[PDF] Cours N1MA6014 : Géométrie et Topologie

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Cours N1MA6014 : Geometrie et Topologie

Laurent Bessieres

S6, 2012-2013

Cours 1 : 17/01/13

Ce cours est une initiation a la topologie algebrique, branche des mathematiques qui utilise des outils d'algebre pour etudier des espaces topologiques. De quoi s'agit-il? Une question fonda- mentale pour les topologues est de classier les espaces topologiques. On veut, par exemple, faire la liste de toutes les surfaces, a homeomorphisme pres, ou savoir si deux surfaces donnees sont homeomorphes ou pas. L'idee centrale pour attaquer ce genre de question est d'associer a l'objet topologique un objet algebrique (entier, groupe, etc..) de maniere qu'a deux objets topologiques homeomorphes soient associees deux objets algebriques isomorphes. On peut alors tester sur ces derniers l'equivalence ou non des premiers. Un des premiers succes de la topologie algebrique (au alentour des annees 1900) a ete la classi- cation des surfaces, que nous montrerons a la n du cours. Nous commencerons par introduire les principales notions de topologie generale, qui sera plus ecace pour construire surfaces et varietes (l'analoguen-dimensionnel d'une surface) que les simples espaces metriques. Nous intro- duirons alors le groupe fondamental, groupe associe a un espace topologique. Nous montrerons ensuite le theoreme principal permettant de calculer ces groupes, le theoreme de Seifert-Van

Kampen. On conclura avec la classication.

Le plan du cours est donc le suivant (sous reserve) : (1)

T opologieg enerale.

(2)

Surfaces et v arietes

(3)

Group efondamen tal.

(4)

Th eoremede Seifert-V anKamp en

(5)

Classication des surfaces compactes.

Mentionnons que le probleme de topologie le plus celebre du 20e siecle, laconjecture de Poincare, est une question de classication. On peut l'enoncer comme suit : une variete de dimension 3 com- pacte, connexe, sans trou (on dira plus tard dans le courssimplement connexe) est homeomorphe aS3(Poincare, 1904). Cette question a 1 million de dollars (veridique!) a ete prouvee recemment (Perelman, 2002) par des methodes d'analyse et de geometrie. C'est une autre histoire.

1. Topologie Generale 2 Cours 1 : 17/01/13

1

T opologieG enerale

On va commencer par denir desespaces topologiques, generalisation des espaces metriques. Ils seront plus pratiques pour certaines constructions. Sur un espace metrique (E;d), on a une notion de partieouverte: toutOEtel que

8x2E;9" >0; B(x;")E:

Leur propriete fondamentale est qu'une union quelconque d'ouverts est ouverte, une intersec- tion nie d'ouverts est ouverte. On peut exprimer les notions de limite, continuite, compacite, connexite, etc... a l'aide d'ouverts. Le but de la topologie generale est de generaliser ces notions a un espaceXsans utiliser de distance. Pour ce faire on va prendre la propriete fondamentale des ouverts comme axiome. 1.1 Espaces top ologiquesDenition 1.1.Unetopologiesur un ensembleXest une collectionTde parties deX veriant les axiomes suivants : (1);etXsont dansT. (2)

Une union quelconqu ed' elementsde Test dansT.

(3)

Une intersection nie d' elementsde Test dansT.

Le couple(X;T)est appeleespace topologique. Les elements deTsont appelesouverts

de(X;T), ou simplement ouvetrts deXs'il n'y pas d'ambiguite.Dans l'axiome (3) on peut remplacer "intersection nie" par "intersection de deux elements",

l'equivalence decoulant par une recurrence immediate utilisant l'egalite (U1\:::\Un) = (U1\:::\Un1)\Un: Exemple1.2.La collection des ouverts d'un espace metrique(E;d)est une topologie surE. Exemple1.3.On appelletopologie grossieresurX,T=f;;Xg. On appelletopologie discrete

