[PDF] Topologie de R (bis). Donner un exemple d'une

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Universit´edeCergy-Pontoise2015-2016

Approfondissements,S4.

TopologiedeR(bis).

Exercice46. :Soit ()Nunesuiter´eelleconvergeantversR.Montrerque l"ensemble;Nestcompact.

Exercice47. :Soit ()Nunesuiter´eelle et=;N.

1.Soitun pointd"accumulation de.Montrerqueestunevaleurd"adh´erencede

lasuite()N.

2.SoitRunevaleurd"adh´erencede.Montrerqueestun pointd"accumu-

lation de. qu"unevaleurd"adh´erencedelasuite()Nestun pointd"accumulation de.

4.Donnerunexempled"unesuite()Nquine convergepasetquiaunevaleur

d"adh´erencequin"estpasun pointd"accumulationde. Exercice48.:SoitunepartiedeRquin"apasdepointd"accumulation.Soit ()N Exercice49. :Soitunepartieborn´eedeRsanspointd"accumulation.Montrerque estunensemblefini. Exercice50.:Soitunepartienonvideetdiscr`etedeR,c"est-`a-direqu"elle estseule-

2.Montrerque°=.

3.SoitRun pointd"accumulationde.Montrerque.

pointd"accumulation.

6.Soit (;)(N)2telque(?1).V´erifierque,pour1,

1 +11?1 born´ee.V´erifierquel"ensembledespointsd"accumulation de2admetlui-mˆemeun pointd"accumulation.

8.Enest-ildemˆemede3=1+(?1)1;N2(?1)?

Exercice51.:On pourrautiliserlesexercices21et50.OnrappellequeQestdense

Onconsid`erel"ensemblesuivant

Q =?Q;0; ]?;+[aexactementun´el´ement?

2.Montrerque

Q]?;+[

3.End´eduirequeestau plusd´enombrable.

tionde.Soit=()Nunesuiter´eelle.On notepar()l"ensembledesvaleurs ()estunferm´edeR. Exercice53. :Pour toutepartiedeR,onnoteparl"ensembledespointsd"ac- unepartiedeRtelleque=.(D"apr`esl"exercice52, l"hypoth`ese"ferm´ee"est n´ecessaire.)

3.Quelpeut-onchoisirlorsqueestvide?

5.Onsupposequeestnonvide.Onchoisit

=o`u=?+1;etN?

Danslasuite,onvamontrerque=.

a.V´erifierque. b.Soit. telleque,pourtout,=.

2.MontrerquesiN;estfini,.

3.Onsupposequel"ensembleN;estinfini.

ettelleque,pourtout,(). ii.Pour toutN,soit()lepluspetitentier0telque()?1 on pourrautiliserl"exercice48).End´eduireune contradiction. iii.En utilisantlefaitque(())Nestnonborn´ee,montrerqueestlimite Exercice54. :Pourunesuiter´eelle,on notepar()l"ensembledesvaleurs On utiliselesnotionsetlesr´esultatsdel"exercice21. deux`adeuxdistinctsde[?12;+12]telleque [?12;+12]? Lafamilled´epend biensˆurdemaisonn"indiquepascetted´ependance.

2.SoitZ.

;1=? ?(1)?Q;1? derationnels2 `a 2distinctstelsque,pour1, ?(1)?]?12;+12[et? ??(1)??(1)? ?1 b).Supposonsconstruit,pour2,;1;1tellesque,pour tout

N[1;?1],

?(1)?Q;1? avec,pour tout1, ?(1)?]?12;+12[et? ??(1)??(1)? ?1

1,avec(;)=().

;1;. finiesv´erifiantlespropri´et´esdu2.On pose Z? N Z? N? 1? ?(1)?? a).V´erifierqueestd´enombrable.On notepar:N?unebijectiondeNsur .Soit=()Nlasuiter´eelled´efiniepar,pour toutN,=(). b).Soit.SoitZtelque[?12;+12].

1.Montrerqu"ilexisteunesuite()Ntelleque,pour toutN,1

ettelleque=lim((1)).

2.End´eduirequeestun pointd"accumulation de.Parl"exercice47,ona

donc(). c).Soit ()Nunesous-suitedequiconverge.Montrerqu"ilexisteZetune d).Soit ()Nunesous-suitedequiconvergeversuncertainetquiv´erifie, pouruncertainZ,pour tout,[?12;+12].

