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[PDF] 13 Equivalence logique

L'équivalence des deux propositions P et Q est la propostion notée P ? Q qui seulement si Q” ou encore “P est une condition nécessaire et suffisante 



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Logique : vrai/faux ; condition nécessaire suffisante ou nécessaire et suffisante ; et/ou ; connecteurs logiques (implication équivalence)



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3°) Condition nécessaire et suffisante condition équivalente logiquement ces deux raisonnements sont équivalents mais dans la tournure des phrases 



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L'équivalence logique joue pour les propositions le rôle que joue l'égalité pour Les expressions « Condition nécessaire et suffisante (CNS) » « si et 



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d'expressions comme "non" "et" "ou" "implique" "est équivalent à" On dit également que P est une condition nécessaire et suffisante de Q



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Essayons de formaliser Propositions Equivalence est une condition nécessaire et suffisante pour » Principales Équivalences Logiques 



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La notation P ? Q se lit “P et Q sont équivalentes” “P équivaut à Q” “P si et seulement si Q” ou encore “P est une condition nécessaire et suffisante pour Q” 



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L'équivalence logique joue pour les propositions le rôle que joue l'égalité pour Les expressions « Condition nécessaire et suffisante (CNS) » « si et 



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Pour montrer une équivalence en raisonnant par équivalences il faut justifier si nécessaire les équivalences écrites à chaque étape Si l'ombre d'un doute 



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On dit également que P est une condition nécessaire et suffisante de Q La table ci-dessous montre que la proposition P est équivalente à la proposition Q



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Lorsqu'une équivalence A B est vraie (où A et B sont des phrases mathématiques) alors on peut dire que : A est une condition nécessaire pour B et A est 



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1°) Condition suffisante On dit qu'une propriété A suffit à une autre propriété B lorsque dès que A est réalisée B l'est aussi Cela



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Confusion entre implication et équivalence • Pour traverser la rivière il faut un bateau Confusion entre conditions nécessaire/suffisante Page 



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Conditionnelle (suite) ? Nous dirons ? « implique » ? « si alors » ? « est une condition suffisante pour » ? « est une condition nécessaire pour » 



[PDF] Vocalulaire de la logique et théorie des ensembles - Lycée dAdultes

Lorsque l'on a P ? Q on dit que Q est une condition nécessaire à P et que P est une condition suffisante à Q Si nous reprenons notre exemple de triangle 

  • Quelle est la différence entre condition nécessaire et condition suffisante ?

    On dit que : Q est une condition nécessaire pour avoir P si dès que P est vraie, alors nécessairement, forcément, obligatoirement Q est vraie. Q est une condition suffisante pour avoir P s'il suffit que Q soit vraie pour que P soit vraie.

  • Pourquoi P implique Q est équivalente à Non-p ou Q ?

    En effet, Q est vraie, donc nonP OU Q est vraie, ce qui veut bien dire que P implique Q. On a même que P est équivalente à Q, puisque P et Q sont toutes les deux vraies, et que deux propositions sont équivalentes si et seulement si elles sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses.

  • Comment montrer que deux propositions sont équivalentes ?

    En lisant la table du vérité de l'équivalence, on constate que deux propositions sont équivalentes si et seulement si elles ont la même "valeur de vérité", c'est à dire si elles sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
  • Pour démontrer qu'une proposition P est vraie, on peut utiliser un raisonnement par l'absurde. Pour cela, on suppose que P est fausse et on démontre que l'on aboutit alors `a une contradiction. Exemple : montrer qu'il n'existe pas d'entier naturel supérieur `a tous les autres.
[PDF] Propositions Equivalence

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.61

Est-ce que notre raisonnement est correct?

Exemple

Si quelqu'un a 10 mois, il ne sait pas parler.

J'ai 10 mois.

Donc, je ne sais pas parler.

La conclusion est fausse, mais la logique est

correcte. Il faut séparer les deux choses.

Essayons de formaliser.

Propositions, Equivalence, ...

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.62

Une propositionest un énoncé qui est soit vrai (V), soit faux (F). (V et F sont appelés " valeurs de vérité ».

Exemples:

est une proposition n'est pas une proposition (car c'est un énoncé vrai si et faux sinon).

Propositions

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.63

Une proposition composéeest formée de plusieurs propositions reliées entre elles par des opérations logiques. La conjonctionde et , notée (" p et q ») est une proposition qui est vraie, lorsque et sont vraies fausse, sinon (lorsque est fausse ou est fausse) Table de vérité pour la conjonction:Propositions

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.64Table de Vérité pour la conjonction

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.65

La disjonctionde et , notée (" p ou q ») est une proposition qui est fausse, lorsque et sont fausses vraie, sinon (lorsque est vraie ou est vraie) Table de vérité pour la disjonction:Propositions

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.66Table de Vérité pour la disjonction

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.67

La négationde , notée (" non p ») est une proposition qui est vraie, lorsque est fausse fausse, lorsque est vraie Table de vérité pour la négation:Propositions

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.68Table de Vérité pour la négation