T=PX, i.e. la collection de toutes les parties deX. Pour cette topologie toutes les parties, en particulier

les singletons, sont ouvertes. Exemple1.4.Topologies surX=fa;b;cg.T=f;;X;a;bgn'est pas une topologie,T0=f;;X;a;b;fa;bgg oui,T0=f;;X;a;fa;bggnon.Notes du cours N1MA6014, 2012-2013Laurent Bessieres

1. Topologie Generale 3 Cours 1 : 17/01/13

Denition 1.5.On dit qu'une topologieTsurXestmetrisables'il existe une distanced

surXdont les ouverts sont ceux deT.SiXa plus de 2 elements, la topologie grossiere n'est pas metrisable. En eet six6=y2Xet

sidest une distance surX, la boule ouverteBd(x;d(x;y)) est un ouvert non vide ne contenant pasy, donc dierent de;etX. La topologie discrete est metrisable : on prendd(x;x) = 0 et d(x;y) = 1 six6=y. Exercice1.6.SoitXun ensemble; soitTfla collection de tous lesUXtels queXUest ni ou egal aX. Montrer queTest une topologie surX. On l'appelle la topologie ducomplementaire ni.

L'inclusion denit une relation d'ordre (partiel) sur l'ensemble des topologies deX:Denition 1.7.SoitT;T0deux topologies surX. On dit queT0estplus nequeTsi

T

0 T;T0eststrictement plus nequeTsiT0contient strictementT. On dit queTest

plusgrossierequeT0, oustrictement plus grossiere, dans ces deux situations respectives. On ditTetT0sontcomparablessiT0 Tou siT T0.Exemple1.8.SurX=fa;b;cg,f;;X;ag f;;X;a;b;fa;bgg. 1.2

Bases d'une top ologie

Denir une topologie peut-^etre assez complique car il y a beaucoup d'elements. Souvent on se

donne une sous-collection,la base, qui engendre la topologie.Denition 1.9.SoitXun ensemble, une collectionBde parties deXest unebasede

topologie pourXsi : (1)

P ourc haquex2X, il existeB2 Btel quex2B.

(2)

P ourtous B1;B22 Betx2B1\B2, il existeB32 Btel quex2B3B1\B2.Notes du cours N1MA6014, 2012-2013Laurent Bessieres

1. Topologie Generale 4 Cours 1 : 17/01/13

Remarque 1.10.L'axiome (2) est une sorte de stabilite faible par intersection nie (on ne demande pas queB1\B2soit dansB). C'est verie par les boules ouvertes d'un espace metrique (c'est l'exemple auquel penser) : l'intersection de 2 boules ouvertes n'est pas (en general) une boule ouverte mais chaque point de l'intersection est centre d'une boule contenue dans l'inter- section. Les boules ouvertes forment une base pour la topologie des espaces metriques.

Avec une telle base, on fabrique une topologie :Denition 1.11(Topologie engendree par une base).SoitTBla collection des reunions

quelconques d'elements deB: T B=f[ i2IB ijBi2 B;i2Ig

On appelleTBlatopologie engendree parBet on dit queBest une base deT.Lemme 1.12.(1)TBest une topologie.

(2)

Une pa rtieAXest ouverte si et seulement si

8x2A;9B2 B; x2BA:

Les elements deBjouent donc le m^eme r^ole que les boules ouvertes d'un espace metrique. Preuve:(1) Verions les 3 axiomes de la denition 1.1. Axiome (1); 2 TBen prenant la reunion vide. Pour chaquex2X, notonsBx2 Bun element de la base donne par l'axiome 1.9(1). AlorsX=[x2XBx2 TB. Axiome (2) Soit (U) une collection d'elements deTB; alorsU=[i2IBiouBi2 B. On a U i2IB i=[ ;i2IB i2 TB Axiome (3) SoitU1=[i2IBietU2=[j2JBj, alorsU1\U2=SBi\Bj. Soitx2U1\U2, alors il existei;jtel quex2Bi\Bj. NotonsBx2 B, l'element donne par l'axiome 1.9(2) tel quex2BxB1\B2. On a alorsBxU1\U2, puis U

