[PDF] Corrige Asie S Baaj juin 2011 - APMEP





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Baccalauréat S Asie 21 juin 2011

21 juin 2011 Baccalauréat S Asie 21 juin 2011. EXERCICE 1. 5 points. 1. (?x ?]0 ; +?[) f (x) = lnx x . a. La limite de la fonction f en 0 est ?? car.



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21 juin 2011 Baccalauréat S Asie 21 juin 2011. EXERCICE 1. 5 points. Commun à tous les candidats. Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O.



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16 nov. 2011 Baccalauréat Asie ES 20 juin 2011. Exercice 1. 6 points. Commun à tous les candidats. Le tableau ci-dessous indique pour une année donnée



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Corrige Asie S Baaj juin 2011 - APMEP

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Baccalauréat S Asie 21 juin 2011 - Mathsbook

[Baccalauréat S Asie 21 juin 2011 EXERCICE 1 5 points 1 (?x ?]0;+?[) f (x)= lnx x a Lalimitedelafonction f en0est??car lim x?0 ; x>0 µ 1 x ¶ =+?et lim x?0 ; x>0 (ln(x))=??; donconobtient par produitle résultat énoncé En+? lalimite dela fonction f est 0 (voir le cours) b f ?(x)= 1 x ×x?1×ln(x) x 2 = 1 x



Corrige ES Asie juin 2011 - APMEP

217x +8953 >350 ?? 217x >26047 ?? x > 26047 217; or 26047 217 ?12003 Il faut donc prendre x =13 soit l’année 2013 PartieC:Comparaisondesmodèles 2009 correspond aurang x =9 Avecl’ajustement exponentiel : y =101e013×9 ?32542 Avecl’ajustement af?ne: y =217×9+8953 =28483?28424

?Baccalauréat S Asie 21 juin 2011?

EXERCICE15 points

1. (?x?]0 ;+∞[)f(x)=lnx x. a.La limite de la fonctionfen 0 est-∞car limx→0 ;x>0? 1 x? =+∞et limx→0 ;x>0(ln(x))=-∞; donc on obtient par produit le résultat énoncé. En+∞, la limite de la fonctionfest 0 (voir le cours). b.f?(x)=1 x×x-1×ln(x) x2=1x2×(1-ln(x)) . c.f?(x) est du signe de (1-ln(x)) sur ]0 ;+∞[, or sur ]0 ;+∞[;

1-ln(x)>0??xe; 1-ln(x)=0??x=e

x0 e+∞ f ?(x)+0- f -∞1 e 0

2.Étude d"une fonctiong

On considère la fonctiongdéfinie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par : g(x)=(lnx)2 x. On noteCgla courbe représentative de la fonctiongdans le repère?

O,-→ı,-→??

a.La limite degen 0 est+∞carg(x)=f(x)×ln(x) or ,

limx→0 ;x>0ln(x)=-∞; limx→0 ;x>0f(x)=-∞; donc on obtient par produit le résultat énoncé.

La limite degen+∞est 0 car :

4 ?ln(? x)?x? 2 =?2ln(? x)?x? 2 =?ln(x)?x? 2 =(ln(x))2x=g(x).

Donc lim

x→+∞(g(x))=limx→+∞?

4?ln(?

x)?x? 2? =limX→+∞?

4?ln(X)X?

2? =0car limX→+∞? ln(X)X? =0;onaposé X=? xetXtend vers+∞quandxtend vers+∞. b.g?(x)=1 doncg?(x) s"annule si et seulement si ln(x)=0 ou ln(x)=2 donc pourx=1 oux=e2. x0 1 e2+∞ ln(x)|| -0+ (2-ln(x))|| + +0- g?(x)|| -0+0-

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

c. x0 1 e2+∞ g ?(x)-0+0-0 g 04 e2 0

3. a.Les courbesCfetCgse coupent aux points dont les abscisses sont les solutionsf(x)=g(x)

ln(x)=0,ou ln(x)=1??x=1, oux=e ce sont les deux pointsA(1 ; 0);B? e ;1 e? b.La position relative des courbesCfetCgest donnée par l"étude du signe def(x)-g(x). x0 1 e+∞ ln(x)|| -0+ (1-ln(x))|| + +0- ln(x)×(1-ln(x))|| -0+0- f(x)-g(x)<0??ln(x)<0ou ln(x)>1??x<1oux>e f(x)-g(x)>0??1Asie221 juin 2011

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Annexe 1 (exercice1)

-0,1 -0,2 -0,3 -0,40,1

0,20,30,40,50,6

5 10 15 20

E Cf Cg O

Asie321 juin 2011

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE25 points

Commun à tous lescandidats

La figure est donnée enannexe2.

