[PDF] Un peu de topologie Espaces métriques Adhérence

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Enseignants :

F. Golse (golse@math.polytechnique.fr),

Y. Laszlo (laszlo@math.polytechnique.fr),

C. Viterbo (viterbo@math.polytechnique.fr)

N'hesitez pas a contacter (dicultes, coquilles dans poly, questions scientiques...) l'un de nous ou votre professeur de PC et surtout de passer au laboratoire (CMLS) pour discuter. Les amphis 1 (topologie) et 7,8,9 (fonctions holomorphes) sont assures par YL,

2,3,4 (integration, Fourier) par FG et

5,6 (Hilbert) par CV.Un peu de topologie

f(I)≠J+(( JI )≠(J )(Espaces metriques

Denition

Une distance d :XX!R+est une application symetrique veriant :

1) L'inegalite triangulaire.

2) d(x;y) = 0 ssix=y.

On dit queXest un espace metrique.Exemple fondamental.Xpartie d'un evn, d(x;y) =jjxyjj.Importance du choix des normes : l'automobiliste choisira sur

X=C0([0;T];R) la normeN1= sup(vitesse) (nombre de

points) ouN2=qR (vitesse)2(consommation).ExC0(R) avec d1(f;g) = min(1;supjfgj) distance de la convergence uniforme.Adherence Comme pour les normes, on denit la notion d'ouvert, ferme et de convergence des suites. On se souviendra que

Fferme dansX()XFouvert dansX:Terminologie

Une suite extraite de (xn) est une suite de la formex'(n)avec '%%. Les limites des suites extraites de la suite (xn) sont ses valeurs d'adherence.Prop.( xn) converge ssi elle a une unique valeur d'adherence.Denition

1) L'adherence

YdeYXest l'ensemble des valeurs

d'adherence dansXdes suite a valeurs dansY: c'est le plus petit ferme deXcontenantY.

2)YXdense dansXssiY=X.

ExQdense dansR,R[t] dense dans (C0([0;1]);sup[0;1]) mais pas dansC0(R) muni de d1(f;g) = min(1;supjfgj) (exo).Observation :xvaleur d'adherence de (xn) ssi

8 >0;card(fkjxk2B(x;)g) =1:De m^eme,x2Yssi

8 >0;B(x;)\Y6=?:Corollaire

L'ensemble des valeurs d'adherences de la suite (xn) est nfxk;jkng:Distance et adherence PourYX, on posed(x;Y) = infy2Yd(x;y):On a d(x;Y) = 0,x2Y:L'inegalite triangulaire donne jd(x;Y)d(x0;Y)j d(x;x0) et donc x7!d(x;Y) est continue:Metriques complets

Denition

Une suite (xn) deXest de Cauchy ssi

8 >09ntel que8p;q>nd(xp;xq):Toute suite convergente est de Cauchy :

d(xn;l)=2 pournn0)d(xp;xq)pourp;qn0:Prop.Une suite de Cauchy converge ssi elle a une suite extraite convergente

Faux sans la cond. Cauchy

.Denition Xest complet si toute suite de Cauchy converge.Prop.Soit Y`Xcomplet. AlorsYcomplet ssiYferme.Ex. R

n;Cnnormes sont complets, (Q;j j) ne l'est pas.Un produit ni de metriques (Xi;di) complets, muni de la

distance somme d((xi);(yi)) =X id i(xi;yi); est un metrique complet .C

0([1;1]) muni deN1(f) = supjfjest complet.

C

0([1;1]) muni deN2(f) =qR

jfj2ne l'est pas (cf. poly). Importance des normes en dimension innie.Critere de completude des evn Un evn est complet ssi toute serie abs. convergente converge. I) Si

Xjjxnjj<1;alorsnX

k=0x k suite de Cauchy donc converge.I(Soit (xn) de Cauchy. On construit par recurrence (xnk) extraite avecjjxnk+1xnkjj 2k:La serie

X(xnk+1xnk)

est abs. convergente donc convergente et la suite extraitexnkconverge et donc egalementxn:Fermes embo^tes dans un complet

Denissons le diametre d'une partieXd'un metrique par diam(X) = sup x;y2Xd(x;y)2R+= [0;1]:Theoreme des fermes embo^tes L'intersection d'une suite decroissantes de fermes non videsFn d'un complet dont le diametre tend vers 0 est reduite a un point.IUnicite : si x;y2\F n, on a diam(Fn)d(x;y) et donc d(x;y) = 0:IExistence : on choisitxn2Fn. Sipq; x p;xq2Fpdonc d(xp;xq)diam(Fp)!0: Ainsi, (xn) de Cauchy converge versx2X.Fixonsp. On a

x= limnxn+p;limite d'une suite d'elements deFn+pFp:Donc8p;x2FpcarFpferme.Le probleme des sous-recouvrements ouverts nis

Mais ]0;1[=[ n>0]1=n;11=n[ n'a pas de sous-recouvrement ni.

Compacite

Denition

Un espace metriqueXest compact

1) Si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un recou-

vrement ni, ou (equivalent, passer au complementaire)

1') Si toute famille de fermes d'intersection vide admet une sous

famille FINIE d'intersection vide.a) SiYXetXcompact alorsYcompact ssiXferme.Cor.Une intersection d ecroissante

TKide compacts non vides

est non vide .Sinon

J FINIK

j=?etKN=\

J FINIK

javecN= sup(J FINI):b) L'image continue d'un compact est compacte.Theoreme de Dini Toute suite decroissantefn2C0(X;R);n0 de fonctions continues a support compact convergeant en tout point vers 0 converge uniformement, ie lim nsupXjfn(x)j= 0.I

Pour >0;posonsFn=fx2Fjfn(x)g:

La suiteFndecro^t commefnetFn(ferme dans le compact support def0) est compact.Comme limfn(x) = 0 pour toutx, on aTFn=?et donc

9NjFN=?