1\U2=0

x2U1\U2B x1 A 2 TB: (2) SoitAun ouvert etx2A. PuisqueAest reunion d'elements deB,xest dans un de ces elements, appelons leBet alorsx2BA. Reciproquement, soitAtel que8x2A;9B2 B;x2

BA; pour chaquex2AnotonsBx2 Bun tel element deB, alorsA=[x2ABx2 TB.Notes du cours N1MA6014, 2012-2013Laurent Bessieres

1. Topologie Generale 5 Cours 1 : 17/01/13

Exercice1.13.(1)Soit B;B0deux bases de topologie surX. Montrer queTB0est plus ne queTB si et seulement si pour chaquex2XetB2 Bcontenantx, il existeB02 B0tel quex2B0B. (2) Montrer que B=f]a;b[ja < b;aetbreelsgetB0=f]a;b[ja < b;aetbrationnelsgsont deux bases engendrant la topologie usuelle deR. A quoi on reconnait une base, quand on a deja la topologie? Il sut qu'elle verie l'assertion

(2) du lemme 1.12, plus precisement :Lemme 1.14.Soit(X;T)un espace topologique,Bune collection d'ouverts telle que pour

toutUouvert deXet toutx2U, il existeBx2 Btel quex2BxU. AlorsBest une base deT. Preuve:L'axiome 1.9(1) est verie en prenantU=X. Pour 1.9(2), soitB1;B22 Bet x2B1\B2. PuisqueB1etB2sont ouverts,B1\B2est ouvert donc il existeB2 Btel

quex2BB1\B2par hypothese.On peut faire encore plus simple pour engendrer une topologie : engendrer une base a l'aide d'une

sous-basequi est simplement d'une collectionSde parties deXdont l'union est egale aX. La collection des intersections nies d'elements deSest alors une base de topologie. La topologie engendree est alors l'ensemble des reunions quelconques d'intersections nies d'elements deS.

Exercice1.15.(1)V erierque cama rche.

(2) Soit (T)une famille de topologies surX. Montrer queTTest une topologie. (3) Soit Bune base de topologie deX. Montrer queTBest l'intersection de toutes les topologies contenantB. 1.3

T opologiepro duit

On noteXYle produit cartesien deXetY, i.e. l'ensemble des couples (x;y) oux2X, y2Y.Denition 1.16.SoitX;Ydeux espaces topologiques.On appelletopologie produitsur

XYla topologie engendree par la base

B=fUVjUouvert deX;Vouvert deYg:(on dit que c'est la topologie engendree par lescubesUV). Verions queBest une base de

topologie : l'axiome 1.9(1) est verie carXY2 B; pour 1.9(2)Best stable par intersectionNotes du cours N1MA6014, 2012-2013Laurent Bessieres

1. Topologie Generale 6 Cours 1 : 17/01/13

nie : siUVetU0V0sont dansB, alors (UV)\(U0V0) = (U\U0)(V\V0)2 B carU\U0est ouvert dansXetV\V0ouvert dansY. Remarque 1.17.On verie aisement que siBune base deXetCune base deY, alors la collection

D=fBCjB2 B;C2 Cg

est aussi une base deXY. 1.4 T opologieinduite Denition 1.18.Soit(X;T)un espace topologique. SoitYX, alors la collection T

Y=fU\YjU2 T g

est une topologie surY, appelee latopologie induite.La verication est immediate. Lorsqu'on omettra les topologies, on dira simplement queUest

ouvert dansYs'il est ouvert pour la topologie induite, etouvert dansXs'il appartient a la topologie deX. Exemple1.19.SoitY= [0;2]R=Xmuni de sa topologie usuelle. Alors]1;2]est ouvert dansY (et pas dansX) car]1;2] =]1;3[\Y. De m^eme[0;2]est ouvert dansY(et pas dansX).

On peut se demander quand un ouvert pourYl'est aussi pourX.Lemme 1.20.SoitYX. SiUest ouvert dansYetYest ouvert dansX, alorsUest ouvert

dansX.

