Fiche savoir faire :
2ème cas : il y a plusieurs variables. Méthode. Exemple. Identifier les conditions d'existence comme dans le cas précédent. Pour cha- cune des conditions
fiche 5.5: domaine et conditions - dexistence dune fonction
Il n'y a donc pas de conditions d'existence intrinsèques liées à ces fonctions (c'est souvent le cas quand on te propose ce genre d'exercices).
Domaine de définition dune fonction : solutions des exercices
En effet voici le tableau de signes relatif à la condition d'existence : x. - 4. 1 / 3. 3x ?1. -. -. -. 0. + x + 4. -. 0. +. +. +. 3x ?1 x + 4. +.
Espérance
la condition d'existence de l'espérance étant tout simplement la convergence absolue de cette intégrale généralisée ce qui vu la positivité de f
Sur le domaine dexistence dune fonction implicite définie par une
Dans ces conditions on peut appliquer le théorème suivant : « Si une fonction w=f(z) est analytique et uniforme sur une surface de Riemann R du plan z qui
Chapitre 4. Théor`emes dexistence et dunicite
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Rappellons enfin le résultat bien connu sur les conditions d'optimalité de second ordre. (c'est à dire faisant intervenir la matrice hessienne). Théorème 2.20.
Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles Étude théorique
4.4.4 Méthode de séparation des variables avec des conditions aux limites 5.3 Condition suffisante d'existence de la transformée de Laplace .
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Il n'y a donc pas de conditions d'existence intrinsèques liées à ces fonctions (c'est souvent le cas quand on te propose ce genre d'exercices)
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Rassembler les conditions et expri- mer l'ensemble auquel doit appartenir la variable(une représentation à l'aide de la droite des réels est souvent utile !)
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CHAPITRE 5 FRACTIONS ALGÉBRIQUES 5 1 Exercices 1 Simplifier les fractions suivantes après avoir préciser les conditions d'existence :
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Domaine de définition - Mac for Math
Pour cela il suffit de résoudre les conditions d'existence Les 2 types de conditions rencontrées en ce début de cours correspondent à deux opérations
Quelles sont les conditions d'existences ?
On appelle condition d'existence, une condition sans laquelle un acte juridique n'existe pas et condition de validité, une condition sans laquelle un acte juridique n'est pas valable et peut donc être annulé (il est annulable).Comment trouver les conditions d'existence d'une fraction ?
Une fraction existe à condition que son dénominateur soit différent de zéro. 3+ a a Exemples: existe si a 0. En effet, la fraction 3 +0 3 = ? n'existe pas.Quelle est la condition d'existence d'une valeur numérique ?
Cette réponse est verifiée par des experts
Pour qu'une valeur existe dans la cadre d'une division, le dénominateur doit être impérativement différent de 0. Dans ton exemple, il faut se concentrer sur 4x²-1 et trouver les valeurs qui sont égales à 0.- On rappelle tout d'abord ce qu'est l'ensemble de définition d'une fonction. Lorsque l'on définit une fonction, on l'écrit généralement sous la forme �� ? �� ? �� . Cela signifie que pour tout élément �� ? �� , on associe par la fonction �� un élément �� ? �� . Nous écrivons cela comme �� ( �� ) = �� .
