[PDF] Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 - APMEP

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?Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007?

EXERCICE13 points

Commun à tous lescandidats

1.Le plan (P) a une pour équation cartésienne : 2x+y-3z+1=0. Les coordonnées de H vérifient cette

équation donc H appartient à (P) et A n"appartient pas à (P).

Un vecteur normal à (P) est-→n(2 ; 1 ;-3). H est le projeté orthogonal de A sur (P) si, et seulement si,--→AH

est colinéaire à-→n.

On a :--→AH(-1 ;-9 ;-6). Il est clair que les coordonnées des deux vecteurs ne sontpas proportionnelles

donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. H n"est pas le projeté orthogonal de A sur (P) : la proposition 1

estfausse.

2.On considère l"équation différentielle (E) :y?=2-2y.

Cette équation s"écrit :y?=-2y+2 qui d"après le cours, a pour solutions :u(x)=ke-2x+1,k?R. La conditionu(0)=0 donnek+1=0 donck=-1. Par conséquent :u(x)=-e-2x+1=1-e-2x.

Alors :u?ln2

2? =1-e-ln2=1-eln1

2=1-12=12donc la proposition 2 estvraie.

3.On considère la suite (un) définie paru0=2 et, pour tout entier natureln,un+1=?

7un. Effectuons une démonstration par récurrence.

Soit P

nla proposition : "0?un?7»

•Initialisation:u0=2 donc 0?u0?7. P0est vraie.

•Hérédité: soit un natureln?Net supposons Pnvraie pour un. Alors : 0?un?7. En multipliant par 7, on obtient : 0?7un?49. Comme la fonction racine carré est croissante sur son ensemble de définition, on en déduit : 0??

7un??49=7; donc la proposition est

vraie au rangn+1.

L"encadrement est vrai au rang 0 et s"il est vrai au rangnil l"est aussi au rangn+1 : on a donc démontré

par récurrence que la proposition est vraie pour toutn, donc la proposition 3 estvraie.

EXERCICE25 points

Pour lescandidatsn"ayant paschoisi la spécialité mathématiques

1. a.r est la rotation de centre O et d"angle2π

3. Une écriture complexe d"une rotation de centreΩ(ω) et

d"angleθestz?-ω=eiθ(z-ω) donc une écriture de r est :z?=ei2π 3z. b.B a pour affixezB=e-i5π

6et C est l"image de B par r. On en déduit :zC=ei2π3×e-i5π6=e-iπ6.

z

C=e-iπ

6. c.zB=-? 3

2-12ietzC=?3

2-12i.

d.voir figure à la fin

2. a.D est le barycentre des points A, B et C affecté des coefficients 2 , -1 et 2.

Par conséquent : 2--→OA---→OB+2--→OC=(2-1+2)--→ODqui se traduit par l"égalité sur les affixes :

2zA-zB+2zC=3zDd"oùzD=1

2(2zA-zB+2zC)=13?

2i+? 3

2+12i+?3-i?

=?3

2+12i.

z D=? 3

2+12i.

b.|zA|=|i|=1;|zB|=??? e-i5π

6???=1 car, pour toutx,|eix|=1.

De même,|zC|=???

e-iπ 6??? =1;zD=eiπ6donc|zD|=1. Les quatre points A, B, C et D sont sur le cercle centre O et de rayon 1

3. a.h est l"homothétie de centre A et de rapport 2. Une écriture complexe de h est :z?-zA=2(z-zA)

doncz?-i-2(z-i) soit :z?=2z-i

Corrigé du baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.E est l"image de D par h. On a :zE=2zD-i=?3+i-i=?3.zE=?3. 4. a. zD-zC zE-zC=? 3

2+12i-?

3 2+12i ?3-?3

2+12i=i

?3

2+12i=i?

3

2-12i?

12+i? 3

2=eiπ

3.zD-zCzE-zC=eiπ

3. b.On en déduit :????z D-zC zE-zC???? =CDCE=??? eiπ

3???=1 doncCD=CE.

arg ?zD-zC zE-zC? =?-→CE;--→CD? =arg? eiπ 3? =π3à 2kπprès.

CDE est isocèle et l"angle au sommet vaut

3:c"est untriangleéquilatéral.

O-→u-→

v ?A B CD E -12

EXERCICE25 points

Pour lescandidatsayantchoisi la spécialité mathématiques

1.fest la transformation dont une écriture complexe est :z?=(2-2i)z+1. Cette écriture est de la forme

z ?=αz+βavecα=2-2i etβ=1 doncfest une similitude directe Elle a pour point fixeΩd"affixeωavecω=β

1-α=11-(2-2i)=1-1+2i=-1-2i5=-15-25i.