Preuve:On aU=V\YouV, etYpar hypothese, sont ouverts dansX.Notes du cours N1MA6014, 2012-2013Laurent Bessieres

1. Topologie Generale 7 Cours 1 : 17/01/13

Exercice1.21.SoitY= [1;1]R. Lesquels des ensembles suivants sont ouverts dansY? Dans R?

A=fxj12

B=fxj12 C=fxj12 jxj<1g;

D=fxj12

E=fxj0

Que se passe t'il au niveau des bases? Ce qu'on imagine :Lemme 1.22.SoitBune base de la topologieT, alors la collection

B

Y=fB\YjB2 Bg

est une base de la topologie induiteTY. Preuve:Soity2YetUun ouvert deYtel quey2U. Il existeVouvert dansXtel que U=V\Y. PuisqueBest une base de topologie porX, il existeB2 Btel quey2BV. On a alors d'ouy2B\YV\Y=Uet on applique le critere 1.14.1.5F ermes,adh erence

Denition 1.23.Une partieAd'un espace topologiqueXestfermeesiXAest ouverte.Les intervalles fermes sont fermes dansR. Pour la topologie discrete, toutes les parties sont

ouvertes et fermees. Pour la topologie du complementaire ni, les fermes sont les parties nies et l'ensemble entier. Exemple1.24.SoitY= [0;1][]2;3[muni de la topologie induite usuelle. Alors[0;1]est ouvert dans Y, car[0;1] =]1;1:5[\Y. Il s'ensuit que]2;3[est ferme dansY. Comme]2;3[est ouvert dansY,[0;1]

est aussi ferme dansY.Lemme 1.25(Propriete fondamentale des fermes).SoitXun espace topologique, alors :

(1);etXsont fermes.Notes du cours N1MA6014, 2012-2013Laurent Bessieres

1. Topologie Generale 8 Cours 1 : 17/01/13

(2) Une intersection quelconque de ferm esest ferm ee. (3)

Une union ni ede ferm esest ferm ee.

Preuve:Decoule de

X\U =[(XU); X[U =\(XU)Lemme 1.26.SoitYX. Une partieAYest fermee dansYsi et seulement siAest l'intersection deYet d'un ferme deX.Notes du cours N1MA6014, 2012-2013Laurent Bessieres

Cours 2 : jeudi 24/01/13

Preuve:Supposons queAsoit ferme dansY. AlorsYAest ouvert dansY, donc il existeU ouvert deXtel queYA=U\Y. MaisA= (X(YA))\Y= (X(U\Y))\Y= ((XU)[XY)\Y= (XU)\YouXUest bien un ferme deX. Reciproquement supposons queA=F\YouFest ferme dansX. AlorsYA= (YF)[(YY) =YF= (XF)\Y

est bien un ouvert deYcarXFest ouvert dansX.En resume les ouverts et fermes deYsont les traces surYdes ouverts et fermes deX, respec-

tivement.Denition 1.27.Etant donne une partieAd'un espace topologiqueX, on denit l' interieurdeAcomme l'union de tous les ouverts deXcontenus dansA:

IntA=[

Uouvert deX;UAU:

On denit l'adherencedeAcomme l'intersection de tous les fermes deXcontenantA: A=\

Fferme deX;FAF:On peut aussi trouver la notation IntA=A.Proposition 1.28(Proprietes de l'interieur et de l'adherence).SoitXun espace topologique

etAune partie deX. (1)IntAAest ouvert dansX,Aest ouvert,A= IntAet

Int(A) =fx2Aj 9UA;Uouvert deX;x2Ug:

(2)

AAest ferme dansX,Aest ferme,A=A.

9

10 Cours 2 : jeudi 24/01/13

(3)XA=XInt(A),Int(XA) =XA. (4)IntAest le plus gros ouvert deXcontenu dansA:IntAest ouvert et siUouvert deX etUA, alorsUIntA. (5) Aest le plus petit ferme deXcontenantA:Aest ferme et siFferme deXetFA, alorsAF. (6)

Si AB,Int(A)Int(B)etAB.