1.L"écriture complexe de la rotationrde centre A et d"angleπ

2estz?=eiπ2(z-zA)+zA.

Doncz?=iz+2i-2.

Le point J a pour affixe izB-2+2i=-5-2+2i=-7+2i.

On admettra que l"affixe du point K est - 2 - 6i.

2.Les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires si et seulement si arg?

z-→JC z--→BK?

π2ou-π2.

Les segments [BK] et [JC] ont la même longueur si et seulement si????z JC zBK???? =1

Calculons

z -→JC Donc en prenant module et argument de i, on prouve ainsi que arg(zJC zBK)=π2et que?????z -→JCz--→BK????? =1 donc les segments [BK] et [JC] ont la même longueur et sont perpendiculaires. La longueur de [BK] égale la longueur de [JC] égale?

112+22=?125.

3. a.Le pointSest le milieu de [JB] donc si on notezSl"affixe deS,zS=zJ+zB

2=-3,5+3,5i.

Le pointTest le milieu de [KC] donc si on notezTl"affixe deT,zT=zK+zC

2=1-3i.

b.Le pointUest le milieu de [CN], orNest obtenu par rotation deπ

2autour deBdu pointC, donc

z

N=i(zC-zB)+zBdonczN=5+9i donczU=5+9i+4

2=4,5+4,5i .

c.Démontrons que la droite (AU) est perpendiculaire à la droite (ST) en calculant un argument dez

--→AU z--→ST. Or z --→AU donc ( --→ST;--→AU)=π

2, la droite (AU) est perpendiculaire à la droite (ST).

4.Une mesure de l"angle?-→JC,--→AU?

est donnée par un argument dez --→AU z-→JC. Or z --→AU (143-18)+i×(99+26)

250=125+125i250=1+i2=?

2×eiπ4

2=? 2

2×eiπ

4, donc l"angle?-→JC,--→AU?

vautπ4à

2kπprès

5.On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d"affixe

v=-0,752+0,864i

(en faitx= -0,752 ety=0,864 s"obtiennent en résolvant le système donné par les deux équations

des droites(BK) et (JC) d"équations respectives :y=11

2x+5 ety=-211(x-4)).

z --→AU=6,5+4,5i.

Or 1,248=1248

1000=156125=13×12125=6,5×24125.

Asie421 juin 2011

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Donc --→AV=24

125--→AUdoncA,V,Usont alignés.

b.l"angle?BVC est droit car?-→JC,--→BK?

2c"est l"angle entre les droites (BK) ; (JC)

et on sait que l"angle ?UVC vautπ

4car?-→JC,--→AU?

=π4donc commeVest aligné avecJetCetJ,V,C sont alignés dans cet ordre et queA,V,Usont aussi alignés dans cet ordre?--→VC,--→VU?

4, donc la demi-droite [VU)est la bissectrice de l"angle?BVC.

La droite (AU) est donc bissectrice de l"angle?BVC.

Asie521 juin 2011

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Annexe2 (exercice2)

VAB CI J K LM N S TU

CVU=45o

A

Asie621 juin 2011

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE35 points

1. a.Une représentation paramétrique de la droite (EC) c"est?????(x=xE+t×x--→EC

y=yE+t×y--→EC z=zE+t×z--→ECt?R?????x=1-t y=0+t z=1-tt?R carE(1 ;0 ; 1) et--→EC((-1 1 -1)) b.Une équation cartésienne du plan (AFH) est de la forme ax+by+cz+d=0, avec-→N((a b c)) est un vecteur normal à ce plan donc normal à--→AFet--→FHor

AF((011))

et--→HF((110)) donc avec le produit scalaire de -→Net de--→AF:b+c=0 donc avec le produit scalaire de-→Net de--→HF:a+b=0; doncc= -b;a= -bdonc-→N((-b b -b)) , tous les vecteurs-→Nsont colinéaires à---→N-1(( 1 -1 1)) donc l"équation du plan (AFH) c"estx-y+z+d=0 reste à trouverd, or ce plan passe parA(1 ; 0 ; 0) donc 1+d=0 doncd=-1, (AFH) a pour équationx-y+z-1=0 c.Les coordonnées du point I sont les solutions du système???????x=1-t y=0+t z=1-t

1-t-t+1-t=1, donc???????t=1

3x=2 3y=1 3z=2quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49
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