Le rapport de cette similitude est|α|=|2-2i| =|2(1-i)|=2|1-i| =2? 2.

α=2-2i=2?

2?1?2-1?2i?

=2?2e-iπ4. Un argument deαest-π4. fest la similitude directe de point fixeΩ? -1

5-25i?

, de rapport 2?2 et d"angle-π4.

2. a.Soit B" l"image de B par f :zB?=(2-2i)zB+1=(2-2i)(-4+2i)+1=-3+12i.zB?=-3+12i.

b. zB?-zC

On en déduit que

?--→CA;--→CB?? =arg?zB?-zC zA-zC? =arg(4i)=π2+2kπ,k?Z. Par conséquent,lesdroites(CB") et (CA) sontorthogonales.

3.SoitMd"affixez=x+iy.M?=f(M) a pour affixez?avecz?=(2-2i)z+1=

(2-2i)(x+iy)+1=2x+2y+1+i(2z-2x).---→CM?a pour affixez?-zC=2x+2y+(2x-2y-4)i.--→CAa pour affixez--→CA=a-c=2+i.

Les coordonnées des vecteurs

---→CM?et--→CAsont respectivement (2x+2y; 2y-2x-4) et (2 ; 1).---→CM?et--→CAsont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c"est-à-dire si et seulement

si 2(2x+2y)+2y-2x-4=0 soitx+3y=2 après simplifications.

Amérique du NordPage 2/5mai 2007

Corrigé du baccalauréat SA. P. M. E. P.

4.Soit l"équation (E);x+3y=2, oùxetysont des entiers relatifs.

a.-4+3×2=-4+6=2 donc (-4 ; 2) est solution de (E). b.(E) s"écrit alors :x+3y=-4+3×2, c"est-à-direx+4=3(2-y).

3 divise 3(2-y) donc 3 divisex+4. Il existek?Ztel quex+4=3k.

En remplaçant dans l"équation, on obtient : 3k=3(2-y) d"où 2-y=kqui donney=2-k. L"ensemble des solutions de (E) estS={(-4+3k; 2-k),k?Z} c.On cherche les couples solutions de (E) vérifiant-5?x?5 et-5?y?5. -5?-4+3k?5 donne-1?3k?9 d"où-1

3?k?3. Alorsk?{0 ; 1 ; 2 ; 3}.

-5?2-k?5 donne-7?-k?3 d"où-3?k?7. Finalement, les valeurs possibles pourksont 0, 1 , 2 ou 3.

Les pointsMdont les coordonnées sont des entiers appartenant à l"intervalle [-5; 5] et tels que les

vecteurs---→CM?et--→CAsoient orthogonaux sont les points de coordonnées (-4; 2), (-1; 1), (2; 0) et (5; -

1). Remarque:on retrouve le point B qu"on avait trouvé à la question 2) a).

EXERCICE35 points

Commun à tous lescandidats

E 1 0,2? E 2 0,1?

E3(X=3)

0,1

E3(X=2)0,9

E20,9?

E3(X=2)

0,05

E3(X=1)0,95

E10,8?

E 2 0,05?

E3(X=2)

0,1

E3(X=1)0,9

E2 0,95?

E3(X=1)

0,05

E3(X=0)0,95

1.Représentons un arbre : (voir ci-dessus)

Xest la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties.

a.Xpeut prendre les valeurs 0, 1 , 2 ou 3. b.(X=2)=(E1∩E2∩ C"est une réunion d"évènements incompatibles, donc : p(X=2)=p(E1∩E2∩ (0,8×0,05×0,1)=0,031. p(X=2)=0,031 De même :p(X=3)=p(E1∩E2∩E3)=0,2×0,1×0,1=0,002 c.p(X=0)=p( On en déduit la loi de probabilité deX, résumée dans le tableau suivant : xi0123 p(X=xi)0,7220,2450,0310,002

Amérique du NordPage 3/5mai 2007

Corrigé du baccalauréat SA. P. M. E. P.

d.L"espérancedeXestE(X)=3? i=0x

E(X)=0,313

2. a.Pour toutnnon nul,p(En∩En+1)=pEn(En+1)×p(En)=0,1×p(En)=0,1pn

De même :p?

En∩En+1?

=pEn(En+1)×p?En? =0,05×?1-p(En)?=0,05(1-pn). b.On a :En+1=(En∩En+1)??

En∩En+1?

(réunion d"évènements incompatibles). Par conséquent : p n+1=p(En+1)=p(En∩En+1)+p?