Preuve:

(1) Int(A) est une union d'ouverts donc ouvert; siAest ouvert il est dans l'union donc A= Int(A), la reciproque est claire. Soitx2IntA. Par denition il existeUouvertx2UA. Reciproquement, six2UouvertA,xest dans la reunion de ouvertsA. (2)Aest une intersection de fermes donc ferme. SiAest ferme il est dans l'intersection, la reciproque est claire. (3)x2XA, 8Fferme tel queFXA,x2F. OrFXA,XFA, etXF=U est ouvert. On a donc equivalence avecx =2U, pour tout ouvertUA, soitx =2IntA. En posant B=XAet en prenant le complementaire de l'egalite montree,XB=X(XInt(XB)) soitXB= IntBpour toutBX. (4) SiUAetUouvert alorsUest contenu dans la reunion des ouvertsA, doncUIntA. (5) SiFAetFest ferme alors l'intersection des fermesAest contenue dansF, doncAF. (6) SoitAB. Soitx2IntAalors il existeUxouvert,x2UxA; alorsx2UxBet

x2IntB.Best un ferme etABB, orAest le plus petit ferme contenantAdoncAB.SiAYX, l'adherence deAdansYpeut dierer de celle deAdansX. On notera toujoursAl'adherence dansX. L'adherence deAdansYest alorsA\Y. En eet :Theoreme 1.29.SoitYX; soitAY. Alors l'adherence deAdansYestA\Y.

Preuve:NotonsBl'adherence deAdansY. AlorsBA\Yqui est un ferme deYcontenant A. Par ailleursBest ferme dansYdoncB=F\Ypour un fermeFdeX. CommeABF,

FA. On conclut queB=F\YA\Y, d'ou l'egalite.Denition 1.30.SoitAune partie d'un espace topologiqueX. On dit quex2Xest un

point d'accumulationdeAsi pour tout tout ouvertUcontenantx,U fxgintersecteA. On noteA' l'ensemble des points d'accumulation deA, A

0=fx2Xjpour tout ouvertUcontenantx; U fxgintersecteAg:Notes du cours N1MA6014, 2012-2013Laurent Bessieres

11 Cours 2 : jeudi 24/01/13

Theoreme 1.31.SoitAune partie d'un espace topologiqueX. (1)

A=A[A0.

(2)x2Asi et seulement si tout ouvertUcontenantxintersecteA.

Une autre maniere de denir l'adherence est donc

Int(A) =fx2Xj 8Uouvert deXcontenantx; U\A6=;g:

Preuve:Montrons d'abord (2). Pour cela montrons l'assertion equivalente : x =2A,il existe un ouvertUcontenantxdisjoint deA: Supposons quex =2A. AlorsU=XAest un ouvert contenantxdisjoint deA. Reciproquement, supposons queUsoit un ouvert contenantx, disjoint deA. AlorsXUest un ferme contenant

A, doncXUA. Commex2U,x =2A.

(1) l'inclusionAA[A0est evidente carAAet six2A0, siUest un ouvert contenantx, alorsUfxgintersecteAdoncUaussi, d'ouA0A. Reciproquement, supposons quex2Aet quex =2A. SoitUun ouvert contenantx, par (2) il intersecteAen un pointy2U\A. Puisque

x =2A,y6=xet doncU fxgintersecteA. D'oux2A0comme voulu.Exemple1.32.PourA=]0;1[R,A=A0= [0;1]. PourA=f1=njn2Ng R,A=A[ f0g,

A

0=f0g.

Un ouvertUcontenantxest un cas particulier devoisinagedex.Denition 1.33.On dit qu'une partieVXest unvoisinagedexs'il existe un ouvert

U

xtel quex2UxV. On noteVxl'ensemble des voisinages dex.Proposition 1.34(Proprietes des voisinages).(1)Si V2 VxetVV0alorsV02 Vx.

(2)

Si V1;:::;Vn2 Vx, alorsV1\ \Vn2 Vx.

(3)

Si V2 Vx, il existeUV,U3x,U2 Vx0pour toutx02U.

Preuve:

(1) SiV2 Vx, il existeUouvert,x2UV, alorsx2UVV0doncV02 Vx. (2) Pouri2 f1;:::;ngil existeUiouvert,x2UiVi, alorsx2U1\ \UnV1\ \Vn d'ouV1\ \Vn2 Vx. (3) SiV2 Vx, il existeUouvert,x2UV, alors pour toutx02U,x02UVdonc V2 Vx0.En particulier un ouvert est voisinage de chacun de ses points, cette propriete caracterisant

d'ailleurs les ouverts. Le theoreme 1.31(2) est vrai si on remplace "tout ouvert contenantx"Notes du cours N1MA6014, 2012-2013Laurent Bessieres

12 Cours 2 : jeudi 24/01/13

par "tout voisinage dex". Dans la denition d'un point d'accumulation, il est equivalent de demander que "tout voisinage epointe dexintersecteA". Remarque 1.35.Ceux qui se rappellent du cours "Espaces metriques" se demandent peut- ^etre pourquoi il n'est pas mentionne l'equivalence sequentielle :x2Assixest limite (dansX) d'une suite (xn) deA. C'est qu'il n'est pas vrai en toute generalite. On rappelle qu'une suitedans un espaceXest une applicationx:N!X. Pourn2N, les elementsx(n) sont souvent notesxn, et la suite est notee (xn)n2Nou simplement (xn). Denir

une limite de suite ne pose pas de probleme dans un espace topologique :Denition 1.36.SoitXun espace topologique. Soit(xn)n2Nune suite deXetx2X. On

dit que(xn)converge versxsi pour tout voisinageVdex, il existen02Ntel quexn2V

pour toutnn0.Par contre on rencontre des dicultes a denirlalimite d'une suite : celle-ci n'est pas forcement

unique! Pour la topologie grossiere une suite quelconque converge vers tout les points! Voir aussi l'exemple 1.4. La suitexn=apour toutnconverge versaetb. On peut remedier a ces

dicultes avec la notion de topologieseparee, qu'on verra dans un instant. On a cependant :Lemme 1.37.SoitAune partie d'un espace topologiqueXet(xn)une suite deAconvergeant

dansXversx2X. Alorsx2A. Preuve:SoitVun voisinage dex. Soitn0tel quexn2Vpour tout entiernn0. Puisque x

n02A, on aA\V6= 0 d'oux2A.Comme dit plus haut, la "reciproque", a savoir la caracterisation sequentielle de

Acomme etant

l'ensemble des limites de suites deA, est valide dans un espace metrique, mais pas dans un espace topologique en toute generalite. 1.6 Espaces s eparesDenition 1.38.Un espace topologiqueXestseparesi pour toutx6=ydansX, il existe deux ouvertsUx;Uytels que x2Ux; y2Uy; Ux\Uy=;:Notes du cours N1MA6014, 2012-2013Laurent Bessieres

13 Cours 2 : jeudi 24/01/13

Autrement dit on peut separer les points par des ouverts. Un espace metrique est separe car on peut separerxdeypar deux boules ouvertes disjointes (de rayon la moitie ded(x;y)). La

plupart des espaces avec lesquels on travaillera sont separes mais pas tous.Theoreme 1.39.Dans un espace topologique separe, une suite de points converge vers au

plus un point. Preuve:Supposons que (xn) converge versx; soity6=x. On prend des voisinagesUxdexet U ydey, disjoints. Soitn02Ntel quexn2Upour toutnn0. Alors pour toutnn0,xn=2V.

Ce voisinageVemp^eche la suite de converger versy.Theoreme 1.40.Le produit cartesienXYest separe si et seulement siXetYsont separes.

Une partie d'un espace separe est separee.

