1.2 Intérieuradhérence
et l'adhérence de A A
Un peu de topologie Espaces métriques Adhérence
Les amphis 1 (topologie) et 78
Ouverts fermés
adhérence
La proposition II.2.1 du cours sur lintérieur et ladhérence
Définition 1 Soient (E T ) un espace topologique
Topologie des espaces métriques IV
Suites et adhérence. Proposition. L'adhérence d'un ensemble Y ? X dans (Xd) est égale `a l'ensemble des limites de suites d'éléments de Y .
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continuité
Intérieur extérieur
adhérence d'une partie de R Limite et
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Frank Pacard
Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 1 / 15Suites dans les espaces metriques
Denition
On dit qu'une suite(xn)n0d'un espace metrique(X;d)estconvergente, de limitex2X, si lim n!1d(xn;x) = 0.Dans un espace metrique, la limite d'une suite, si elle existe, est unique. Si un suite (xn)n0converge dans (X;d) versx, on notera lim n!1xn=xouxn!x: En general, le contexte est clair et la distance utilise n'est pas mentionnee. Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 2 / 15Caracterisation sequentielle des fermes
Proposition
Un sous-ensembleFXest ferme si et seulement si la limite de toute suite d'elements deF, qui converge dansX, appartient aF.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 3 / 15Caracterisation sequentielle des fermes
Dem :Supposons queFest un ferme et soit (xn)n0une suite d'elements deFqui converge versx2X. Supposons quex=2F. L'ensembleXFest un ouvert. Donc, il exister>0 tel queB(x;r)XF.
Or, pour toutnassez grand,d(x;xn) x n2B(x;r)XF; ce qui contredit le fait quexn2F. Conclusion,x2F.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 4 / 15
Caracterisation sequentielle des fermes
Inversement, supposons que la limite de toute suite d'elements deFqui converge dansX, appartient aF. Supposons queFn'est pas un ferme. AlorsXFn'est pas un ouvert et il existex2XF tel que, pour toutr>0, B(x;r)\F6=?:
Pour toutn1, choisissonsxn2F\B(x;1=n).
La suite (xn)n1est une suite d'elements deFqui converge versxetx=2F. Ce qui constitue une contradiction.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 5 / 15 Exemple
Exemple :Montrons queQn'est pas un ferme deR(muni de la distance usuelle). Dem :On peut construire une suite de nombres rationnels (par exemple les approximations decimales par defaut dep2) qui converge vers p2 et p262Q, ce qui montre queQn'est pas un ferme deR.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 6 / 15 Suites et adherence
Proposition
L'adherence d'un ensembleYXdans(X;d)est egale a l'ensemble des limites de suites d'elements deY.Dem :On note~Yl'ensemble des limites de suites d'elements deY. Il est clair queY~Y. Soit ~y2~YetFun ferme qui contientY.
Il existe une suite (yn)n0d'elements deYqui converge vers ~y, donc ~y2F. On conclut que
~YFet par consequent que~YY.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 7 / 15 Suites et adherence
Montrons que
~Yest un ferme, ce qui montrera queY~Y. Soit (~yn)n1, une suite d'elements de~Yqui converge vers ~y2X. Pour toutn1, ~yn2~Yest la limite d'une suite d'elements deY, en particulier, il existe y n2Ytel qued(yn;~yn)1=n. On verie que la suite (yn)n1, qui est une suite d'elements deY, converge vers ~y, ce qui, par denition de~Y, prouve que ~y2~Y, donc que~Yest un ferme.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 8 / 15
Suites et adherence
Proposition
L'adherence d'un ensembleYXdans(X;d)est egale a l'ensemble desx2Xtels que, Y\B(x;")6=?, pour tout" >0.Dem :On note^Yl'ensemble desx2Xtels que,B(x;")\Y6=?, pour tout" >0. Soitx2^Y. Pour toutn1, choisissonsxn2Y\B(x;1=n). La suite (xn)n1est une suite d'elements deYqui converge versx, doncx2Y. Inversement, tout elementx2Yest la limite d'une suite d'elements deY. En particulier, pour tout" >0,B(x;") contient des elements de cette suite, donc des elements deY. Doncx2^Y.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 9 / 15 Interieur et adherence
Exemple :On note`0(N;K) le sous-espace de`1(N;K) constitue des suites qui tendent vers 0. Montrons que`
c(N;K) =`0(N;K); dans (`1(N;K);k k1).Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 10 / 15 Interieur et adherence
Dem :Soitx:= (xn)n02`0(N;K).
