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Université Paris VI

Master 1 : Introduction au calcul stochastique pour la finance (MM054)

TD 11-12 : Processus d"Itô.

1. Caractérisation du Mouvement Brownien.

SoitBun processus continu issu de0(i.e.B0= 0) etFsa filtration naturelle. Montrer queBest un mouvement Brownien si et seulement si, pour tout2R, le processus complexeMdéfini parMt:=eiBt+2t2 est uneF-martingale. On rappelle que pour toute famille(X1;:::;Xd;Y)de v.a. réelles, Yindep de(X1;:::;Xd)() 82Rd;2R;E(ei(<;X>+Y)) =E(ei<;X>)E(eiY):

Solution :SiBest un mvt Br, alors pour tt2R,t;s0,

E(Mt+sjFt) =E(Mtei(Bt+sBt)+2s2

jFt) =MtE(ei(Bt+sBt)+2s2 ) =Mt: Réciproquement, supposons que pour tout2R, le processus complexeMdéfini parMt:=eiBt+2t2 est uneF-martingale. Alors pour tout0s;t, pour tout,

E(ei(Bt+sBt)) =E(Mt+s=Mt)e2s2

=E(E(Mt+sjFt)=Mt)e2s2 =e2s2 doncBt+sBta bien la loiN(0;s). Soit0s;t. Montrons queBs+tBtest indep. de(Br;0rt). Il suffit de montrer que pour tousd1,0r1< ::: < rdt,Bs+tBtest indep. de(Br1;:::;Brd).

Soitd1,0r1< ::: < rdt. Soit2Rd;2R. On a

E(ei(P

iiBri+(Bt+sBt))) =E((Y iM iri)M t+s=M t)eP i2iri=22s=2: Comme Q iMiriestFt-mesurable etE(M t+s=M tjFt) = 1, en conditionnant par rapport à F t, on obtient

E(ei(P

iiBri+(Bt+sBt))) =E(Y iM iri)eP i2iri=22s=2; ce qui est égal à E(eiP iiBri)E(e(Bt+sBt))): Ceci nous assure l"indépendance deBt+sBtavec(Br;0rt):

2. Moments et loi conditionnelle dans le modèle de Black Scholes.

SoitBun Mouvement Brownien Standard. On considère le modèle de Black Scholes : S t=xe 22
t+ BtoùBest un mouvement brownien standard. a. CalculerE[St]pour2. b. Calculer la loi deStsachantSret deSrsachantStpour0r < t. Solution :a. Appliquer l"exercice précédent. b. Laissé en exercice. 1 On se place, pour les exercices suivants, sur une espace de probabilité( ;F;P)supportant un mouvement brownien standardW. On noteIF= (Ft)tTla filtration engendrée par W.

3. Produit de processus d"Itô. Application aux EDS.1. SoientZt,Ytdeux processus

d"Itô, Z t=Z0+Z t 0 K sds+Z t 0 H sdWs; Yt=Y0+Z t 0 L sds+Z t 0 G sdWs: a. Montrer queUt:=Zt+Ytest un processus d"Itô, exprimerU2ten utilisant la formule d"Itô. b. En déduire que Z tYt=Z0Y0+Z t 0 Z sdYs+Z t 0 Y sdZs+Z t 0 H sGsds:

2. Montrer queSt:=x0exp((2=2)t+Wt)est une solution issue dex0de l"équation

(à inconnue le processus(Xt), une telle équation s"appelle uneéquation différentielle stochastique) dX t=Xt(dt+dWt):

3. Montrer, en considérant une autre solution(Xt)et en appliquant 1 pour montrer

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