Preuve:Montrons d'abord). Supposons queXYsoit separe et montrons queXest separe, l'argument sera le m^eme pourY. Soitx6=x0dansX. Prenonsy2Yquelconque. Alors (x;y)6= (x0;y) donc il existe des ouvertsU;VdeXYcontenant (x;y) et (x0;y) respecti- vement tels queU\V=;. La topologie produit ayant pour base de topologie les cubes, il existe un voisinage ouvertUXUYde (x;y) contenu dansU, et un voisinage ouvertVXVYde (x0;y) contenu dansV. Quitte a remplacerUYetVYparUY\VY, on peut supposer queUY=VY. Alors deU\V=;on deduit queUX\VX=;, separantxetx0. Reciproquement siXetY sont separes, soit (x;y)6= (x0;y) par exemple. SoitUx;Ux0deux ouverts deXseparantxdex0. AlorsUxYetUx0Yseparent (x;y) de (x0;y). Le cas (x;y)6= (x;y0) est similaire. SupposonsXsepare et soitAX. Soitx6=y2A. SoitUx;Uydes voisinages dex;yrespecti-

vement, tels queUx\Uy=;. AlorsUx\AetUy\AseparentxetydansA.Exercice1.41.(1)D iscuterde la convergence de la suite xn= 1=ndansR, muni de la topologie

du complement ni. (2) Montrer que Xest separe ssi la diagonale =f(x;x)jx2Xgest fermee dansXX. 1.7

Con tinuite

On se rappelle que la continuite d'une fonctionfentre deux espaces metriques peut ^etre ca- racterisee de la facon suivante : l'image reciproque parfde tout ouvert est un ouvert. Dans le

cadre des espaces topologiques, ce sera notre denition :Denition 1.42.SoitX;Ydeux espaces topologiques etf:X!Yune application. On dit

quefestcontinuesi, pour tout ouvertUdeY,f1(U)est ouvert dansX.Notes du cours N1MA6014, 2012-2013Laurent Bessieres

14 Cours 2 : jeudi 24/01/13

Remarque 1.43.La denition depend des topologies deXetY. SiYest muni de la topologie grossiere, toute application (surjective) est continue. Si c'estXqui est muni de la topologie

grossiere et siYa au moins 2 elements, les seules applications continues sont les constantes.Notes du cours N1MA6014, 2012-2013Laurent Bessieres

Cours 3 : jeudi 31/01/13

Exemple1.44.Les projectionsX:XY,(x;y)7!xetY:XY,(x;y)7!y, sont continues.

Eet pour tout ouvertUdeX,1

X(U) =UYest ouvert dansXY. De m^eme siVest un ouvert deY,1

Y(V) =XVest ouvert dansXY.

Remarque 1.45.La topologie produit est la plus grossiere (la moins ne) rendant les pro- jections continues. En eet siest une topologie surXYtelle queXetYsont continues, alorscontientS=fUYjUouvert deXg [ fXVjVouvert deYg. Or il est facile de voir queSest une sous-base de la topologie produit. Pour verier la continuite, on peut se contenter de tester la denition sur unebasedeY, ou mieux sur unesous-base. En eet siVest un ouvert deY,V=[Bou lesBsont dans la base, et on af1(V) =[f1(B). Il sut donc que chaquef1(B) soit ouvert pour quef1(V) le soit. MaintenantBpeut-^etre ecrit comme une intersection nieS1\:::\Snd'elements de la sous-base. Puisquef1(B) =f1(S1)\:::\f1(Sn), il sut que l'image reciproque de chaque

element de la sous-base soit ouverte.Theoreme 1.46.SoitX;Ydeux espaces topologiques etf:X!Yune application. Sont

equivalents : (1)fest continue. (2)

P ourtoute pa rtieAX,f(A)f(A).

(3)

P ourtout ferm eBdeY,f1(B)est ferme dansX.

