EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE M2IF Evry PDF

Equations différentielles stochastiques Corrigés Exercice 3.2.24 Reprendre l'exercice 2.6.8 en utilisant la formule d'Itô.

TD Master 2 – Martingales et calcul stochastique - Corrigé des

Corrigé des exercices du chapitre 8 – Intégrale d'Itô. Exercice 8.1 La formule d'Itô avec u(t x) = tx donne d(tBt) = Bt dt + tdBt.

TD 11-12 : Processus dItô.

On se place pour les exercices suivants

EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE M2IF Evry

Equations différentielles stochastiques Corrigés Montrer

Éléments de calcul stochastique pour lévaluation et la couverture

Avec exercices corrigés travaux pratiques et études de cas 2.5.3 Formule de Itô multi-dimensionnelle . ... 4.1 Exercices du chapitre 1 .

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10 mai 2016 8.4 La formule d'Itô . . ... A Corrigés des exercices. 97. A.1 Exercices du Chapitre 3 .

Lintégrale stochastique et début de la formule dItô

Montrer que le processus X est une martingale. 4. Quelle est la variation quadratique de X ? Correction exercice 1 : 1. La fonction sin est

TD Master 2 – Martingales et calcul stochastique - Corrigé des

Corrigé des exercices du chapitre 9 – Equations différentielles stochas- Poser Yt = e??(t) Xt et calculer dYt `a l'aide de la formule d'Itô.

Martingales et calcul stochastique

17 janv. 2012 8.4 La formule d'Itô . . ... A Corrigés des exercices. 97. A.1 Exercices du Chapitre 3 .

Corrigé Processus stochastiques

Examen du 7 janvier 2013 – Durée : 2h30. Exercice 1. 1. Dans tous les cas on écrit le processus demandé comme f(t

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[PDF] EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE M2IF Evry

EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE

M2IF Evry

Monique Jeanblanc

Universite d'EVRY

Mars 2009

Contents

1 Rappels7

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Changement de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Algebre beta-Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Mouvement Brownien 15

2.1 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Brownien Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.1 Partie I : Resultats preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.2 Partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.3 Partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Integrale d'It^o29

3.1 Integrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Brownien geometrique et extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4CONTENTS

4 Exemples45

4.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Processus de Bessel carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Autres processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Equations dierentielles stochastiques 51

5.1 Equation lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Processus anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Autres equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5 Equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Girsanov59

6.1 Resultats elementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Crochet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Cas multidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5 Temps d'arr^et. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Complements75

7.1 Theoreme de Levy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 Equations retrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3 Theoremes de representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.7 Options barrieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.8 Meandres, ponts, excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Processus a sauts 85

8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2 Poisson compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.4 Temps de Defaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.5 Marche complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Rappels, Corriges 91

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Variables gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CONTENTS5

1.3 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Algebre beta-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .