Rappels et outils de base
Définition 1.1.5 Soient (XT) un espace topologique et x un point de X. On (d) On dit que x est un point d'accumulation de A si tout voisinage de x ...
Topologie de R (bis).
Donner un exemple d'une suite (xn)n?N qui ne converge pas et qui a une valeur d'adhérence a qui n'est pas un point d'accumulation de X. Exercice 48. : Soit F
3 Exercices du Chapitre 3
i=1Ai = B ? B ? {0} = B. Exercice 10.7. Donner un exemple d'un ensemble borné de R ayant exactement trois points d'accumulation.
Exercices de licence
Montrer que tout point d'accumulation de A est valeur d'adhérence de la suite. Exercice 90. 1. Soit (un) une suite réelle telle que eiun et ei.
Eléments de topologie et espaces métriques
5 févr. 2016 4-e Point d'accumulation. Soit A une partie d'un espace topologique X. Définition 4.24 Un point x est un point d'accumulation de A si tout.
Le Théorème de Bolzano-Weierstrass A. Historique
2.3. Enfin notre théorème ! Ébauchant la topologie Weierstrass définit un point d'accumulation d'un ensemble de réels : On appelle
Espaces topologiques
Par définition p est dit point d'accumulation com plète de A (maximée au sens de Fréchet) si tout ensemble ou vert contenant p contient un ensemble de points
Espaces topologiques
Par définition p est dit point d'accumulation com plète de A (maximée au sens de Fréchet) si tout ensemble ou vert contenant p contient un ensemble de points
TOPOLOGIE
Le nombre d(x y) s'appelle distance des points x et y. soit un point d'accumulation de A : si tout voisinage de x rencontre A {x}.
Cours N1MA6014 : Géométrie et Topologie
Soit A une partie d'un espace topologique X. On dit que x ? X est un point d'accumulation de A si pour tout tout ouvert U contenant x U ? {x}
Chapter 2 FUNCTIONS: LIMITS AND CONTINUITY - UH
This chapter is concerned with functions f : D ? R where D is a nonempty subset of R That is we will be considering real-valued functions of a real variable The set D is called the domain of f De?nition 1 Let f : D ? R and let c be an accumulation point of D A number L is the limit of f at c if to each > 0 there exists a ? > 0 such
Accumulation Point: Definition Examples - Calculus How To
2 Definition of an accumulation point: Let S be a subset of Rnandx a point in Rn then x is called an accumulation point of S if every n ball B x contains at least one point of S distinct from x To be roughly B x x S Thatisx is an accumulation point if and only if x adheres to S x Note that in this sense
POL502 Lecture Notes: Limits of Functions and Continuity
In fact if c is not an accumulation point and c belongs to X then f is automatically continuous at c because you can always ?nd ? > 0 small enough so that x ? c < ? and x ? X imply x = c and hence f(x) ? f(c) = 0 < for any > 0 Therefore the only interesting case is that c is an accumulation point and belongs to X
Searches related to point d+accumulation pdf PDF
2 Sequences accumulation points limsup and liminf Let {x n}? n=1 be a sequence of real numbers A point x is called an accumulation point of if there exists a subsequence {x n k} which converges to x A well-known theorem is Theorem 2 1 Boltzano-Weierstrass Theorem Any sequence which is bounded above (i e there exists M such that x
What is accumulation point x?
To be an accumulation point x, there have to be points in the set arbitrarily close to x other than x itself. You can think of x as being similar to a limit of a sequence of points of S that can’t just be the constant sequence x.
How many accumulation points can a set have?
A set can have many accumulation points; on the other hand, it can have none. For example, any real number is an accumulation point of the set of all rational numbers in the ordinary topology. In a discrete space, no set has an accumulation point. The set of all accumulation points of a set $A$ in a space $X$ is called the derived set (of $A$).
Why is every accumulation point an adherent point?
This is because it is on the boundary, so every open set around it contains some point in the set and outside it. Note that every accumulation point of aset has to be an adherent point (why?). I think you may have this backwards.
What is accumulation point in boltzano-Weierstrass theorem?
n=1 be a sequence of real numbers. A point x is called an accumulation point of if there exists a subsequence {x n k} which converges to x. A well-known theorem is Theorem 2.1 Boltzano-Weierstrass Theorem Any sequence which is bounded above (i.e there exists M such that x n ? M for all n) has at least one accumulation point.
Exercices de licence
Les exercices sont de :
Corn´elia Drutu (alg`ebre et th´eorie des nombres)Volker Mayer (topologie, analyse r´eelle)
Leonid Potyagailo (alg`ebre et g´eom´etrie)
Martine Queff´elec (analyse r´eelle, analyse complexe)Les sujets d"examens sont de :
Anne-Marie Chollet (variable complexe : VC)
Gijs Tuynman (analyse r´eelle et complexe : AR et ARC)Table des mati`eres2Table des mati`eres
I Topologie4
1 Notions de topologie I4
1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Topologie g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Espaces m´etriques, espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Notions de topologie II8
2.1 Topologie s´epar´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Topologie induite, topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Fonctions continues surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Continuit´e dans les espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Topologie des espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Comparaison de topologies et de m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 Suites, limites et valeurs d"adh´erence, points d"accumulation et points isol´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Notions de topologie III15
3.1 Hom´eomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Dualit´e, isom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Prolongement de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 M´etrique de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Connexit´e18
4.1 Connexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Connexit´e par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Compacit´e21
5.1 Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Compacit´e dans les espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II Analyse r´eelle 27
6 Applications lin´eaires born´ees27
6.1 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2 Formes lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7 Espaces m´etriques complets, Banach29
7.1 Espaces m´etriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Espaces norm´es, Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8 Th´eor`eme du point fixe32
9 Applications uniform´ement continues34
9.1 Applications uniform´ement continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.2´Equicontinuit´e, th´eor`eme d"Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10 Applications diff´erentiables37
10.1 Applications diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.2 Th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
11 Th´eor`eme d"inversion locale et des fonctions implicites 41
11.1 Th´eor`emes d"inversion; diff´eomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11.2 Th´eor`eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11.3 Sous-vari´et´es deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
12 Diff´erentielles d"ordre sup´erieur, formule de Taylor, extremums 46
12.1 Diff´erentielles d"ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
12.2 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
12.3 Formule de Taylor, extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13 Equations diff´erentielles48
13.1 Equations diff´erentielles : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13.2 Solutions maximales d"´equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
13.3 Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
13.4 Syst`emes `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
13.5 R´esolvantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III Alg`ebre et g´eom´etrie 57
Table des mati`eres314 G´en´eralit´es sur les groupes5715 Groupes et actions59
16 Isom´etries euclidiennes60
17 G´eom´etrie diff´erentielle ´el´ementaire deRn62
18 G´eom´etrie et trigonom´etrie sph´erique62
19 Le groupe orthogonal et les quaternions63
20 G´eom´etrie projective I64
21 G´eom´etrie projective II : homographies deCP164
21.1 Applications conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
21.2 Propri´et´es des homographies deCP1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
22 G´eom´etrie et trigonom´etrie hyperbolique66
IV Analyse complexe 67
23 S´eries enti`eres67
24 Fonctions holomorphes69
25 Fonctions logarithmes et fonctions puissances71
26 Formule de Cauchy73
27 Cons´equences de la formule de Cauchy76
28 Singularit´es80
29 Int´egrales curvilignes82
30 Th´eor`eme des r´esidus84
31 Fonctions Zeta et autres...86
31.1 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
31.2 Transformations deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
V Alg`ebre et th´eorie des nombres 89
32 Groupes89
33 Sous-groupes, morphismes91
34 Groupes finis93
35 Anneaux, corps95
36 Polynˆomes97
37 Extension de corps99
38 Extension d"anneau100
VI Sujets d"examens 101
39 Examen AR janvier 1994101
40 Examen AR juin 1994102
41 Examen AR septembre 1994103
42 Examen AR janvier 1995104
43 Examen AR juin 1995105
44 Examen AR septembre 1995106
45 Examen AR juin 1996107
46 Examen ARC d´ecembre 1998108
1 Notions de topologie I447 Examen ARC janvier 1999110
48 Examen ARC septembre 1999111
49 Examen ARC novembre 1999112
50 Examen ARC janvier 2000114
51 Examen ARC septembre 2000115
52 Examen ARC d´ecembre 2000116
53 Examen ARC janvier 2001117
54 Examen ARC septembre 2001118
55 Examen VC janvier 96119
56 Examen VC avril 96120
57 Examen VC juin 96121
58 Examen VC septembre 96123
59 Examen VC janvier 98125
VII Corrections 127
Premi`ere partie
Topologie
1 Notions de topologie I
1.1 Rappels
Exercice 11. Rappeler les d´efinitions d"une borne sup´erieure (inf´erieure) d"un ensemble de nombres r´eels.
SiAetBsont deux ensembles born´es deR, comparer avec supA, infA, supBet infBles nombres suivants : (i) sup(A+B), (ii) sup(A?B), (iii) sup(A∩B), (iv) inf(A?B), (v) inf(A∩B).2. Pourx?RnetA?Rnon d´efinitd(x,A) = infa?A||x-a||. Trouverd(0,R-Q),d(⎷2,Q),d(M,D) o`u
M= (x,y,z)?R3etDest la droite de vecteur unitaire (a,b,c).3. PourA,B?Rnon d´efinitd(A,B) = infa?A,b?B||a-b||. Trouverd(A,B) lorsqueAest une branche de
l"hyperbole{(x,y)?R2;xy= 1}etBune asymptote.4. On d´efinit diamA= supa,b?A||a-b||. Quel est diam([0,1]∩Q)? diam([0,1]∩R-Q)?
Exercice 2Montrer que tout ouvert deRest union d´enombrable d"intervalles ouverts deux `a deux disjoints.
(Indication :six?Oouvert, consid´ererJx=?des intervalles ouverts,?Oet?x). D´ecrire de mˆeme les
ouverts deRn.Exercice 3On va montrer que l"ensembleDdes r´eels de la formep+q⎷2 o`upetqd´ecriventZ, est dense
dansR.1. Remarquer queDest stable par addition et multiplication.
2. Posonsu=⎷2-1; montrer que pour tousa < b, on peut trouvern?1 tel que 0< un< b-a, puism
v´erifianta < mun< b.En d´eduire le r´esultat.
1.2 Topologie g´en´erale
Exercice 41. SoitX={0,1}muni de la famille d"ouverts{∅,{0},X}. Cette topologie est-elle s´epar´ee?
2. SoitXun ensemble non vide. D´ecrire la topologie dont les singletons forment une base d"ouverts.
1 Notions de topologie I53. D´ecrire la topologie surRdont la famille des intervalles ferm´es forme une base d"ouverts; mˆeme question
avec les intervalles ouverts sym´etriques.4. SoitXun ensemble infini. Montrer que la famille d"ensembles constitu´ee de l"ensemble vide et des parties
deXde compl´ementaire fini d´efinit une topologie surX. Exercice 5SoitXun espace topologique, etfune application quelconque deXdans un ensembleY. On ditqu"une partieAdeYest ouverte, sif-1(A) est un ouvert deX. V´erifier qu"on a d´efini ainsi une topologie sur
Y.Exercice 6Montrer qu"on peut construire surR? {∞}une topologie s´epar´ee en prenant comme ouverts, les
ouverts deRet les ensembles de la forme{x/|x|> a} ? {∞}o`uaest r´eel. Comment construire une topologie
s´epar´ee surR? {+∞} ? {-∞}?Exercice 7SoitXun ensemble non vide et Σ une famille de parties deXstable par intersection finie et
contenantX. Montrer que la plus petite topologieTcontenant Σ (la topologie engendr´ee par Σ) est constitu´ee
des unions d"ensembles de Σ, ou, de fa¸con ´equivalente,A? T ?? ?x?A?S?Σ ;x?S?A.
