[PDF] 13 Equivalence logique
L'équivalence des deux propositions P et Q est la propostion notée P ? Q qui seulement si Q” ou encore “P est une condition nécessaire et suffisante
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Logique : vrai/faux ; condition nécessaire suffisante ou nécessaire et suffisante ; et/ou ; connecteurs logiques (implication équivalence)
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3°) Condition nécessaire et suffisante condition équivalente logiquement ces deux raisonnements sont équivalents mais dans la tournure des phrases
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L'équivalence logique joue pour les propositions le rôle que joue l'égalité pour Les expressions « Condition nécessaire et suffisante (CNS) » « si et
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d'expressions comme "non" "et" "ou" "implique" "est équivalent à" On dit également que P est une condition nécessaire et suffisante de Q
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Essayons de formaliser Propositions Equivalence est une condition nécessaire et suffisante pour » Principales Équivalences Logiques
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La notation P ? Q se lit “P et Q sont équivalentes” “P équivaut à Q” “P si et seulement si Q” ou encore “P est une condition nécessaire et suffisante pour Q”
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L'équivalence logique joue pour les propositions le rôle que joue l'égalité pour Les expressions « Condition nécessaire et suffisante (CNS) » « si et
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Pour montrer une équivalence en raisonnant par équivalences il faut justifier si nécessaire les équivalences écrites à chaque étape Si l'ombre d'un doute
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On dit également que P est une condition nécessaire et suffisante de Q La table ci-dessous montre que la proposition P est équivalente à la proposition Q
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Lorsqu'une équivalence A B est vraie (où A et B sont des phrases mathématiques) alors on peut dire que : A est une condition nécessaire pour B et A est
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1°) Condition suffisante On dit qu'une propriété A suffit à une autre propriété B lorsque dès que A est réalisée B l'est aussi Cela
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Confusion entre implication et équivalence • Pour traverser la rivière il faut un bateau Confusion entre conditions nécessaire/suffisante Page
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Conditionnelle (suite) ? Nous dirons ? « implique » ? « si alors » ? « est une condition suffisante pour » ? « est une condition nécessaire pour »
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Lorsque l'on a P ? Q on dit que Q est une condition nécessaire à P et que P est une condition suffisante à Q Si nous reprenons notre exemple de triangle
Quelle est la différence entre condition nécessaire et condition suffisante ?
On dit que : Q est une condition nécessaire pour avoir P si dès que P est vraie, alors nécessairement, forcément, obligatoirement Q est vraie. Q est une condition suffisante pour avoir P s'il suffit que Q soit vraie pour que P soit vraie.Pourquoi P implique Q est équivalente à Non-p ou Q ?
En effet, Q est vraie, donc nonP OU Q est vraie, ce qui veut bien dire que P implique Q. On a même que P est équivalente à Q, puisque P et Q sont toutes les deux vraies, et que deux propositions sont équivalentes si et seulement si elles sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses.Comment montrer que deux propositions sont équivalentes ?
En lisant la table du vérité de l'équivalence, on constate que deux propositions sont équivalentes si et seulement si elles ont la même "valeur de vérité", c'est à dire si elles sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.- Pour démontrer qu'une proposition P est vraie, on peut utiliser un raisonnement par l'absurde. Pour cela, on suppose que P est fausse et on démontre que l'on aboutit alors `a une contradiction. Exemple : montrer qu'il n'existe pas d'entier naturel supérieur `a tous les autres.
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5 Remarque 6.
Lorsque l'implication "
P Q " est vraie et que P est vraie, on peut en déduire que Q est vraie : ce fait est à la base de nombreux syllogismes. Par contre lorsque l'implication " P Q est vraie et que Q est vraie on ne peut rien en déduire sur la vérité de P . Par exemple, la proposition "(1=0) (0=0)" est vraie et 0 = 0 est vraie mais 1 = 0 est fausse.Exemple 6.
Le postulat de Descartes, "je pense donc je suis", peut se rééc rire "je pense je suis". Dé fi nition 7. L'équivalence des deux propositions P et Q est la propostion notée P Q qui est vraie quand les deux propositions P et Q sont simultanément vraies ou simultaném ent fausses, et qui est fausse dans les autres cas.Remarque 7.
La notation
P Q se lit " P et Q sont équivalentes", " Péquivaut à
Q P si et seulement si Q " ou encore " P est une condition nécessaire et su ffi sante pour Q La table de vérité de l'équivalence est : PQP ⇔ Q
VVV V FF F VF F FVExemple 7.
La proposition "(1=1)
(0=0)" est vraie, la proposition "(1=0) (2=0)" est vraie, par contre la proposition "(1=0) (0=0)" est fausse.Exemple 8.
Illustration de l'emploi de l'équivalence de deux propositions pour la résolution du sytème suivant par la méthode du pivot de Gaus : x y z = 3 2 x + 3 y + 2 z = 1 x + 2 y z = 0Cette résolution se fait en écrivant des systèmes équivalents, obtenus par transformation selon la
méthode du pivot de Gauss : à chaque étape on choisit une ligne parmi celles non encore utilisées , onchoisit un pivot dans cette ligne, qu'on élimine des autres lignes nen encore utilisées (par substitution
ou addition de lignes) et on recommence jusqu'à obtenir un système triangulaire.On résoud alors le
système triangulaire et on véri fi e qu'on a vraiment trouvé une solution en revenant au système initial.1.3 Equivalence logique
Dé fi nition 8.Deux propositions
P et Q sont logiquement équivalentes si P est vraie lorsque Q est vraie, et si P est fausse lorsque Q est fausse. Cette relation est notée P Q1.1. Propriété- Caractérisation de l'équivalence logique.
Deux propositions
P et Q sont logiquement équivalentes si et seulement si elles ont la même table de vérité.Remarque 8.
L'équivalence logique de deux propositions
P et Q est une relation entre ces deux propositions : cela ne forme pas une nouvelle proposition (comme l'équivalence vue plus haut). 61.2. Propriété- Equivalences logiques usuelles.
Soit trois propositions
P Q et R , alors les propositions suivantes son logique- ment équivalentes : a) Double négation : non non P P b) non P etQ non P ounon Q c) non P ouQ non P etnon Q d) P et QouR P etQ ou P etR e) P ou QetR P ouQ et P ouR f) L'équivalence est une double implication : P Q P Q et Q P g) Autre dé fi nition de l'implication : P Q non P ouQ h) Contraposée : P Q non Q non P i) non P QP etnon
QExemple 9.
On traite les exemples suivants : "non(
k est un multiple de 2 et k est un multiple de3)", "non(fromage et dessert)", "non
(je me tais ou je vais au tableau )". Contraposée et négation des implications : "si je me suis rasé le matin alors j'ai l'air révei llé", "si on veut (alors) on peut", "( k 2 est impair) k est impair)".Remarque 9.
La contraposée (point
h) ci-dessus) est donc une réécriture de l'implication : elle permet parfois de simpli fi er l'énoncé, par exemple : la co ntraposée de "( k 2 est impair) k est impair)" est "( k est pair) k 2 est pair)". Elle exprime aussi le fait suivant : dire que " P est une condition su ffi sante pour Q " (c'est-à-dire P Q ) est logiquement équivalent à dire que " non P ) est une condition nécessaire pour non Q )" (c'est-à-dire non Q non Pquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] condition nécessaire et suffisante anglais
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