[PDF] Méthodes numériques et programmation

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Méthodes numériques et programmation

RAHAB Hichem

rahab_hichem@yahoo.fr

2015 /2016

Méthodes Numériques et programmation2emephysiqueRAHAB Hichem c?2015-2016 2

Table des matières

Table des matières 3

1 Rappels sur les langages informatiques 5

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 La transposé d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 La taille d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Sélection de ligne ou de colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.4 La matrice Identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.5 Le produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.6 La matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.7 Autres fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Calcul des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Le teste conditionnel "if" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Les boucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.1 La boucle for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.2 La boucle "while" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Écriture de programmes Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6.1 Les scripts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6.2 Les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Résolution numériques des équations non linéaires 13

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Méthode de Bissection (ou dichotomie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Résolution numériques des systèmes d"équations linéaires 21

3.1 Méthode Matricielle(matrice inverse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Méthode du pivot (Gauss-Jordan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Méthode de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.1 Test d"arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Intégration numérique 29

4.1 Méthode du point milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Méthode du point milieu composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.1 Programme Matlab (Méthode du point milieu composite) . . . . . . . . . 31

4.3 Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3.1 La méthodetrapzde Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4 Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Méthodes Numériques et programmation2emephysique5 Travaux pratiques 35

5.1 TP 1 : Introduction à Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 TP 2 : Résolution numérique d"équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3 TP 3 :Résolution numériques des systèmes d"équations linéaires . . . . . . . . . . 40

5.4 TP 4 : Intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Bibliographie43RAHAB Hichem

c?2015-2016 4

Chapitre 1

Rappels sur les langages

informatiques

1.1 Introduction

On appelle " langage informatique » un langage destiné à décrire l"ensemble des actions

consécutives qu"un ordinateur doit exécuter. Un langage informatique est ainsi une façon pra-

tique pour nous (humains) de donner des instructions à un ordinateur. À CHAQUE instruction

correspond une ou plusieurs actions du processeur. Le langage utilisé par le processeur est appelé

langage machine. Il s"agit des données telles qu"elles arrivent au processeur, constituées d"une

suite de 0 et de 1 (données binaire). Le langage machine n"est ainsi pas compréhensible par

l"être humain, c"est pourquoi des langages intermédiaires, compréhensibles par l"homme, ont été

mis au point. Pour être exploitable par le processeur, le code écrit dans ce type de langage est

transformé en langage machine par une opération de compilation.

Le langage Matlab

Matlab est un environnement de calcul numérique matriciel, il est donc basé sur le principe de matrice. Tous les types dans Matlab sont à la base des matrices, un scalaire est une matrice de dimension1×1, un vecteur est une matrice de1×noun×1. Ce principe est primordial à comprendre pour pouvoir travailler avec Matlab. Matlab crée une variable lors de son affectation, de ce fait on n"a pas besoin de déclarer les variables avant sont utilisation.

1.2 Les matrices

Pour créer les matrices suivantes :

x=4; Matrice1×1 x=[1 2 3 4] Matrice1×4 x=[1 ,2 , 3 , 4]; Matrice1×4 x=[1;2; 3; 4]; Matrice4×1 x=[1 : 5] Matrice ligne des éléments de 1 à 5. x=[0 : 2 :10] Matrice ligne des éléments de 0 à 10 avec un pas de 2. x=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] Matrice de3×3.

Remarque

- Le point-virgule (;) dans la matrice marque le retour à la ligne, alors qu"à la fin d"une instruction bloque l"affichage du résultat. 5 Méthodes Numériques et programmation2emephysique1.2.1 La transposé d"une matrice

Exemplex=[0 :2;4 :6], retourne :

x = 0 1 2 4 5 6

C"est une matrice à 2 lignes et 3 colonnes.

» y = x"retourne la matrice transposée :

y=0 4 1 5 2 6

1.2.2 La taille d"une matrice

La taille de la matriceyest donnée par la fonctionsize(y): >> size(y) ans = 3 2

La réponse est : 3 lignes et 2 colonnes.

1.2.3 Sélection de ligne ou de colonne

La colonne j de la matrice x est donnée par :y(:,j), pour j=2, on a : y(:,2)= 4 5 6 La ligne i de la matrice x est donnée par :y(i,:), pour i=2, on a : y(2,:)= 1 5

1.2.4 La matrice Identité

Pour une matrice carrée A d"ordre n, on a sa matrice identité qui est donnée par la fonction

"eye".