1.Pard´efinition delasuite, ilexiste,pour toutN,Net1telsque=((1)).Montrerqu"ilexisteuneinjectioncroissantetelle

que,pour toutN, ()?()(1 ())?(+1)1;()(1 ())+(+1)1? (Indication:noterque,pour toutN, l"ensemble;+1estfini). =lim()?1

3.End´eduireque=.

d).Montrerque=(). Exercice55. :Soitl"ensembledessuites=()Ntelleque,pour toutN, =0,=1 ou=2.Soitlesous-ensembledeform´edessuites=()N telleque,pourtoutN,=0 ou=2.Soit:?[0;1]d´efiniepar =1 3(12) On noteparlafonctionpartieenti`ere.Onnotepar=(),l"imagedepar.

1.V´erifierqueestbiend´efinie, c"est-`a-direquelas´eriedans(12)estconvergenteet

quesasommeappartient`a[0;1].Montrerque0et1.Montrerque13 a

2.SoitNet.Montrerque

=+1

313(13)

=+1

313?13(14)

3.Soit[0;1[.Soit ()Nd´efiniepar1=(3)et,pour1,

3 ?1? =1 3? Montrer,par r´ecurrencesur1,lapropri´et´e N()=?

0;1;2et3?

=1 3? [0;1[?

4.Soit ()telque=et()=().Soitlepremierentier1telque

pour tout+1,=2et=0.

5.Soit ()etNtelsque,pour1,=,=+1etque,pour

tout+1,=2et=0.Montrerque=et()=(). =()]?;+[.(Indication:on pourraconstruireenmodifiant =()]?;+[et. tellesque0;2,si,=1,et=0,si.Pour,on pose ()=]();()+3[.Onremarqueque=etque, lecardinalde ,est21. a).Montrerque,si=dansN,alors=.

0telque0;2.Soitd´efiniepar=,si,et=0,

sinon.V´erifierque.Montrerque()(). e).Soitettellesque=.Montrerque()()=. f).PourN,soit =1? ()et=? N [0;1] Calculer, lalongueur totalede.Montrerquelasuite()Nconverge vers1.contientdoncdesensemblesdontlalongeur totales"approchede1 aussi pr`esquel"onveut. =[0;1],ou,demani`ere´equivalente,que=[0;1], lecompl´ementaire dedans[0;1].

10.Montrerqueestconstitu´edepointsd"accumulation de.Montrerquel"int´erieur

deestvide. Exercice56. :Danscetexercice,onmontrequel"ensembletriadiquedeCantorde l"exercice55estlemˆemequel"ensembledel"exercice4ducontrˆolecontinu du6mars

2015.Apr`esavoirrappel´equelquesnotationsde cetexercice4,on´etablitquelquesr´esultats

0et1sontcontinuesetstrictementcroissantesdoncinjectives.On d´efinitparr´ecurrence

+1;2=0?;?et+1;2+1=1?;? Pourdeuxpartiesetde[0;1],on ditqueest`agauchede,onnotesi supinfet=.On ditqueestcoll´ee`agauchede,on notesi sup=infet=. L"ensemble´etantceluidel"exercice55,on d´efinitdeuxapplications01:?

2,0=1=1.

?0()0()?et?1()1()?et?0()1()?et?0()1()?

Montrerque,si,alors0()0()et1()1().

estcelledel"exercice55.) l"union disjointede0=;0=0et1=;0=2.

4.SoitN.Montrerque0()=0+1et1()=1+1.

et1(()+3)=(1())+3(+1).En d´eduireque0(())=(0())et

6.Onmontre,par r´ecurrencesurN, laproposition()suivante:

).PourN[0;2?1]telsque;;et telsque,pour tout

N[0;2?1],laproposition

?;;et;;?(15) soitfausse,ilexisteN[1;]ettelsque;();. ).Pour toutN[1;]ettousettelsque()()et telsque,pourtoutN[1;]et, laproposition ?()()et()()?(16) soitfausse,ilexisteN[0;2?1]telque();(). ).IlexisteN[0;2?1]telsque0;et1;. a).V´erifierque(1)et(2)sontvraies. proposition(15).Montrerque+1;()+1;avec1,ou bienles inclusdans1;1=[0;13]. (;1)et+1;=(;1)et telsque;1et;1v´erifientlaproposition(15). ou=+1.Montrerqu"ilexiste0;1,11et

