DANS LA

SITUATION D'APPRENTISSAGE 82

III Connaissances du professeur dans le milieu pour l'enseignement : 95 ?tude d'un exemple en analyse 95

III.1 TRANSCRIPTION DE LA SEANCE DU 20/11/96 96

III.2 ACTIVITE MATHEMATIQUE ET CONNAISSANCES DES ELEVES 99 III.3 ACTIVITE MATHEMATIQUE ET CONNAISSANCES DU PROFESSEUR100

III.4 DIMENSION A-DIDACTIQUE DE LA SITUATION 103

CONCLUSION 105

L'ANALYSE 113

DANS L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE : STRUCTURATION DU

MILIEU 113

PREUVES ET VALIDATION 113

SITUATIONS FONDAMENTALES 113

I. les milieux relatifs aux objets de l'analyse dans le secondaire 113 I.1 STRUCTURATION DU MILIEU DE L'ENSEIGNEMENT DE L'ANALYSE :

DES PROCESSUS INFINIS AUX PREUVES NUMERIQUES 114

I.2 UN MILIEU POUR LA FORMULATION ET LA VALIDATION EN ANALYSE :

LES NOMBRES 117

I.3 LE MILIEU DE LA SITUATION DIDACTIQUE 121

I.4 CONNAISSANCES ET SAVOIRS DANS L'ENSEIGNEMENT DE LA

NOTION DE LIMITE 122

II. etude de quelques paradigmes d'enseignement 125 de l'analyse et recherches sur l'enseignement 125 II.1 LE MILIEU DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE DEPUIS 1965 125 II.2 APPORTS DE QUELQUES ETUDES SUR L'ENSEIGNEMENT DE

L'ANALYSE 143

III. modelisation par des situations fondamentales en analyse 154 III. 1 SITUATIONS FONDAMENTALES : EXISTENCE ET A-DIDACTICITE 154

III.2 SPA ET STRUCTURATION DU MILIEU 161

conclusion 165

ETUDE DES OSTENSIFS 169

POUR L'INTRODUCTION DE 169

LA NOTION DE FONCTION 169

I. les ostensifs 169

I. 1 NECESSITE DE L'ETUDE DES OSTENSIFS 169

I. 2 REMARQUES SUR LES OSTENSIFS 171

II. organisation des ostensifs : 173

theories, registres, 173 7 representants 173

II.1 THEORIES ET REGISTRES DE REPRESENTATION 173

II. 2 OSTENSIFS 175

II. 3 REPRESENTANTS 175

III. fonctionnalites des repertoires et des representants 179 III. 1 LE REGISTRE NUMERIQUE ET LE REGISTRE DES TABLEAUX 179

III. 2 LES TABLEAUX DE VARIATIONS 181

III. 3 LE REGISTRE GEOMETRIQUE 184

III. 4 LE REGISTRE ALGEBRIQUE 187

III. 5 LE REGISTRE FORMEL (SYMBOLIQUE) 190

III. 6 LE REGISTRE GRAPHIQUE 192

IV. Changements de repr?sentants 198

IV.1 PROBLEMATIQUE DU CHANGEMENT DE REPRESENTANTS 198

IV.2 CONNAISSANCES ASSOCIEES A L'UTILISATION DES

REPRESENTANTS ET AUX CHANGEMENTS DE REPRESENTANTS 202 V conclusion : choix des ostensifs pour la construction de milieux 210

V. 1 LE MILIEU OBJECTIF : TACHES ET OSTENSIFS 210

V. 2 UN MILIEU POUR LA FORMULATION ET LA VALIDATION 211

LES FONCTIONS : LA SITUATION 214

"GRAPHIQUES ET CHEMINS" 214 I. eTUDE DE LA SITUATION generique "GRAPHIQUES ET CHEMINS" 214

I.1 INTRODUCTION 214

I. 2 L'ORGANISATION GENERALE DE LA SITUATION 216

I. 3 LES OBJECTIFS DES SITUATIONS DIDACTIQUES ASSOCIEES A LAquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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