[PDF] Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si

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Lycée JANSON DE SAILLY06 novembre 2017

VECTEURS DU PLAN2nde10

INOTION DE VECTEUR

1PARALLÉLOGRAMME

DÉFINITION

Un quadrilatèreABCDest un parallélogramme si, et seulement si ses diagonales ont le même milieu

A B CD OAB C D O parallélogramme aplati

PROPRIÉTÉS

— Un quadrilatèreABCDest un parallélogramme si, et seulement si (AB)//(DC) et (AD)//(BC). — Dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur.

REMARQUE

Dire que dans un quadrilatère, il y a deux côtés opposés parallèles et de même longueur ne suffit pas pour

conclure que ce quadrilatère est un parallélogramme. A B DC Dans le quadrilatèreABCDnous avons (AB)//(CD) etAB=CD, pourtantABCDn"est pas un parallélogramme.

2SENS ET DIRECTION

AB — Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu"elles ont même direction. — Une direction étant indiquée par la donnée d"une droite (AB), il y a deux sens de parcours dans cette direction : soit deAversB, soit deBversA.

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 1 sur19

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VECTEURS DU PLAN2nde10

3TRANSLATION

A M N PQ F1 B R S TU F2

Le glissement qui permet d"obtenir la figureF2à partir de la figureF1peut être décrit de façon précise par

trois caractères : — ladirectiondu glissement est donnée par la droite(AB);

— lesensdu glissement est celui deAversB;

— ladistancedu glissement est égale à la longueur du segment[AB]. On dit que la figureF2est l"image de la figureF1par la translation de vecteur# »AB.

REMARQUE

Les vecteur

# »NSet# »PTsont aussi des vecteurs de la translation de vecteur# »AB, on dit qu"ils sont égaux. On

note alors :# »AB=# »NS=# »PT

DÉFINITION

SoientAetBdeux points du plan.

[AD] et [BC] aient le même milieu. Cette translation est la translation de vecteur# »AB.

Cas général

A CD B O ABDCest un parallélogrammeCas particuler oùA,BetCsont alignésAB CD O

ABDCest un parallélogramme aplati

IIVECTEURS

On le note# »AB.

1ÉGALITÉ DE DEUX VECTEURS

Deux vecteurs sont égaux s"ils sont associés à la même translation.

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 2 sur19

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VECTEURS DU PLAN2nde10

DÉFINITION

AB CD A,B,CetDsont quatre points du plan. Les définitions suivantes sont équivalentes :

# »AB=# »CDsi, et seulement si,Dest l"image du pointCpar la translation de vecteur# »AB.

—# »AB=# »CDsi, et seulement si, les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. —# »AB=# »CDsi, et seulement si,ABDCest un parallélogramme.

EXEMPLE:LES TROIS PARALLÉLOGRAMMES

ABCDetABEFsont deux parallélogrammes. Montrons queDCEFest un parallélogramme. A B C D EF —ABCDest un parallélogramme alors,# »AB=# »DC. —ABEFest un parallélogramme alors,# »AB=# »FE.

Par conséquent,

# »DC=# »FEdonc le quadrilatèreDCEFest un parallélogramme.

2REPRÉSENTATION D"UN VECTEUR

Devant des égalités du type# »AB=# »DC=# »FE= ···, on dit que les vecteurs# »AB,# »DC,# »FE, ... sont des

représentants du vecteur#»u:#»u=# »AB=# »DC=# »FE=···

Le vecteur

# »AA=# »BB=···est appelé le vecteur nul, noté#»0.

Soit O un point du plan. Pour tout vecteur#»u, il existe un un pointMunique tel que#»u=# »OM.

#»u # »OM OM

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 3 sur19

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VECTEURS DU PLAN2nde10

Si

#»un"est pas le vecteur nul, les pointsOetMsont distincts. Le vecteur#»uest caractérisé par :

— Sa direction : c"est celle de la droite

(OM).

— Son sens : c"est le sens deOversM.

— Sa norme notée??#»u??: c"est la distanceOM.

IIIADDITION VECTORIELLE

1SOMME DE DEUX VECTEURS

Soit trois pointsA,BetC.

Si on applique la translation de vecteur# »ABsuivie de la translation de vecteur# »BC, on obtient la translation

de vecteur# »AC. Le vecteur# »ACest la somme des vecteurs# »ABet# »BC # »AC=# »AB+# »BC AB C

RELATION DECHASLES

Quels que soient les pointsA,BetCon a :

AB+# »BC=# »AC

RÈGLE DU PARALLÉLOGRAMME

La somme# »OA+# »OBest le vecteur# »OMtel queOAMBest un parallélogramme.

CONSTRUCTION DE LA SOMME DE DEUX VECTEURS

Relation de Chasles

#»u #»v#»u+#»v ABC

Règle du parallélogramme

#»u #»v#»u+#»v OAB M

PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES

Quels que soient les vecteurs#»u,#»vet#»w#»u+#»v=#»v+#»u;#»u+#»0=#»0+#»u=#»u;?#»u+#»v?+#»w=#»u+?#»u+#»w?