Montrer que l"on peut affaiblir l"hypoth`ese de stabilit´e par intersection finie en : (?)?S1,S2?Σ,?x?S1∩S2,?S3?Σ ;x?S3?S1∩S2.Exercice 8SoitCl"ensemble des fonctions continues r´eelles sur [0,1]. Pour toutef?Cetε >0 on d´efinit
M(f,ε) ={g/?
1 0 |f-g|< ε}.Montrer que la famille M des ensemblesM(f,ε) lorsquef?Cetε >0 est une base de topologie. Mˆeme
question avec la familleU(f,ε) ={g/sup
x|f(x)-g(x)|< ε}.Exercice 9UdansNest dit ouvert s"il est stable par divisibilit´e, c.a.d. tout diviseur den?Uest encore dans
U. Montrer qu"on a d´efini ainsi une topologie surNqui n"est pas la topologie discr`ete. Exercice 10On consid`ere dansN?, la famille de progressions arithm´etiques P a,b={a+bn/n?N?}, o`uaetbsont deux entiers premiers entre eux.1. Montrer que l"intersection de deux telles progressions est soit vide, soit une progression arithm´etique de
mˆeme nature, plus pr´ecis´ement, P a,b∩Pa?,b?=Pα,β o`uαest le minimum de l"ensemblePa,b∩Pa?,b?, etβ= ppcm (b,b?).2. En d´eduire que cette famille d"ensembles (en y adjoignant∅) forme une base de topologie surN?dont on
d´ecrira les ouverts.3. Montrer que cette topologie est s´epar´ee.
1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere
Exercice 111. Montrer que siBest un ouvert de l"espace topologiqueXetA∩B=∅, alorsA∩B=∅,
mais queA∩Bn"est pas n´ecessairement vide.2. Montrer `a l"aide d"exemples que l"´egalit´e?iAi=?iAin"a pas lieu en g´en´eral pour une infinit´e d"indices.
Exercice 12D´eterminer l"adh´erence et l"int´erieur des ensembles suivants : Q;R\Q;{(x,y)?R2/0< x <1,y= 0};{(x,y,z)?R3/ x= 0} {1n,n?1}; le cercle unit´e deR2. Exercice 13SiAest une partie de l"espace topologiqueX, on poseα(A) =◦Aetβ(A) =◦A.1. Montrer queαetβsont des applications croissantes pour l"inclusion deP(X) dansP(X).
2. Montrer que siAest ouvert,A?α(A) et siAest ferm´e,β(A)?A. En d´eduire queα2=αetβ2=β.
1 Notions de topologie I63. ConstruireA?Rtel que les cinq ensembles :
A,A,◦A,α(A),β(A) soient tous distincts. Exercice 14D´eterminer l"adh´erence dansR2du grapheG={(x,y)/y= sin1x,0< x?1}.
Exercice 15Dans un espace topologique, on d´efinit la fronti`ere d"une partieAcomme ´etant∂A=A\◦A.
1. Montrer que∂A=∂(Ac) et queA=∂A??Aferm´e d"int´erieur vide.
2. Montrer que∂(A) et∂(◦A) sont toutes deux incluses dans∂A, et donner un exemple o`u ces inclusions sont
strictes.3. Montrer que∂(A?B)?∂A?∂B, et que l"inclusion peut ˆetre stricte; montrer qu"il y a ´egalit´e lorsqueA∩B=∅(´etablir◦A?B?◦A?◦B).
