Estimations et intervalles de confiance
mations : intervalle de confiance d'une proportion d'une moyenne dans les formules précédentes cette quantité par la variance empirique
Calcul dun intervalle de confiance pour la moyenne dans une
2 Calcul d'intervalle de confiance pour une moyenne. 2. 2.1 Notation . Pour le théor`eme limite centrale on utilise la formule suivante.
Quelques rappels sur les intervalles de confiance
n variables i.i.d selon la loi de X. 1) Principe d'un intervalle de confiance. Plutôt que d'estimer ponctuellement la vraie valeur inconnue du paramètre ? on
12. Régression linéaire simple
Intervalles de confiance et tests Exemple 2 : retrouver ces formules. ... Le calcul de l'intervalle de confiance `a 95% en chaque point.
Intervalle de confiance dune moyenne
Il faut donc estimer un intervalle dans lequel la Le calcul de l'intervalle de confiance par ces formules nécessite que la taille de.
Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance
Intervalle de fluctuation - Intervalle de confiance. On utilise un intervalle de fluctuation lorsque la proportion p dans la population est connue ou si
Enseignement scientifique
En utilisant une formule donnée pour un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95% estimer un paramètre inconnu dans une population de grande
INTERVALLE DE CONFIANCE DUNE PROPORTION
9 fév. 2000 donc p par f dans les bornes de l'intervalle et l'on obtient un intervalle de confiance à (1 - ?) avec la formule :.
Ch. 5 : Echantillonnage estimation
Etant donnée l'estimation mn d'une moyenne µ sur un échantillon donner la formule de l'intervalle de confiance dans lequel se trouve µ avec un risque de 1%
Chapitre 4 : Régression linéaire
de la corrélation il faut être prudent lorsqu'on formule des relations de Nous pouvons également donner un intervalle de confiance de la droite de ...
Estimations et intervalles de con?ance Exemple - univ-toulousefr
Voici a pr´esent la d´e?nition math´ematique d’un intervalle de con?ance telle qu’on peut la trouver dans [Tas85] par exemple D´e?nition 2 Soit ? ?]01[ donn´e; on appelle r´egion de con?ance pour le param`etre ? de niveau de con?ance 1?? la famille non vide de parties de ? C x 1 xn telle que ?? ? ? P
Estimations et intervalles de con?ance Exemple
encore de l’erreur dont elle peut-être affectée Ceci se traduit en statistique par la recherche d’un intervalle dit intervalle de con?ance dont on peut assurer avec un risque d’erreur contrôlé et petit que cet intervalle contient la “vraie” valeur inconnue du paramètre
Chapitre 3 Intervalles de con?ance
si la loi ne permet pas de construire un intervalle de con?ance (c’est le cas si elle est discrète) une option est de se retrancher sur une notion plus faible en exigeant seulement une minoration du niveau de con?ance Dé?nition Soit ? ?]01[ Un intervalle de con?ance par excès pour g(?) de
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(de l'ordre de 1000) l’intervalle de confiance dépend de la proportion Po / Qo comme nous allons le voir ci-dessous Exemple 3 : Nous allons faire varier au maximum le rapport Po / Qo afin de mesurer l'impact de ce rapport sur l'intervalle de confiance 1er cas : Po = 1 avec n = 1000 personnes 1 ± [ 196 x 1000 1 x 99 ] 1 ± [ 196
Comment calculer l’intervalle de confiance ?
9:35. Avecs= 6:86, l’intervalle de con?ance s’écrit : La taille de cet intervalle, souligne le manque de précision de l’estimation del’écart-type, la taille de l’échantillon y est pour beaucoup.
Comment calculer l’intervalle deconfiance ?
L’intervalle decon?ance devient alors : L’intervalle n’est pas contenu dans la spéci?cation. Notez l’augmentation sen-sible de la taille de cet intervalle par le simple fait de devoir estimer la varianceplutôt que de la supposer connue ; L’estimateur de la variance suit une loi du chi-deux à= (n 1) = 3degrésde liberté.