(une intersection decroissante de compacts6=?est6=?).On a donc8nN Fn=?et donc 0supfn.Theoreme de Borel-Lebesgue

SoitXmetrique. AlorsXest compact ssi toute suite a une suite

extraite convergente. En particulier un compact est complet.I)On doit montrer : l'intersection decroissante de compacts

n0fxk;kng est non vide.Sinon, commeXest compact,

9Njfxk;kNg=?;

une contradiction.(On montre le lemme clef :Nombre de Lebesgue SoitUirecouvrement ouvert deXsequentiellement compact. Il existe >0 tel que8x2X9i;B(x;)Ui.f(I)≠J+≠+≠ ≠JI≠+I +≠(I≠≠ +(I≠+I

ISinon, on construitxntel que

8n8i B(xn;1=n)62Ui:

Six= limx'(n);'%%, on ax2Ujet doncB(x;1=N)Uj

pourN>>0.Comme limx'(n)=xet lim1='(n) = 0;on a

B(x'(n);1='(n))B(x;1=N) siN>>0;

unecontradiction .Si toute union nie desUiest6=X. Soitun nombre de

Lebesgue. On construit (recurrence)xntelle que (abus)B(xn;)Unetxn62U1;;Un1:Si d(xm;xn)< pourm de suite extraite convergente.Appl. a) Un compact est complet. b) Un produit ni de metriques compacts est un metrique compact (avec la distance somme).Ex.[ A;A] compact (dichotomie), donc egalement ([A;A]N;N1(x) =Xjxij):Appl.: f2C0(compact;R) bornee et atteint ses bornes.Compacts deRN

Lemme.

Les compacts de ( RN;N1) sont les fermes bornes.IUn compact est ferme et borne (contenu dans un nombre

ni de boules).Reci., siXRNest ferme borne, pourAassez grand on a

X[A;A]Nqui est compact.Corollaire du lemme

Tous les normes deRNsont equivalentes.

(Bolzano-Weierstra) Les compacts de l'evnRnsont les fermes bornes. Faux pour les normes de dim innie et pour les distances .preuve de l'equivalence des normesApplications de la compacite vers la mesure Soit ouvert deRNetCc( ) leR-espace vectoriel des fonctions continues a support compact et :Cc( )!Rune forme lineaire p ositive , ie f0)(f)0:Application fondamentale de Dini

Soitfn2C0(

;R);n0 suite decroissante de fonctions conti- nues a support compact convergeant en tout point vers 0. Alors lim(fn) = 0:ISoit

Kcompact en dehors duquelf0(et donc tous les

f npar decroissance de (fn)) est nul. f f(

I)≠J+

+f +f(Le compact K =f2RNjd(;K)g verie pour 0< <<1 KK pour:Details.La fonction continue

7!g() = sup(1d(;K)=;0)

vaut 1 surKet 0 en dehors du compactK .Donc f(e(

On a doncg2Cc(

) etfn=gfn:Ainsi,

0(fn) = (gfn)sup(fn)(g) et on applique Dini.Quelques mots sur la denombrabilite

On dit qu'un ensembleXest denombrable s'il est en bijection avec une partie deN,i. e.si on peut numeroter

X=fx1;;xn;ncard(X)g

pourNX6=?[poser x

1= inf(X);xn+1= infx2Xfx>xng) pour 1n Une partie d'un denombrable, l'image d'un denombrable sont denombrables.PreuveApplications :

1)Un produit ni de deux denombrables est

denombrable. Il sut (recurrence) de prouver queN2est denombrable. Mais (n;m)7!2n3ml'identie a une partie deN.2)

Une reunion denombrable[Xnde denombrables

est denombrable.

Il sut d'ecrire

X n=fxn;i;i0get de considerer (n;i)7!xn;i:3) Z ! 1N[ f0getQ=[n2N1n Zsont denombrables. Denombrabilite et topologie deRUn ouvertUdeRest reunion denombrable disjointe d'intervalles ouverts disjoints.IPourx2U, soitIxla reunion des intervalles ouverts

contenantx: c'est le plus grand intervalle ouvert contenantx.SiIx\Iy6=?, on aJ=Ix\Iyintervalle ouvert contenant

I x;Iyet donc (maximalite) J=Ix=Iy:Ainsi, lesIxsont disjoints ou confondus 2 a 2.

Considerons l' ensemble de parties deU

F=fIx;x2Ug:On aU=G

I2FI(union disjointe).MaisFdenombrable :pour toutI2 F, choisissons un rationnelf(I)2Q\I (densite des rationnels).L'applicationf:F !Qest injectiveet doncF denombrable.f(I)≠f(J)

I≠J++

injectivite defArgument diagonal de Cantor I= [0;1[ (et doncR) n'est pas denombrable.IOn supposeI=fxn;n0g. On ecrit le developpement (propre) en base 10 x n=X k1a k;n10k:On posean= 2 sian;n= 1 etan= 1 sinon :8n;an6=an;n:On posex=X k1a k10k=xndev. propre.Si9ntel quex=xn, on aan=an;n, contradiction.Fin de l'amphi.quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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