EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE DESS IM Evry option PDF

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Corrigé Processus stochastiques

Examen du 7 janvier 2013 – Durée : 2h30. Exercice 1. 1. Dans tous les cas on écrit le processus demandé comme f(t

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[PDF] EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE DESS IM Evry option

EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE

DESS IM Evry, option ¯nance

Monique Jeanblanc

Universit e d'EVRY

Octobre 2005

Contents

1 Rappels 7

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Esp erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Algµebre b eta-Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Mouvement Brownien 17

2.1 Propri et es el ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Compl ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8 Problµeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.1 Partie I : R esultats pr eliminaires . . . . . . . . . . . . .

2.8.2 Partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.3 Partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Int egrale d'It^o 33

3.1 Int egrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Compl ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Brownien g eom etrique et extensions. . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4CONTENTS

4 Equations di® erentielles stochastiques 49

4.1 Equation lin eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Equations di® erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Exemples 59

5.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Processus de Bessel carr e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Autres processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Girsanov 67

6.1 R esultats el ementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Crochet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Cas multidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5 Temps d'arr^et. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Compl ements 87

7.1 Th eorµeme de L evy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 Equations r etrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3 Th eorµemes de repr esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.7 Options barriµeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.8 M eandres, ponts, excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Processus µa sauts 99

8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2 Poisson compos e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.4 D efaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.5 March e complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Rappels, Corrig es 107

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Variables gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Esp erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Algµebre b eta-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CONTENTS5