Qu'est-ce que l'estimation par in-tervalle de confiance ?
Laconnaissance des lois de ce estimateurs permet l’estimation par in-tervalle de con?ance et donc de préciser l’incertitude sur ces esti-mations : intervalle de con?ance d’une proportion, d’une moyennesi la variance est connue ou non, d’une variance. Retour auplan du cours.
Comment calculer le coefficient de confiance ?
Elle se calcule sur la base de cette formule : Za/2 x ?/? (n). Z a/2 est le coefficient de confiance, avec a = degré de confiance, ? = écart type et n = taille de l'échantillon. En plus court, il faut multiplier la valeur critique par l'erreur type. Partant, pour notre échantillon, on peut donc décomposer la formule en deux parties.
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INTERVALLE DE CONFIANCE D'UNE PROPORTION
Rappel de notations
Dans une population, le pourcentage des individus qui possèdent un caractère A est p. On prélève dans cette population un échantillon aléatoire simple de taille n. On appelle f le pourcentage d'individus possédant le caractère A dans l'échantillon et F la variable aléatoire d'échantillonnage correspondante.Problème
Nous allons traiter le cas où n est "grand".
Dans ce cas donc, la loi de probabilité de F est approximativement la loi normale de moyenne p et d'écart type n)p1(p.On note u le nombre tel que (u) = 1 -
2 où est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.On a alors :
p p - u n)p1(p < F < p + u n)p1(p = 1 - d'où p F - u n)p1(p < p < F + u n)p1(p = 1 -Cette dernière égalité ne permet pas de construire un intervalle de confiance pour p, car celui-ci
figure dans les trois membres de la double inégalité.Comment faire ?
* Dans certains ouvrages, on lit : "on ne connaît pasp mais on en connaît une estimation, c'est f, on remplace donc p par f dans les bornes de l'intervalle et l'on obtient un intervalle de confiance à (1 - ) avec la formule : [f - u n)f1(f ; f + u
n)f1(f ]" (2) Il y a là une sorte de tour de passe-passe un peu rapide, essayons d'aller plus loin. * une autre possibilité consiste à trouver un intervalle, indépendant de p, contenant, quel que soit p, l'intervalle [F - un)p1(p ; F + u n)p1(p ]; pour cela il suffit de remarquer que,pour tout p, p - p est inférieur à 1/4. On obtient donc l'intervalle de confiance aléatoire :
ENFA - Bulletin du GRES n°9 - février 2000 page 10Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr
[F - u n2 ; F + u n2 on est sûr que : p(F - u n2 < p < F + u n2 ) 1 - mais la précision (c'est à dire l'amplitude de l'intervalle) n'est pas la meilleure. Remarque : Ce résultat permet de comprendre la formule donnée dans le premier Thème de Statistique du nouveau programme de Seconde applicable à la rentrée 2000. Dans l'explication de ce thème consacré aux "fourchettes" ou intervalles de confiance d'une proportion, on lit :".... On incitera les élèves à connaître l'approximation usuelle de la fourchette au niveau de
confiance 0,95, issue d'un sondage sur n individus (n>30) dans le cas où la proportion observée p est comprise entre 0,3 et 0,7, à savoir p- n1 p+ n1p représente la proportion constatée sur l'échantillon et n la taille de l'échantillon ; on
comprend donc la simplification du 1,96 (notre u pour 95%) avec le 2 du dénominateur. * une autre solution consiste à résoudre de manière rigoureuse la double inéquation en p de la relation (1) : l'événement -u < n)p1(ppF < u est égal à l'événement : 2 n)p1(ppF < u 2 nous allons résoudre cette inéquation du second degré en p qui peut s'écrire : (n + u 2 ) p 2 - (2nF + u 2 ) p + nF 2 < 0. Le coefficient du terme du second degré de ce trinôme du second degré en p est strictement positif donc, si le discriminant de ce trinôme est positif, l'ensemble des valeurs de p solutions de l'inéquation est l'ensemble des valeurs comprises entre les deux racines du trinôme.Calculons le discriminant :