Montrer que
◦A?B=◦A?◦Breste vrai lorsque∂A∩∂B=∅(raisonner par l"absurde). Exercice 161. SoitXun espace topologique, etDun sous-ensemble (partout) dense dansX. Montrer qu"il est aussi ´equivalent de dire (i) Le compl´ementaire deDest d"int´erieur vide. (ii) SiFest un ferm´e contenantD, alorsF=X. (iii)Drencontre tout ouvert non vide deX. Montrer qu"un ensembleA?Xrencontre toute partie dense dansXsi et seulement si il est d"int´erieur non vide.2. SoitEetGdeux ouverts denses dansX; montrer queE∩Gest encore dense dansX. En d´eduire que
toute intersection d´enombrable d"ouverts denses est une intersection d´ecroissante d"ouverts denses.
Exercice 17Etablir les propri´et´es suivantes de l"adh´erence d"un ensemble dans un espace topologique :
1.A=A2. SiA?BalorsA?B.
3.A?B=A?B
Montrer que la formuleA∩B=A∩Bn"est pas vraie en g´en´eral; montrer que 3. n"est pas vrai en g´en´eral pour
une infinit´e d"ensembles. Exercice 18Etablir l"´equivalence entre les propri´et´es suivantes : 1. ◦Aest le plus grand ouvert contenu dansA.2.a?◦Asi et seulement si il existe un voisinage deaenti`erement contenu dansA.
Etablir pour l"int´erieur d"un ensemble des propri´et´es analogues `a celles de l"exercice 17.
Exercice 19On rappelle la construction de l"ensemble triadique de Cantor : on part du segment [0,1] dont on
supprime l"intervalle m´edian ]13,23[; `a la deuxi`eme ´etape, on supprime les intervalles ]19,29[ et ]79,89[ etc. On note
Knla r´eunion des intervalles restants `a lan-i`eme ´etape, etK=?Kn.Quelle est l"adh´erence et l"int´erieur de
K? Exercice 20SoitXun espace topologique, etDun sous-ensemble dense dansX. Montrer qu"il est aussi´equivalent de dire
1. Le compl´ementaire deDest d"int´erieur vide.
2. SiFest un ferm´e contenantD, alorsF=X.
3.Drencontre tout ouvert deX.
Montrer qu"un ensembleA?Xrencontre toute partie dense dansXsi et seulement si il est d"int´erieur non
vide. Exercice 21SoitEetGdeux ouverts denses dansX; montrer queE∩Gest encore dense dansX.Exercice 22Soitfune application deRdansRtelle que pour touta >0, l"ensemble desxv´erifiant|f(x)|> a
est fini. Montrer que{x/f(x) = 0}est dense dansR. Le v´erifier sur l"exemple suivant : on ´enum`ere les rationnels
r1,r2,r3,···,rn,···et on posef(rn) =1nsin?1,f(x) = 0 ailleurs.
Exercice 23Montrer que{⎷n-E(⎷n),n?1}est dense dans [0,1], o`uE(x) d´esigne la partie enti`ere dex.
1 Notions de topologie I71.4 Espaces m´etriques, espaces vectoriels norm´es
Exercice 241. Montrer que dans tout espace m´etrique (E,d) une boule ferm´ee est un ferm´e, mais que
l"adh´erence d"une boule ouverteB(a,r) ne coincide pas n´ecessairement avec la boule ferm´eeB?(a,r) (on
pourra consid´erer dans (R2,||.||∞),E= [0,1]× {0} ? {0} ×[0,1] et la boule centr´ee en (12,0) de rayon
1/2).2. Montrer que la famille des boules ouvertes de (E,d) v´erifie la condition (?) de l"exercice 7.
Exercice 25(E,||.||) un evn.
1. Montrer que dans ce cas la boule ferm´eeB?(a,r) est l"adh´erence de la boule ouverteB(a,r).
2. Montrer queB(a,r)?B(b,R)??r?Ret||a-b||?R-r.
Exercice 261. Si (x,y)?R2, on pose||(x,y)||= max(|x+y|,|x-2y|). Montrer qu"il s"agit d"une norme surR2et dessiner sa boule unit´e ferm´ee.2. Soitp,qdeux normes surRn,BpetBqleurs boules unit´es ferm´ees. Montrer que
B q?Bp??p?q.Que signifie
12Bp?Bq?2Bp? Exemples.