(4) P ourtout x2X, pour tout voisinageVdef(x)il existe un voisinageUdextel que f(U)V.Denition 1.47.Si la condition (4) vaut en un pointx2X, on dit que f estcontinue au point x. Puisquef(U)V,Uf1(V), cela equivaut a : l'image reciproque tout15

16 Cours 3 : jeudi 31/01/13

voisinage def(x)est un voisinage dex.Preuve:Montrons (1))(2))(3))(1) et (1))(4))(1). (1))(2) Supposonsfcontinue et soitAY. Soitx2A, montrons quef(x)2f(A). Soit Vun voisinage ouvert def(x), alorsf1(V) est un voisinage ouvert dex, donc intersecteAen un pointy. Il s'ensuit quef(y)2V\f(A). Tout voisinage ouvert def(x) intersectef(A) donc f(x) est adherent af(A). (2))(3) SoitBun ferme deY. PosonsA=f1(B) et montrons queA=A. On af(A)B doncf(A)f(A)B=BdoncAf1(B) =A. (3))(1) SoitVun ouvert deY, alorsYV=Best un ferme. On a f

1(V) =f1(Y)f1(B) =Xf1(B)

est ouvert carf1(B) est ferme par hypothese. (1))(4) Soitx2X; soitVun voisinage def(x). SoitOun ouvert deYtel quef(x)2OV. Puisquefest continue,f1(O) est ouvert dansX. De plusx2f1(O)f1(V). Alors

U=f1(O) est un voisinage dexsatisfaisant (4)

(4))(1) SoitVun ouvert deY; soitx2f1(V). Puisquef(x)2V,Vest un voisinage de f(x). Par hypothesef1(V) est alors un voisinage dex. Puisquexest quelconque dansf1(V), f

1(V) est ouvert.Lemme 1.48.SoitX;Ydeux espaces topologiques,x2Xun point etf:X!Yune

application continue enx. Si une suite(xn)converge versxalors la suite(f(xn))converge versf(x). Preuve:SoitVun voisinage def(x), alorsf1(V) est un voisinage dex. Puisque (xn) converge versxil existen02Ntel quexn2f1(V) pour tout entiernn0. D'ouf(xn)2Vpour tout

entiernn0et (f(xn)) converge versf(x).Remarquons qu'on n'a pas ecrit la "reciproque", a savoir la caracterisation sequentielle de la

continuite, car elle n'est pas vraie en toute generalite. Verier la denition n'est pas forcement

tres pratique. On pourra avoir recours aux regles suivantes.Theoreme 1.49(Regles de construction d'applications continues).SoitX;YetZdes es-

paces topologiques. (1) (fonction constante) Si f:X!Yenvoie toutXsur un pointy2Y, alorsfest continue. (2) (inclusion) Si AX, la fonction inclusionj:A!Xest continue. (3) (comp osition)Si f:X!Yetg:Y!Zsont continues, alorsgf:X!Zest continue. (4) (restriction du d omaine)Si AXet sif:X!Yest continue, alors la restriction f jA:A!Yest continueNotes du cours N1MA6014, 2012-2013Laurent Bessieres

17 Cours 3 : jeudi 31/01/13

(5) (restriction ou agrandissement au bu t)Soit f:X!Yest continue. SiZYcontient l'imagef(X), alors la fonctiong:X!Zrestriction defau but est continue. SiZY, alors la fonctiong:X!Zobtenue en agrandissant l'espace but def, est continue. (6) (fo rmulationlo cale)L'application f:X!Yest continue siXadmet un recouvrement par des ouvertsUtels que chaque restrictionfjUsoit continue. (7) (Recollement de ferm es)Si X=A[BouAetBsont fermes dansX,f:A!Y continue etg:B!Ycontinues telles quef(x) =g(x)pour toutx2A\Balors la fonction combineeh:X!Ydenie parh(x) =f(x)six2Aeth(x) =g(x)six2B est continue.

Preuve:(1)-(5) sont evidents.

(6) Voir que pour un ouvertVY,f1 jU(V) =f1(V)\Uest ouvert dansXcar ouvert dans U par hypothese etUest ouvert dansX. Ensuite, puisqueX=SU f

1(V) =f1(V)\[U

=[(f1(V)\U) est une union d'ouverts deXdonc ouverte. (7) SoitUun ferme deY,f1(U) = (f1(U)\A)[(f1(U)\B) =h1(U)[g1(B) est une

union nie de fermes donc fermee.Exercice1.50.(1)f:X!YZ,f= (f1;f2)est continue si et seulement sif1etf2sont

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