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.69

La conditionnelle(ou implication) est une proposition qui est fausse, lorsque est vraie et est fausse vraie, sinon

Dans la conditionnelle ,

est appelée hypothèse est appelée conclusion Table de vérité pour la conditionnelle:1.2 Propositions

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.610Table de Vérité pour la conditionnelle

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.611Conditionnelle (suite)

Nous dirons

" implique » " si alors » " est une condition suffisante pour » " est une condition nécessaire pour »

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.612

La biconditionnelle est une proposition qui

est vraie, lorsque et ont les mêmes valeurs de vérité fausse, sinon

Pour exprimer , on dira

" si et seulement si » " est une condition nécessaire et suffisante pour » Table de vérité pour la biconditionnelle:Propositions

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.613Table de Vérité pour la biconditionnelle

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.614Équivalence logique

Soient des propositions.

Soient et des propositions composées

de .

Nous dirons que et sont logiquement

équivalentes, noté , lorsque, quelque

soit les valeurs de vérité de , soit et sont vraies, soit et sont fausses.

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.615Équivalence logique

Exemple:

Note: " » est appelé

la réciproque de " ».

Nous pouvons faire une preuve par table de

vérité:

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.616Équivalence

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.617Équivalence logique

Exemple:

(J'aime beaucoup mieux la notation .)

Note: "» est appelé

la contraposé de " ».

Preuve par table de vérité:

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.618Équivalence

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.619Équivalence logique

Exemple: la distributivité

Démontrons la première équivalence:

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.620Équivalence

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.621Principales Équivalences Logiques

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.622Exemple de preuve utilisant les

équivalences logiques

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.623Tautologie

Une tautologie est une proposition qui est vraie,

quelque soit la valeur de vérité des propositions qui la compose.

Exemple:

Exemple:

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.624Contradiction

Une contradiction est une proposition qui est

fausse, quelque soit la valeur de vérité des propositions qui la compose.

Exemple:

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.625Les Quantificateurs

Soitun énoncé impliquant les

variables et soit un ensemble dans lequel ces variables peuvent prendre leurs valeurs. Alors est appelée fonction propositionnelle (relativement à ) si est un proposition logique lorsque sont des valeurs dans .

L'ensemble est appelé domaine du discours

de la fonction propositionnelle .

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.626Exemple:

Soit la fonction propositionnelle définie par où le domaine du discours est l'ensemble des entiers. est une proposition dont la valeur est . est une proposition dont la valeur est .

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.627Quantificateurs (suite)

Dans les définitions qui suivent, désigne une fonction propositionnelle d'une variable.

Le quantificateur universelde ,

noté est une proposition qui est vraie, lorsque est vrai pour chaque appartenant au domaine du discours. fausse, sinon (lorsqu'il existe au moins un pour lequel est fausse).

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.628

Pour exprimer on dira:

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.629Quantificateurs (suite)

Le quantificateur existentielde ,

noté est une proposition qui est vraie, lorsqu'il existe au moins un pour lequel est vraie. fausse, sinon (lorsque est fausse pour chaque ).

Pour exprimer on dira

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.630Quantificateurs (suite)

Pour les définitions qui précèdent, on obtient les lois de De Morgan généralisées:

Si le domaine du discours est constitué d'un

nombre fini d'éléments alors:

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.631

Quantificateurs (suite)

À partir de ces dernières équivalences logiques, on peut déduire les lois de De Morgan généralisées. Par exemple:

Si le domaine est vide, alors

la proposition est vraie la proposition est fausse

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.632

Quantificateurs (suite)

Pour démontrer que la proposition

est vraie, il faut montrer que pour chaque dans le domaine du discours , la proposition est vraie.

Pour démontrer que la proposition

est fausse , il suffit d'identifier undans pour lequel est fausse (Contre-exemple).

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.633

Quantificateurs (suite)

Pour démontrer que la proposition

est vraie, il suffit d'identifier un dans pour lequel est vraie.

Pour démontrer que la proposition

est fausse , il faut montrer que pour chaque dans la proposition est fausse.

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.634Exemples

Soit la proposition fonctionnelle définie par où est l'ensemble des réels. Quelle est la valeur des propositions suivantes:

La proposition ?

La proposition est fausse.

Pour le démontrer, il suffit d'identifier une

paire de réels pour laquelle est fausse, i.e. Par exemple:

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.635Exemples (suite)

La proposition ?

La proposition est vraie.

Pour le démontrer, il suffit d'identifier une

paire de réels telle que est vraie. Par exemple,

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.636

Exemples (suite)

La proposition ?

La proposition est vraie.

Pour le démontrer, il suffit d'identifier, pour un quelconque, un telle que est vraie. On prend de sorte que

La proposition ?

La proposition est fausse.

Pour le démontrer, on démontre que sa négation est vraie:

03/13/'12Première partie, Secs. 1.2, 1.3, 1.5, 1.637

Exemples (suite)

Pour démontrer que il suffit d'identifier, pour un quelconque, un (qui peut dépendre de ) tel que est fausse. Étant donné , il suffit de poser (par exemple, ).quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35
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