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2DIFFÉRENCE DE DEUX VECTEURS

OPPOSÉ D"UN VECTEUR

L"opposé d"un vecteur#»uest le vecteur noté?-#»u?tel que#»u+?-#»u?=#»0. #»u -#»u

CONSÉQUENCE

L"opposé du vecteur# »ABest le vecteur# »BA:-# »AB=# »BA ?PREUVE

D"après la relation de Chasles :

# »AB+# »BA=# »AA=#»0

DÉFINITION

Étant donné deux vecteurs#»uet#»vla différence#»u-#»vest le vecteur#»u+?-#»v?.

#»u #»v -#»v #»u-#»v #»u-#»v ACB MN Quels que soient les pointsA,BetC,# »BC=# »AC-# »AB

IVMULTIPLICATION D"UN VECTEUR PAR UN RÉEL

1PRODUIT D"UN VECTEUR PAR UN RÉELk

#»u -23 #»u 5 4 #»u

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VECTEURS DU PLAN2nde10

DÉFINITION

Soit#»uun vecteur non nul (#»u?=#»0) etkun réel non nul (k?=0). Le produit du vecteur#»upar le réelk, noték#»uest le vecteur caractérisé par : — sa direction :k#»ua la même direction que le vecteur#»u;

Cas oùk>0Cas oùk<0

# »OM=k #»u # »OA= #»u OA M # »OM=k #»u # »OA=#»u OA M — son sens : le vecteurk#»uale même sens que le vecteur#»u;

— sanorme:lanormeduvecteurk#»uestégale

au produit de la norme du vecteur#»upar le réelk??k#»u??=k×??#»u??— son sens : le vecteurk#»uest de sens opposé au sens du vecteur#»u;

— sanorme:lanormeduvecteurk#»uestégale

au produit de la norme du vecteur#»upar l"opposé du réelk k#»u??=-k×??#»u??

Ce qui s"écrit de façon générale

?k#»u??=|k|×??#»u??et se lit :

"la norme du vecteurk#»uest égale au produit de la norme du vecteur#»upar la valeur absolue du réelk»

Lorsque#»u=#»0 ouk=0, on convient quek#»u=#»0 : ainsi, l"égaliték#»u=#»0 ne peut se produire que

lorsque#»u=#»0 ouk=0.

REMARQUE

SoitAetBdeux points distincts, etkun réel donné. Il existe un unique pointMdéfini par la relation# »AM=k# »AB:

—Mest un point de la droite (AB)

—Ma pour abscissekdans le repère (A;B) d"origineA

M?[Ax)

k?0M?[AB]

0?k?1M?[By)

k?1 xA By

2PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES

Pour tous vecteurs#»uet#»vet pour tous réelsketk?: k?#»u+#»v?=k#»u+k#»v; (k+k?)#»u=k#»u+k?#»u;k#»u=#»0??k=0 ou#»u=#»0

3VECTEURS COLINÉAIRES

DÉFINITION

Deux vecteurs#»uet#»vsont dits colinéaires s"il existe un réelktel que#»u=k#»vou#»v=k#»u

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REMARQUES

— Comme

#»0=0#»u, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. — Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.

4APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

AVEC LES MILIEUX

MILIEU D"UN SEGMENT

Étant donné un segment [AB]. Chacune des propriétés suivantes caractérise le milieuIdu segment

[AB] :

1)# »AI=# »IBou 2)# »I A+# »IB=#»0 ou 3)# »AB=2# »AI.

4) Pour tout pointMdu plan# »MA+# »MB=2# »MI.

?DÉMONSTRATION

1. L"égalité

# »AI=# »IBcaractérise le milieuIdu segment [AB] (conséquence de la définition de l"égalité de

deux vecteurs).

2.Imilieu du segment [AB]??# »AI=# »IB??# »I A=-# »IB??# »I A+# »IB=#»0

3.Imilieu du segment [AB]??# »AI=# »IB??2# »AI=# »AI+# »IB??2# »AI=# »AB

4. SiIest le milieu du segment [AB], alors pour tout pointM

MA+# »MB=?# »MI+# »I A?

+?# »MI+# »IB? =2# »MI+# »I A+# »IB? =#»0=2# »MI

Réciproquement, la propriété

# »MA+# »MB=2# »MIétant vraie pour tout pointMon peut l"appliquer au pointI. Soit :# »I A+# »IB=2#»II=#»0

Ce qui prouve queIest le milieu du segment [AB]

THÉORÈME

SoitABCun triangle,IetJles milieux respectifs de [AB] et [AC] alors# »BC=2#»IJ ?DÉMONSTRATION BC=# »BA+# »AC=2# »I A+2# »AJ=2?# »I A+# »AJ? =2#»IJ

PARALLÉLISME ET ALIGNEMENT

— Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs# »ABet# »CDsont colinéaires.

— Trois pointsA,BetCsont alignés si, et seulement si, les vecteurs# »ABet# »ACsont colinéaires.

?DÉMONSTRATION

— Si (AB)//(CD) alors, les vecteurs# »ABet# »CDont la même direction donc ils sont colinéaires.

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