= (2nF + u 2 2 - 4(n + u 2 ) nF 2 = 4n 2 F 2 + 4nF u 2 + u 4 - 4n 2 F 2 - 4nu 2 F 2 = 4nu 2F(1-F) + u
4 F prenant des valeurs comprises entre 0 et 1, cette quantité est strictement positive donc le trinôme admet les deux racines suivantes : )un(2u)F1(Fnu4)unF2( 2422et ENFA - Bulletin du GRES n°9 - février 2000 page 11
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)un(2u)F1(Fnu4)unF2( 2422d'où l'intervalle de confiance : )un(2u)f1(fnu4)unf2( 2422
)un(2u)f1(fnu4)unf2( 2422
en essayant de simplifier un peu ces expressions (division par 2n des numérateurs et dénominateurs et extraction de u des radicaux), on obtient : n u1n4u n)f1(fun2uf 2222
n u1n4u n)f1(fun2uf 2222
(3)
On constate que pour obtenir l'intervalle de confiance (2), on est amené à négliger certains
termesLorsqu'on utilise la formule : [f - u
n)f1(f ; f + u n)f1(f ], on procède à deux approximations : l'approximation d'une loi binomiale par une loi normale, et le fait de négliger certains termes dans la formule (3). C'est pour cette raison que, dans certains ouvrages (Statistique Théorique et Appliquée - P. DAGNELIE), on préconise les conditions suivantes : nf 20 et n(1-f) 20. (4)Remarque : Le problème qui se pose ici est de nature très différente de celui qui se pose pour
l'intervalle de confiance d'une moyenne lorsque l'écart type de la population n'est pas connu. Cequi fait la spécificité du cas des proportions est le fait que p se trouve dans les trois membres de
l'inégalité, il ne s'agit donc pas de remplacer, dans les deux membres extrêmes, p par son estimatio ni n)p1(p par son estimation que serait1n)f1(f
(en utilisant un estimateur non biaisé) ni n)p1(p par une estimation.Il est d'ailleurs à remarquer que, s'il est pratique des dire aux élèves pour une moyenne, lorsque
l'écart type de la population n'est pas connu, "on remplace par son estimation et on utilise uneloi de Student", ceci ne correspond pas à la réalité mathématique qui est derrière (cf. Bulletin du
GRES n°7 "Résumé sur les lois de probabilité"). De plus, S est un estimateur biaisé de .
Exemple
: déterminons les intervalles de confiance avec les formules (3) puis (2) pour unéchantillon sur lequel on a constaté une proportio = 0,8, le premier de taille 50, le deuxième
de taille 100, on obtient : taille 50 : [0,6696 ; 0,8876] et [0,6891 ; 0,9109] pour l'approximationSi on appelle [a
n , b n ] l'intervalle (2) et [a' n , b' n ] l'intervalle (3), on démontre assez facilement que (a n - f) et (a' n -f) d'une part, (b n - f) et (b' n - f) d'autre part sont équivalents lorsque n tend vers +. ENFA - Bulletin du GRES n°9 - février 2000 page 12Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr
-0,10,10,30,50,70,91,10 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
taille 100 : [0,7112 ; 0,8666] et [0,7216 ; 0,8784] pour l'approximation on constate une meilleure approximation pour n = 100.A titre d'exemple, les deux graphiques qui suivent, réalisés avec EXCEL, représentent pour n =
50 et n = 100, les courbes donnant p, en fonction de f, en trait plein les bornes des intervalles de
confiance à 95% calculées avec la formule (3), et en traits interrompus avec la formule (2) . Les traits verticaux correspondent aux conditions (4). f n=50 p ENFA - Bulletin du GRES n°9 - février 2000 page 13Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr
-0,10,10,30,50,70,91,10 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
n=100 f pquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] points cocycliques angles orientés
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