[PDF] Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord mai 2004

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Durée : 4 heures

?Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord? mai 2004

EXERCICE13 points

Commun à tous les candidats

Affirmation1 :Vraie

G

1est le barycentre de (A, 1), (B, 1), (C, 2), soit par associativité celui de (I, 2), (C, 2)

qui est bien le milieu de [IC].

Affirmation2 :Vraie

J est l"isobarycentre de A, B et C, soit le barycentre de (A, 1), (B, 1), (C, 1).

L"affirmation signifie que G

1est le barycentre de (J, 2),?C,2

3?, ou encore celui de

(J, 1),?C,1

3?c"est-à-dire celui de?A,13?,?B,13?,?C,13?,?C,13?ou encore celui de?A,1

3?,?B,13?,?C,23?, soit celui de (A, 1), (B, 1), (C, 2), ce qui est vrai par définition de

G 1.

Affirmation3 :Fausse

M,--→VM=3--→MA---→MB-2--→MC=3--→MA---→MA---→AB-2--→MA-2--→AC=---→AB-2--→AC (c"est

donc en fait l"opposé de la réponse proposée).

Affirmation4 :Vraie

Par définition du barycentre, si 1+3m?=0??m?= -1

3, le barycentreGmexiste et

vérifie : En particulier-2----→G-1A=?--→AB+2--→AC? ??----→G-1A=-1 2?

AB+2--→AC?

AG-1=1

2?

AB+2--→AC?

Donc les deux vecteurs sont bien colinéaires

Affirmation5 :Vraie

D"après la question précédente :----→AG-1=1 2?

AB+2--→AC?

??--→AB+----→BG-12=

AB+2--→AC??----→BG-1

2=2--→AC .

On en déduit que la droite (BG-1

2) est parallèle à la droite (AC) qui est, elle perpen-

diculaire à la droite (AB). Le point I appartenant à la droite(AB), on conclut que le triangle IBG-1

2est rectangle en B.

Affirmation6 :Fausse

2?

AB+2--→AC?

SoitPun point de(AG-1):il existe doncα?Rtelque--→AP=α----→AG-1=α 2?

AB+2--→AC?

Tout barycentreGmvérifie :---→AGm=m

1+3m?

AB+2--→AC?

DoncP=Gm??α

m=α

2-3α. Tout pointPcorrespond à un barycentre sauf si 2-3α=0??α=23.

Le pointPde(AG-1)défini par--→AP=2

3----→AG-1n"est pas un pointGm.

EXERCICE25 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

1. a.(z-2)?z2+az+b?=z3+az2+bz-2z2-2az-2b=

z

3+(a-2)z2+(b-2a)z-2b.

Doncz3+4z2+2z-28=(z-2)?z2+az+b???a=6 etb=14.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

z3+4z2+2z-28=(z-2)?z2+6z+14? b.z3+4z2+2z-28=0???z-2=0 ou z

2+6z+14=0

Résolution dez2+6z+14=0??(z+3)2-9+14=0??

(z+3)2+5=0??(z+3)2=?i? 5?2. Cette équation a deux solutions complexes conjuguées :z1= -3+i? 5 et z

2=-3-i?

5.

Conclusion l"équation a trois solutions dansC:

2,-3+i?

5,-3-i?5.

2. a.M(x+iy)appartient à (H)si etseulement si(x+iy)2-4=4-(x-iy)2??

x

A, B et C

Pour A : 2

2=4 Vraie

Pour B : (-3)2-?i?

5?2=9-5=4 Vraie

Pour C : (-3)2-?-i?

5?2=9-5=4 Vraie

3. a.La rotation est définie par :

z

M?=zMe-iπ

4=zM? ?2 2-i? 2 2?

DonczA?=zAe-iπ

4=2? ?2 2-i? 2 2? =?2-i?2. z

B?=zBe-iπ

4=?-3-i?5???2

2-i? 2 2? -3? 2 2-? 10 2+i? 3? 2 2-? 10 2? z

C?=zCe-iπ

4=?-3+i?5???2

2-i? 2 2? -3? 2 2+? 10 2+i? 3? 2 2+? 10 2? b.zM?=zMe-iπ

4??zM=zM?eiπ4??x+iy=(x?+iy?)?

?2 2+i? 2 2? En identifiant partie réelle et imaginaire on obtient :

•x=x??

2 2-y?? 2 2

•y=x??

2 2+y?? 2

2On a vu queMappartient à (H) si et seulement si

x

2-y2=2 soit en remplaçant par les valeurs trouvées juste au dessus:?

x 2 2-y?? 2 2? 2 x 2 2+y?? 2 2? 2 =4??x?22+y?22-x?y?×12-x?22- y ?2

2-x?y?×12=4?? -2x?y?=4??x?y?=-2.