En∩En+1?

=0,1pn+0,05?1-pn?=0,05pn+0,05

3.Soit la suite(un)définie pour tout entier naturelnnon nul par :un=pn-119.

a.Pourtoutn?=0,un+1=pn+1-1 p n-119? u n+1=1 20un.

Pour toutn?=0,un+1=1

20undonc(un)est une suitegéométrique, de raisonq=120et de premier

termeu1=p1-1

19=0,2-119=15-119=1495.

b.On en déduit :un=u1qn-1doncun=14 95?
120?
n-1 etpn=un+119=119+1495? 120?
n-1 c.-1<1

20<1 donc limn→+∞?

120?
n-1 =0 et par conséquent : limn→+∞pn=119.

EXERCICE47 points

Commun à tous lescandidats

1. Restitution organiséede connaissances.

a.Soit la fonction définie sur [0 ;+∞[ parg(x)=ex-x2 2.

gest dérivablecomme différence defonctions dérivables;pour toutxde [0 ;+∞[,g?(x)=ex-x>0

puisque e x>xpour toutx. g ?(x) est donc positif et g est croissante sur [0 ;+∞[; g(0)=1 donc, pour toutx?0, g(x)?g(0)=1 doncg(x)>0 b.On en déduit que, pour toutx?0, ex?x2

2. Pourx>0, en divisant parx, on obtient :exx>x2.

Comme lim

x→+∞x

2=+∞, d"après le pré-requis, on en déduit limx→+∞e

xx= +∞.

2.Soitfla fonction définie sur [0 ;+∞[ parf(x)=1

4xe-x 2. a.La fonction exponentielle est positive sur [0 ;+∞[ donc, pour toutxde [0 ;+∞[,f(x)?0 b.Pour toutx?0,f(x)=1

2x2e-x

2. On poseX=x2. limx→+∞X=+∞.

Par conséquent, d"après le théorème sur la composition des limites, on a : lim x→+∞f(x)=limX→+∞1

2Xe-X=limX→+∞12XeX.

On a vu dans la question 1. que lim

x→+∞e x x=+∞donc limX→+∞XeX=0.

Par conséquent : lim

x→+∞f(x)=0. La courbeCadmet donc uneasymptoted"équationy=0 en+∞. c.fest dérivable sur [0 ;+∞[ comme produit et composée de fonctions dérivables. f=1

4ueven posantu(x)=xetv(x)=-x2. Alorsf?=14?uev??=14?u?×ev+u×v?ev?.

Pour toutx, on en déduit :f?(x)=1

4? e -x

2+x×?

-12?

×e-x

2? =14?

1-12x×e-x

2? =18(2-x)e-x 2. e -x

2>0 doncf?(x) est du signe de 2-xdonc positif pourx?2, nul en 2 et négatif pourx?2.

fest croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur [2 ;+∞[.

Tableaude variations:

Amérique du NordPage 4/5mai 2007

Corrigé du baccalauréat SA. P. M. E. P.

x0 2+∞ f?(x)+0- 1

2ef(x)? ?

0 0

3.SoitFla fonction définie sur [0 ;+∞[ par;F(x)=?

x 0 f(t) dt. a.Fest la primitive defqui s"annule en 0 doncF?=f. Comme on a montré quefétait positive,Fest positive etFest croissante. b.Pour toutx,F(x)=? x 01 4te-t 2.

Posonsα(t)=td"oùα?(t)=1

?(t)=1 4e-t

2d"oùβ(t)=-12e-t

2. αetβsont continues donc on peut effectuer une intégration par parties.

Alors :F(x)=?

-1 2te-t 2? x 0 +12? x 0 e-t

2dt=-12xe-x

2+12? -2e-t 2?x

0=1-e-x2-x2e-x

2. c.limx→+∞? -x 2? =-∞donc par composition avec la fonction exponentielle, limx→+∞e-x 2=0.

On a vu précédemment que lim

x→+∞x 2e-x

2=0 donc limx→+∞F(x)=1.

On en déduit le tableau de variations deF:

x0+∞

F?(x)=f(x)+

1 F(x)? 0

d.Fest continue puisque dérivable;Fest strictement croissante;F(0)=0 et limx→+∞F(x)=1. D"après

le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un uniqueréel positifαtel queF(α)=0,5.

À la calculatrice, on trouve :α≈3.36

à 0,01 près par excès.

4.An=?

n 0 f(t) dt=F(n)-F(0)=F(n) carF(0)=0. D"après la question précédente, le plus petit entiern pour lequelAn?0,5 estn=4

Amérique du NordPage 5/5mai 2007

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