[PDF] Topologie des espaces vectoriels normés





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1.2 Intérieuradhérence

et l'adhérence de A A





Ouverts fermés

adhérence



La proposition II.2.1 du cours sur lintérieur et ladhérence

Définition 1 Soient (E T ) un espace topologique



Topologie des espaces métriques IV

Suites et adhérence. Proposition. L'adhérence d'un ensemble Y ? X dans (Xd) est égale `a l'ensemble des limites de suites d'éléments de Y .



Topologie des espaces vectoriels normés

Intérieur. Adhérence. Fronti`ere. Densité. 3 Parties compactes. Suites extraites. Compacts. Topologie des espaces vectoriels normés.



Intérieur et adhérence

2014?7?10? Intérieur et adhérence. Exercice 1 [ 01113 ] [correction]. Soient E un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de E.





Intérieur extérieur

adhérence d'une partie de R Limite et



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Exercice 5 Soit X un espace topologique et f une application quelconque de X Montrer que l'adhérence du point {z0} pour cette topologie est [0



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Topologie des espaces vectoriels norm´es

Topologie des espaces vectoriels norm´es1/23

Plan du chapitre

1Parties ouvertes et ferm´ees

Parties ouvertes

Parties ferm´ees

2Int´erieur, adh´erence et densit´e

Int´erieur

Adh´erence

Fronti`ere

Densit´e

3Parties compactes

Suites extraites

Compacts

Topologie des espaces vectoriels norm´es2/23

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1Parties ouvertes et ferm´ees

Parties ouvertes

Parties ferm´ees

2Int´erieur, adh´erence et densit´e

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Fronti`ere

Densit´e

3Parties compactes

Suites extraites

Compacts

Topologie des espaces vectoriels norm´es3/23

Dans toute la suite, (E,?.?) d´esigne unK-espace vectoriel norm´e. Les notions qui suivent ne seront pas modifi´ees lorsqu"on passed"une norme `a une norme ´equivalente. En particulier, si l"espaceEest de dimension finie, elles ne d´ependent pas de la norme choisie.

D´efinition 1.1

On appellevoisinaged"un ´el´ement x?E toute partie V?E v´erifiant : ?r>0,B(x,r)?V.

D´efinition 1.2

Une partieUde E est diteouvertesi elle est voisinage de chacun de ses points, i.e. ?x? U,?r>0,B(x,r)? U.

On dit encore queUest un ouvert de E.

Topologie des espaces vectoriels norm´es4/23

Proposition 1.3

Une r´eunion (finie ou infinie) d"ouverts est un ouvert.

Proposition 1.4

Une intersectionfinied"ouverts est un ouvert.

Proposition 1.5

SiU1,...,Upsont des ouverts des espaces norm´es(E1,N1),...,(Ep,Np) alorsU=U1× ··· × Upest un ouvert de l"espace norm´e produit E=E1× ··· ×Epmuni de la norme produit.

Topologie des espaces vectoriels norm´es5/23

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1Parties ouvertes et ferm´ees

Parties ouvertes

Parties ferm´ees

2Int´erieur, adh´erence et densit´e

Int´erieur

Adh´erence

Fronti`ere

Densit´e

3Parties compactes

Suites extraites

Compacts

Topologie des espaces vectoriels norm´es6/23

D´efinition 1.6

Une partie F de E est diteferm´eesi son compl´ementaire (dans E) est un ouvert. On dit aussi que F est un ferm´e de E. Remarque :Pour une partieX?E, la notation probabiliste Xdu compl´ementaire est `a proscrire : elle est utilis´ee pour une autre notion en topologie, l"adh´erence, que l"on verra dans la suite. On notera doncXcs"il n"y a pas de confusion possible sur l"espace norm´eE, ouE\X.

Proposition 1.7

Une intersection (finie ou infinie) de ferm´es de E est un ferm´e de E.

Proposition 1.8

Une unionfiniede ferm´es de E est un ferm´e de E.

Topologie des espaces vectoriels norm´es7/23

Proposition 1.9 (Caract´erisation s´equentielle des ferm´es) Une partie F de E est ferm´ee si et seulement si, pour toute suite (xn)n?N?FNd"´el´ements de F qui converge, la limitelimn→+∞xnappartient `a F, ce qui s"´ecrit encore : Remarque :Attention, cela ne signifie pas que dans un ferm´e toutes les suites convergent!

Proposition 1.10

Si F1,...,Fpsont des ferm´es des espaces norm´es E1,...,Epalors F=F1× ··· ×Fpest une partie ferm´ee de l"espace vectoriel norm´e produit E=E1× ··· ×Eppour la norme produit.