4.

Amérique du Nord2mai 2004

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

-2 -42 4

2 4-2-4

O-→u-→

vA BC A ?B ?C (H) (H?)

EXERCICE25 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité 1. a. -5-5 AA BB O

Le milieu de [AB?] a pour coordonnées?12;32?

, celui de [A ?B]?12;32?

Le quadrilatère ABB

?A?a ses diagonales qui ont le même milieu : c"est un parallélogramme. D"autre part--→AB (2 ; 1) et--→AA?(-3 ; 6), donc--→AB·--→AA?=-6+6=0. Les vec- teurs sont orthogonaux, donc les droites (AB) et (AA ?) sont perpendicu- laires.

Le quadrilatère ABB

?A?est un parallélogramme dont deux côtés consécu- tifs sont perpendiculaires : c"est un rectangle. b.D"aprèslaquestion précédente,ladroite(Δ)estlamédiatricecommune à [AA ?] et à [BB?] : elle est donc perpendiculaire à (AA?) et contient le milieu

I de [AA

?] de coordonnées? -1 2; 1? . Un vecteur directeur de (Δ) est donc orthogonal au vecteur AA?(-3 ; 6), par exemple le vecteur (6; 3) ou plus simplement-→d1(2; 1).

Amérique du Nord3mai 2004

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

M(x;y)?(Δ)??--→IMet-→d1sont colinéaires c.-à-d.? x+12=2α y-1=α, soitenéliminantα,x+1

2=2(y-1)??2x+1=4y-4??2x-4y+5=0.

c.Toute réflexion est une similitude indirecte donc l"écriture complexe est z ?=a z+b. En utilisant A, B et leurs images pars, on a :?-2+4i=a(1b+2i)+b

5i=a(3+i+b?par différence-2+4i-5i=a(1+2i-3-

i)?? -2-i=a(-2+i)??a=-2-i 3+i 5. En remplaçant dans l"une ou l"autre des deux équations ci dessus : b=5i-(3+i)?3+i 5? =5i-95-3i5-3i5+15=-1+2i.

L"écriture complexe desest donc :

z ?=?3

5+45i?z-1+2i.

2. z -6

5-85i?z+5-i.

a.On azC=? -6

5-85i?

?1-2i? +5-i=? -65-85i?

1+2i)+5-i=

6

5+165-8i5-12i5+5-i=7-5i.

De même :zD=?

-6

5-85i?

(3+i)+5-i=-185+85-6i5-8i5+5-i=3-7i. b.L"écriture complexe de l"homothétie est :z?-(1+i)= -2(z-1-i)?? z ?=-2z+3+3i.

Image de A

?parh:z?=-2(-2+4i+3+3i=7-5i=zC.

Image de B

?parh:z?=-2(5i+3+3i=3-7i=zD. c.L"homothétie inverse dehest l"homothétieh-1de centreΩet de rapport -1 2.

Elle est doncdéfinie parz-(1+i)=-1

2(z1-(1+i)??z=-12z1+32+32i.

3. a.On af(z)=h-1◦g(z)=h-1?g(z)?=h-1??

-6

5-85i?z+5-i?

1 2??? -65-85i?z+5-i?? +32+32i=?35+45i?z-1+2i.
b.On retrouve l"écriture des.

On a doncs=h-1◦g??g=h◦s.

D"où la construction d"un pointMpars:

— Construire le symétriqueM?deMautour de (Δ); — Construire l"homothétiqueM??deM?par l"homothétie de centreΩet de rapport-2.

EXERCICE34 points

Commun à tous les candidats

1. a.Il y a 2 cases rouges, 4 cases vertes, 6 cases jaunes et 18 casesblanches,

donc :

Amérique du Nord4mai 2004

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

•p(X=8)=230=115

•p(X=5)=4

30=215

•p(X=0)=6

30=315

•p(X=-a)=18

30=915

E(X) soit nulle.

E(X=0)??8×1

a=2.

2. a.La probabilité d"avoir un gain strictement positif est égale à :1

15+215=

3

15=15=0,20.

b.La variable aléatoireYsuit une loi binomiale de paramètresn=5 et p=1 5. La probabilité de gagner exactement 2 fois est : p(Y=2)=?52??1 5? 2? 1-15? 5-2 =10×?15? 2?45? 3 =10×4355=128625=0,2048. 5? 5? 1-15? 5-5 =1×?1 5? 5 =155=13125=0,00032. c.L"espérance mathématique de la variableYest égal au nombre moyen de partie(s) gagnante(s).Yest une variable aléatoire qui suit une loi bino- miale de paramètresn=5 et de probabilitép=1

5, donc E(Y)=5×15=1.

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