11telsque

((1))=()et(( telque()+1;(). f).Onadoncmontr´eparr´ecurrenceque()vraiepour toutN.SoitN,

N[1;],etN[0;2?1].Montrerque();=.

g).SoitN.Soit[0;1]telque,pour toutN[0;2?1],;.Montrer qu"ilexisteN[1;]ettelsque(). lecompl´ementairededans[0;1]. i).End´eduireque=. Exercice57.:Soit ()NunesuitedeCauchy.Montrerqu"elleestborn´ee.Soit ()N unesuite convergente.Montrerqu"elleestdeCauchy. Exercice58. :SoitRtelque1.Soit ()Nlasuited´efiniepar =0 Exercice59. :SoitdansR.On noteparlafonction partieenti`ere.L"objetde d´efiniedansl"exercice44etquel"onrappelleici:Pour toute collection()d"ouverts deRtelleque (17) on peuttrouverunsous-ensemblefinidetelque (18)

PourRet0,on pose(;)=]?;+[.

lenombred"´el´ements,telque (Indication:on pourraprendre=(2(?)(3))et=+(1+3)2;0 Cettepropri´et´e´etantvraiepour tout0,on ditque[;]estpr´ecompact. lection()d"ouvertsdeRv´erifiant (17)maistelleque(18)soitfaussepour toutsous-ensemblefinide.Construirepar r´ecurrenceunesuiter´eelle()N d"´el´ementsde[;]telleque,pour toutN,(;2)(+1;21)=et finide. (Indication:on pourrautiliser1.).

4.Montrerqu"ilexiste0telque(;).

5.Montrerqu"ilexisteNtelque(;2)(;).

6.End´eduireunecontradiction.

Exercice60. :Soit:R?R.

=?00;R?=()?()?

00;?]?;+[?]()?;()+[?

=?();1()? =?()1()? =?R? =?1()? =?00;R?=()? =?+1()? =?00;R=()?? =?1()+?

Exercice61. :Soit=()Nunesuiter´eelle.

=?0N;N=??

0N;N=]?;+[?

=?N;?[;+[N?? =?N+;1()? =?1()N+? =?0N;N=?? =?∞1()N+?

Exercice62. :Soit:R?Rcontinue.

1.Montrerque,pour toutR, l"ensemble1()estferm´e.

2.SoitR.Montrerque1()estd"int´erieurnonvidesietseulementsi ilexiste

unintervalledelongueurstrictementpositivetelquelarestriction de`asoit constante´egale`a. alorsestun pointisol´ede1(). Montrerqueestun pointisol´ede1().Quepeut-on direde()?Donnerun exempled"unetellefonction. Exercice63. :Pour:R?R,on pose=1(]0;+[)et=1([0;+[). compact?Mˆemequestion pour.(Indication:on pourraremarquerque(1)=0). compact?Mˆemequestion pour.(Indication:onpourraremarquerque(1)=0).

V´erifierque

maisque=.

3.Quepeut-ondiredel"´enonc´esuivant?Pour toutefonctioncontinue:R?Ret

toutouvertdeR, 1? ?=1() partiedeR.

1.°

2.¯

3.Soitunouvertet

.Alors.

4.Soitunouvertet.Alors.

5.Si°=alorsestunepartiefinie.

6.Soitunouvertetunferm´e.estouvert.

8.Soit (;)R2avec.Detoutesuiter´eelle()Nv´erifiant,pour toutN,

,on peutextraireunesous-suiteconvergente.

9.Soit (;)R2avec.Detoutesuiter´eelle()Nv´erifiant,pour toutN,

,on peutextraireunesous-suiteconvergentedans];].

11.Ilexisteunepartienonvide etcompactedeRd"int´erieurvide.

12.Unepartiediscr`eteadmetau plusun nombrefinidepointsd"accumulation.

13.Soit:R?RetR.La "courbe"deniveau1()estunferm´edeR.

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