Chapitre 7
Espérance
7.1 Introduction
L' espérance d'une variable aléatoire est, lorsqu'elle existe, la moyenne des va- leurs de cette variable, pondérées par leurs probabilités de réalisation . On voit bien comment traduire cette définition informelle dans le cas d'une variable aléatoire discrète X en posant : E X x X xP X x .(7.1) Cette formule n'a de sens que si la famille de réels xP X x x X est sommable, ce qui se traduit par la condition suivante pour l'existence de l'espérance de la v.a. discrète X x X x P X x .(7.2) Tant que l'on reste dans le cadre des variables aléatoires discrètes, cette définition est satisfaisante et permet d'établir toutes les propriétés de l'espérance [14, Chap. 5]. En bonne place parmi ces propriétés, figure l'additivité de l'espérance : si X et Y définies sur le même F ,P ont une espérance, il en va de même pour X Y et E X Y E X EY.(7.3)
Essayons de traduire la définition informelle ci-dessus dans le cas d'une variable aléatoire à densité f . Partant de (7.1), on remplace P X x par P X x,x d x probabilité " valant 1 f x d x » et on remplace la somme (ou série) par une intégrale, ce qui conduit à : E X xf x d x,(7.4)1. Nous ne prétendons pas donner un sens rigoureux à cette probabilité d'appartenance à un
" intervalle infinitésimal », il s'agit juste d'une approche intuitive.252Chapitre 7. Espérance
la condition d'existence de l'espérance étant tout simplement la convergence absolue de cette intégrale généralisée, ce qui vu la positivité de f , se traduit par x f x d x .(7.5) Cette définition malgré son analogie formelle avec (7.1) est loin d'offrir la même sou-plesse pour établir les propriétés de l'espérance. Par exemple la preuve de l'additivité
est complètement hors de portée . En effet, si X et Y sont à densité, X Y peut n'être ni discrète ni à densité 2 , cf. l'exercice 6.13 pour un exemple, et alors le premier membre de (7.3) n'est même pas défini pour la v.a. Z X Y La solution donnée à ce problème par la théorie moderne des probabilités est la définition dans le cas général, de l'espérance de X comme une intégrale abstraite surΩ, relativement à la mesure
P E X X d P si� X d P (7.6) On peut donner une première idée de ce qu'est cette intégrale abstraite en considérant le cas d'une variable aléatoire X telle que X x 1 ,...,x n . Alors en notant A k X x k X x k X d P n k 1 x k P A k (7.7) ce qui traduit bien la définition informelle de E X comme la moyenne des valeurs de X pondérées par leurs probabilités de réalisation. Le passage au cas d'une variable aléatoire X quelconque revient précisément à construire une intégrale au sens deLebesgue sur
F ,P et cette théorie sort du cadre de ce livre. Il nous faut donc trouver une autre définition de E X . Cette définition doit per- mettre un traitement unifié de toutes les lois 3 . Rappelons qu'il existe des lois qui ne sont ni discrètes ni à densité et que la description la plus générale des lois devariables aléatoires réelles est donnée par leur fonction de répartition, cf. le théo-
rème 5.30 et la remarque 6.17. Il est donc naturel de chercher à définir E Xà partir
de la fonction de répartition F t P X t . Nous allons motiver cette définition en nous restreignant au cas des variables aléatoires positives et en partant du cas simple où X est discrète avec X x 1 ,...,x n partie finie de R . Dans ce cas, la définition informelle de E X se traduit par la formule E X n k 1 x k P X x k Les figures 7.1 et 7.2 nous montrent comment exprimer cette moyenne pondérée à l'aide de F . Rappelons que dans ce cas, F présente en chaque x k un saut d'amplitude P X x k . L'interprétation graphique en terme d'aires donnée par la figure 7.2 nous permet d'écrire E X comme l'intégrale de Riemann ordinaire : E X xn 0 1 F t d t et aussi comme la fausse intégrale généralisée� 0 1 F t d t2. Alors que la somme de deux variables aléatoires discrètes est
toujours une variable aléatoire discrète.3. La définition informelle de
E X nous fait pressentir que E X ne doit dépendre que de la loi de X , ce qui est bien le cas dans les formules (7.1) et (7.4).7.1. Introduction253
x k P X x k P X x k tx n x k x 1 0 F t 1Figure
7.1 - Interprétation graphique des
x k P X x k , pour x k 0 E X t x n x 1 0 F t 1Figure
7.2 - Interprétation graphique de
E X n k 1 x k P X x k , les x k 0.254Chapitre 7. Espérance
Si on passe maintenant au cas d'une variable aléatoire positive quelconque, il paraît alors naturel de considérer que E X est l'aire (éventuellement infinie) délimitée par le segment vertical t 0, y 0 1 , la demi droite " asymptote » y 1, t0 et le
graphe de F , ce qui nous conduit à la formule E X 0 1 F t d t 0 P X t d t, pour toute v.a. positive X E X y P X t t0y 1Figure
7.3 - Interprétation graphique de
E X via la f.d.r. de X v.a. positive.Nous verrons que cette définition permet d'établir en toute généralité les proprié-
tés de l'espérance. Bien sûr, nous devrons retrouver à partir de cette définition, les
formules (7.1) et (7.4) pour X discrète ou à densité.7.2 Espérance d'une variable aléatoire positive
Dans toute la suite de ce chapitre, on fixe un espace probabilisé F ,P . Toutesles variables aléatoires considérées seront, sauf mention explicite du contraire, définies
sur cet espace et leur loi sera la loi sous PDéfinition 7.1
(espérance d'une v.a. positive) Soit X une variable aléatoire posi- tive 4 sur F . On appellequotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] pour germer une graine a besoin
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