Exercice 27SoitEun ensemble non vide, etX=ENl"ensemble des suitesx= (xn) d"´el´ements deE. Pour
x,y?X, on posep(x,y) = min{n/xn?=yn}six?=y, et∞six=y.1. Montrer qued(x,y) =1p(x,y)(avec1∞= 0) est une distance surXqui v´erifie l"in´egalit´e ultram´etrique
d(x,z)?max(d(x,y),d(y,z)).2. Quelles sont les boules ouvertes et les boules ferm´ees pour cette m´etrique?
Exercice 281. Soit||.||une norme surRnetKsa boule unit´e ferm´ee. Montrer que (i)Kest sym´etrique, (ii)Kest convexe, ferm´e, born´e, (iii) 0 est un point int´erieur `aK.2. R´eciproquement, montrer que siKposs`ede les trois propri´et´es ci-dessus, il existe une norme dontKsoit
la boule unit´e ferm´ee, en consid´erant p(x) = inf{a >0 ;xa?K}. [Exercice corrig´e]Exercice 29On noteX=l∞l"espace des suites r´eelles born´ees, etY=c0l"espace des suites r´eelles tendant
vers 0, tous deux munis de la m´etrique (`a v´erifier)d(x,y) = supn|x(n)-y(n)|. Montrer queYest ferm´e dans
X. Montrer que l"ensemble des suites nulles `a partir d"un certain rang est dense dansYmais pas dansX.
Exercice 30SoitE={f?C1([0,1],R) ;f(0) = 0}. On pose ||f||= sup0?x?1|f(x) +f?(x)|,etN(f) = sup
0?x?1|f(x)|+ sup
0?x?1|f?(x)|.
Montrer que ce sont deux normes ´equivalentes surE. Exercice 31Montrer que dans un espace norm´e, la boule unit´e est convexe.R´eciproquement, supposons que l"espace vectoriel soit muni d"une applicationNdeEdansR+telle queN(λx) =
|λ|N(x), et telle que{y/N(y)?1}soit convexe. Montrer queN(x+y)?2sup(N(x),N(y)), x,y?E.
Exercice 32On consid`ere dansR2, les deux applications n((x,y)) = sup t?[0,1]|x+ty|, m((x,y)) =? 1 0 |x+ty|dt.2 Notions de topologie II81. Montrer quenetmd´efinissent deux normes surR2.
2. Dessiner les boules unit´es ferm´ees associ´ees, et trouver des constantes effectivesA,B, telles queA n((x,y))?
m((x,y))?B n((x,y)) pour tout (x,y)?R2.Exercice 331. On consid`ere dansR2les 4 boules euclidiennes ferm´ees de rayon 1 centr´ees aux points
(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1);Aleur r´eunion contient 0 comme point int´erieur. Trouver le rayon de la plus
grande boule ouverte centr´ee en 0 et contenue dansA.2. On se pose plus g´en´eralement le probl`eme dansRn:Ad´esigne l"union?jB(ej,1)?jB(-ej,1) o`u (ej) est
la base canonique deRn. Montrer quex?Asi et seulement si?x?22?2?x?∞. En d´eduire que le rayon
de la plus grande boule ouverte centr´ee en 0 et contenue dansAest2⎷n.Exercice 34SoitNun entier?1, etE, l"espace des polynˆomes trigonom´etriquespde degr´e?N,p(t) =?N
-Nckexp(ikt). On pose, pourp?E,?p?∞= supt?[0,2π]|p(t)|, et?p?=?N -N|ck|. Montrer, `a l"aide de l"identit´e de Parseval, que ces deux normes v´erifient ?p?∞??p??⎷2N+ 1?p?∞.2 Notions de topologie II
2.1 Topologie s´epar´ee
Exercice 35 (Espace quasi-s´epar´e)Soit (X,T) un espace topologique.1. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :
(i)?x,y?X, x?=y,?Vvoisinage dex;y /?V. (ii)?x?X,{x}est ferm´e. (iii)?x?X,∩ {V;Vvoisinage dex}={x}.2. Soit (X,T) ainsi etA?Xtel queA?=A. Montrer que six?A\A, tout voisinage dexcoupeAen une
infinit´e de points.Exercice 36 (Exemple de topologie non s´epar´ee)DansC, on note [z0→[ la demi-droite{ρeiθ0;ρ?ρ0},
siz0=ρ0eiθ0. On d´eclare ouvert toute r´eunion (´eventuellement vide) de telles demi-droites.