Topologie des espaces vectoriels norm´es8/23

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Topologie des espaces vectoriels norm´es9/23

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Topologie des espaces vectoriels norm´es10/23

D´efinition 2.1

Un ´el´ement a?E est ditint´erieur`a une partie X?E si X est un voisinage de a, i.e.?r>0,B(a,r)?X.

L"int´erieur de X, not´e

◦X, est l"ensemble de tous les points int´erieurs `a X, c"est-`a-dire◦X={x?E| ?r>0,B(x,r)?X}.

Remarque :On a toujours l"inclusion◦X?X.

Proposition 2.2

Une partie X?E est ouverte si et seulement si◦X=X.

Proposition 2.3

Soit X une partie de E, alors◦X est la r´eunion de tous les ouverts inclus dans X. Par cons´equent,◦X est le plus grand ouvert (au sens de l"inclusion) inclus dans X.

Topologie des espaces vectoriels norm´es11/23

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Topologie des espaces vectoriels norm´es12/23

D´efinition 2.4

On dit qu"un ´el´ement a?E estadh´erent`a une partie X?E si ?r>0,B(a,r)∩X?=∅.

On appelleadh´erencede X l"ensemble, not´e

X, des ´el´ements adh´erents `a

X.

Remarque :On a toujours l"inclusionX?

Xpuisque pour toutx?Xet

toutr>0,x?B(x,r)∩X.

Proposition 2.5

Soit X une partie de E, alors

E\

X=◦(E\X)et E\◦X=E\X.

Proposition 2.6

Une partie X?E est ferm´ee si et seulement siX=X.

Topologie des espaces vectoriels norm´es13/23

Proposition 2.7

Soit X une partie de E, alorsX est l"intersection de tous les ferm´es contenant X. Par cons´equent,

X est le plus petit ferm´e (au sens de

l"inclusion) contenant X. Proposition 2.8 (Caract´erisation s´equentielle des points adh´erents) Soient X une partie de E et a?E. On a ´equivalence entre : (i).a est adh´erent `a X, (ii).il existe une suite(xn)n?Nd"´el´ements de X qui converge vers a.

Topologie des espaces vectoriels norm´es14/23

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Topologie des espaces vectoriels norm´es15/23

D´efinition 2.9

On appellefronti`ered"une partie X de E l"ensembleFr(X) =X\◦X.

Remarque :On peut voir que

Fr(X) =

X∩(E\◦X) =X∩E\X=Fr(E\X)

Cette ´ecriture permet aussi de d´emontrer queFr(X) est un ferm´e deE.

Topologie des espaces vectoriels norm´es16/23

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Topologie des espaces vectoriels norm´es17/23

Definition 1

Une partieXdeEest ditedensesiX=E.

Proposition 2.10

Soit X une partie de E. On a ´equivalence entre : (i).X est une partie dense de E, (ii).?a?E,?r>0,B(a,r)∩X?=∅,

Topologie des espaces vectoriels norm´es18/23

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Topologie des espaces vectoriels norm´es20/23

D´efinition 3.1

Soit(un)n?N?ENune suite d"´el´ements de E. On appellesuite extraite (ou sous-suite) de la suite(un)n?Ntoute suite de la forme(u?(n))n?No`u ?:N-→Nest une application strictement croissante. Remarque :Siw= (wn)nest une suite extraite dev= (vn)n, elle-mˆeme extraite deu= (un)n, alors la suitewest une suite extraite deu. En effet, notonsv= (u?(n))netw= (vψ(n))navec?,ψ:N-→Nstrictement croissantes, alors pour toutn?N, on a w n=vψ(n)=u?(ψ(n))=u?◦ψ(n) avec?◦ψ:N-→Nstrictement croissante comme compos´ee de deux fonctions strictement croissantes.

Th´eor`eme 3.2

Soit(un)n?N?ENune suite d"´el´ements de E. Si(un)nconverge vers ??E, alors toute suite extraite de(un)nconverge aussi vers?.

Topologie des espaces vectoriels norm´es21/23

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Topologie des espaces vectoriels norm´es22/23

D´efinition 3.3

Une partie K de E est ditecompactesi toute suite d"´el´ements de K poss`ede une sous-suite convergente dans K, i.e. ?(xn)n?N?KN,??:N-→Nstrictement croissante,x?(n)-→n→+∞??K.

On dit aussi que K est un compact de E.

Proposition 3.4

Toute partie compacte est ferm´ee et born´ee.

Th´eor`eme 3.5

Si E est un espace de dimension finie, les parties compactes sont exactement les parties ferm´ees et born´ees. Corollaire 3.6 (G´en´eralisation du th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass) Dans un espace vectoriel de dimension finie, toute suite born´ee admet une sous-suite convergente.

Topologie des espaces vectoriels norm´es23/23

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