Pour touti0, denissons
x i:= (xin)n02`c(N;K); la suite dont les elements sont donnes parxin=xnsinietxin= 0 sin>i. La suitextend vers 0, donc
limi!1kxxik1= 0; doncx2` c(N;K).Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 11 / 15 Interieur et adherence
Inversement, soitx:= (xn)n02`
c(N;K). Il existe une suite (xi)i0d'elements de`c(N;K) qui converge versx. Fixons" >0 et choisissonsiassez grand pour que
kxxik1": Par denition, la suitexiest nulle a partir d'un certain rang. Donc, il existem2Ntel que x in= 0 pour toutnm. En particulierjxnj "pour toutnm. Ce qui montre quex2`0(N;K).Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 12 / 15
Suites extraites et valeurs d'adherence
Denition
On dit que (yn)n0est unesuite extraite(ou unesous-suite) de la suite (xn)n0, s'il existe ':N!N, strictement croissante, telle queyn=x'(n), pour toutn0.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 13 / 15
Suites extraites et valeurs d'adherence
Denition
Soit(xn)n0une suite de(X;d). Un pointa2Xest unevaleur d'adherencede la suite(xn)n0 siaest limite d'une suite extraite de la suite(xn)n0.Exemple :DansRmuni de la distance usuelle, la suite
((1)n)n0; admet exactement deux valeurs d'adherence :1 et +1 alors que la suite ((1)nn)n0; n'admet aucune valeur d'adherence dansR.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 14 / 15 Suites extraites et valeurs d'adherence
Proposition
Le pointx2Xest une valeur d'adherence de la suite(xn)n0si et seulement si, pour tout " >0 cardfk2N:xk2B(x;")g= +1; ou cardAdesigne le cardinal de l'ensembleA.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 15 / 15quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
ce qui contredit le fait quexn2F. Conclusion,x2F.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 4 / 15
Caracterisation sequentielle des fermes
Inversement, supposons que la limite de toute suite d'elements deFqui converge dansX, appartient aF. Supposons queFn'est pas un ferme. AlorsXFn'est pas un ouvert et il existex2XF tel que, pour toutr>0,B(x;r)\F6=?:
Pour toutn1, choisissonsxn2F\B(x;1=n).
La suite (xn)n1est une suite d'elements deFqui converge versxetx=2F. Ce qui constitue une contradiction.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 5 / 15Exemple
Exemple :Montrons queQn'est pas un ferme deR(muni de la distance usuelle). Dem :On peut construire une suite de nombres rationnels (par exemple les approximations decimales par defaut dep2) qui converge vers p2 et p262Q, ce qui montre queQn'est pas un ferme deR.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 6 / 15Suites et adherence
Proposition
L'adherence d'un ensembleYXdans(X;d)est egale a l'ensemble des limites de suites d'elements deY.Dem :On note~Yl'ensemble des limites de suites d'elements deY. Il est clair queY~Y.Soit ~y2~YetFun ferme qui contientY.
Il existe une suite (yn)n0d'elements deYqui converge vers ~y, donc ~y2F.On conclut que
~YFet par consequent que~YY.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 7 / 15Suites et adherence
Montrons que
~Yest un ferme, ce qui montrera queY~Y. Soit (~yn)n1, une suite d'elements de~Yqui converge vers ~y2X. Pour toutn1, ~yn2~Yest la limite d'une suite d'elements deY, en particulier, il existe y n2Ytel qued(yn;~yn)1=n. On verie que la suite (yn)n1, qui est une suite d'elements deY, converge vers ~y, ce qui,par denition de~Y, prouve que ~y2~Y, donc que~Yest un ferme.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 8 / 15
Suites et adherence
Proposition
L'adherence d'un ensembleYXdans(X;d)est egale a l'ensemble desx2Xtels que, Y\B(x;")6=?, pour tout" >0.Dem :On note^Yl'ensemble desx2Xtels que,B(x;")\Y6=?, pour tout" >0. Soitx2^Y. Pour toutn1, choisissonsxn2Y\B(x;1=n). La suite (xn)n1est une suite d'elements deYqui converge versx, doncx2Y. Inversement, tout elementx2Yest la limite d'une suite d'elements deY. En particulier, pour tout" >0,B(x;") contient des elements de cette suite, donc des elements deY. Doncx2^Y.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 9 / 15Interieur et adherence
Exemple :On note`0(N;K) le sous-espace de`1(N;K) constitue des suites qui tendent vers 0.Montrons que`
c(N;K) =`0(N;K); dans (`1(N;K);k k1).Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 10 / 15Interieur et adherence
Dem :Soitx:= (xn)n02`0(N;K).
Pour touti0, denissons
x i:= (xin)n02`c(N;K); la suite dont les elements sont donnes parxin=xnsinietxin= 0 sin>i.La suitextend vers 0, donc
limi!1kxxik1= 0; doncx2` c(N;K).Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 11 / 15Interieur et adherence
Inversement, soitx:= (xn)n02`
c(N;K). Il existe une suite (xi)i0d'elements de`c(N;K) qui converge versx.Fixons" >0 et choisissonsiassez grand pour que
kxxik1": Par denition, la suitexiest nulle a partir d'un certain rang. Donc, il existem2Ntel que x in= 0 pour toutnm.En particulierjxnj "pour toutnm. Ce qui montre quex2`0(N;K).Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 12 / 15
Suites extraites et valeurs d'adherence
Denition
On dit que (yn)n0est unesuite extraite(ou unesous-suite) de la suite (xn)n0, s'il existe':N!N, strictement croissante, telle queyn=x'(n), pour toutn0.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 13 / 15
Suites extraites et valeurs d'adherence
Denition
Soit(xn)n0une suite de(X;d). Un pointa2Xest unevaleur d'adherencede la suite(xn)n0siaest limite d'une suite extraite de la suite(xn)n0.Exemple :DansRmuni de la distance usuelle, la suite
((1)n)n0; admet exactement deux valeurs d'adherence :1 et +1 alors que la suite ((1)nn)n0; n'admet aucune valeur d'adherence dansR.Topologie des espaces metriques IVFrank Pacard 14 / 15Suites extraites et valeurs d'adherence
Proposition
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