1. Montrer qu"on a ainsi d´efini surCune topologieTnon s´epar´ee.
2. Montrer que l"adh´erence du point{z0}pour cette topologie est [0,z0].
3. En d´eduire que les ferm´es deTsont les ensembles ´etoil´es par rapport `a 0 (Aest dit "´etoil´e par rapport `a
0" si, pour toutz?A, le segment [0,z] est encore dansA).
[Exercice corrig´e]2.2 Topologie induite, topologie produit
Exercice 37Soit (X,T) un espace topologique s´epar´e. Montrer que la diagonale Δ deX×Xest ferm´ee dans
X×X.
Exercice 381. Quels sont les ouverts de [1,2]? {3}induits par ceux deR?2. Quelle est la topologie induite surZpar celle deR?
3. Quels sont les ouverts du cercle Γ ={z/|z|= 1}? du demi-plan{z/Imz >0}? du demi-plan{z/Imz?0}
dansC?Exercice 39SoitYun sous-ensemble de l"espace topologiqueX, muni de la topologie induite. D´ecrire les
ouverts (ferm´es) induits deYlorsqueYest ouvert (ferm´e). SoitA?Y. Montrer que l"adh´erence deAdansY,AY=Y∩A; a-t-on pour l"int´erieur deAdansY,AY=Y∩◦A?
Exercice 40On dit qu"un espace topologiqueXa la propri´et´e (P) si la famille de parties deXqui sont `a la
fois ouvertes et ferm´ees est une base pour les ouverts deX.1. Montrer qu"un espace topologique discret a cette propri´et´e.
2. Montrer que la topologie induite surQpar la topologie usuelle deRn"est pas la topologie discr`ete, mais
qu"elle poss`ede aussi la propri´et´e (P).3. Autre exemple?
2 Notions de topologie II92.3 Fonctions continues surR
Exercice 41Soitfune isom´etrie deRdansR. Montrer qu"on a soitf(x) =a-x, soitf(x) =a+x, o`u a=f(0). (Se ramener `aa= 0.) Exercice 42Soitfune application deRdansR, telle quef(x+y) =f(x) +f(y) etf(xy) =f(x)f(y) pour tousx,y?R. On va montrer quefest soit nulle, soit la fonction identit´e.1. Remarquer quef(x)?0 six?0 et ainsi, quefest croissante.
2. Montrer que pour toutxr´eel on peut construire une suite (rk) et une suite (sk) de rationnels telles que
r k↑xetsk↓x. En d´eduire le r´esultat. Exercice 43Soitfune application continue deRdansR. On rappelle quetest une p´eriode defsif(x+t) =f(x) pour toutxr´eel. SoitEle groupe des p´eriodes def, suppos´e non vide etT= inf{t?E;t >0,}.
quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] quelle police pour un dossier
[PDF] note de confidentialité rapport de stage
[PDF] l'histoire du protectionnisme
[PDF] un conflit localisé récent en europe la guerre en ex yougoslavie
[PDF] histoire du libre échange
[PDF] origine du protectionnisme
[PDF] le protectionnisme dans l'histoire mondiale
[PDF] mesure protectionniste
[PDF] le protectionnisme cours d'économie
[PDF] littoral industrialo portuaire littoral touristique
[PDF] les formes de protectionnisme
[PDF] captain america pdf
[PDF] poignée sf carbon pro
[PDF] poil de carotte analyse littéraire