Exemplepour n=3, on a :

>> A A = 1 2 3 4 5 6 6 7 8 >> eye(size(A)) ans = 1 0 0 0 1 0

0 0 1RAHAB Hichem

c?2015-2016 6 Méthodes Numériques et programmation2emephysique1.2.5 Le produit Soient de matrices A den×met B dep×q, alors le produitC=A×Bn" est possible que sim=p. Dans ce cas, le coefficientc11de cette matrice C s"écrit : c

11=a11b11+a12b12+...+a1mbp1

1.2.6 La matrice inverse

Soit A une matrice non nulle. La matrice inverseA-1de A (si elle existe) est telle que :

A?A-1=Id

Dans Matlab, cette matrice inverse est donnée par :

A^(-1)=inv(A)

Exemple

>>A=[1 3 5;2 -1 0;5 4 3] A = 1 3 5

2 -1 0

5 4 3

La matrice inverse de A est :

>>inv(A) ans = -0.0682 0.2500 0.1136 -0.1364 -0.5000 0.2273

0.2955 0.2500 -0.1591

1.2.7 Autres fonctions

Soit x=[2 15 0] une matrice ligne (vecteur ligne). sort(x), donne une matrice ligne dont les éléments sont en ordre croissant : >>sort(x) ans =

0 2 15

sort(x") , donne une matrice colonne dont les éléments sont en ordre croissant : >>sort(x") ans = 0 2 15 sum(x) calcule la somme des éléments de la matrice x. >>sum(x) ans =

17RAHAB Hichem

c?2015-2016 7

Méthodes Numériques et programmation2emephysiquePour trouver le maximum et le minimum du vecteur x, on utilise les fonctions max(x) et

min(x) : >>max(x) ans = 15

1.3 Calcul des polynômes

Pour calculer le polynôme suivant :S=πR2.pourR= 4, on suit les étapes suivants : >> R=4 % affectation de la valeur 4 à la variable R >> S=pi*R^2 >> S=

50.2655 % Le résultat de calcul

Pour le deuxième polynôme :P(x) =4x2-2x+3x

3+1 >> x=2 >> p=(4*x^2-2*x+3)/(x^3+1) >> p =

1.6667

Opérateurs logiques :

= L"opérateur "NON" (différent) (==) L"opérateur "égal" &L"opérateur "et" ?L"opérateur "ou" > supérieur à < inférieur à >= supérieur ou égal <= inférieur ou égal

1.4 Le teste conditionnel "if"

Ce test s"emploie, souvent, dans la plupart des programmes, il permet de réaliser une suite d"instructions si sa condition est satisfaisante. Le testifa la forme générale suivante : if-elseif-else-end if elseif else endRAHAB Hichem c?2015-2016 8

Méthodes Numériques et programmation2emephysiqueoù , , ... représentent des ensembles de conditions logiques,

dont la valeur est vrai ou faux. La première condition ayant la valeur 1 entraîne l"exécution de

l"instruction correspondante. Si toutes les conditions sont fausses, les instructions ,, ... sont exécutées. Si la valeur de est zéro, les instructions , , ...ne sont pas exécutées et l"interpréteur passe à la suite.

Exemple 1

>> V=268.0826 V =

268.0826

>> if V>150, surface=pi*R^2, end surface =

50.2655

Exemple 2Pour calculer les racines d"un trinômeax2+bx+c, on peut utiliser les instructions suivantes : if a ~= 0 sq = sqrt(b*b - 4*a*c); x(1) = 0.5*(-b + sq)/a; x(2) = 0.5*(-b - sq)/a; elseif b ~= 0 x(1) = -c/b; elseif c ~= 0 disp("Equation impossible"); else disp(" L""equation est une egalite"); end

Remarques

- La double apostrophe sert à représenter une apostrophe dans une chaîne de caractères. Ceci est nécessaire car une simple apostrophe est une commande Matlab. - La commande disp(") affiche simplement ce qui est écrit entre crochets.

1.5 Les boucles

1.5.1 La boucle for

Une boucleforrépète des instructions pendant que le compteur de la boucle balaie les valeurs rangées dans un vecteur ligne. ExemplePour calculer les 6 premiers termes d"une suite de Fibonaccifi=fi-1+fi-2,avec f

1= 0etf2= 1, on peut utiliser les instructions suivantes :

>> f(1) = 0; f(2) = 1; >> for i = 3:6 f(i) = f(i-1) + f(i-2); endRAHAB Hichem c?2015-2016 9 Méthodes Numériques et programmation2emephysiqueRemarques - L"utilisation du point-virgule (;) permet de séparer plusieurs instructions Matlab entrées sur une même ligne. - On pourrait remplacer la seconde instruction par :» for i = [3 4 5 6] - Matlab n"exécute l"ensemble du bloc de commandes qu"une fois tapé end.

1.5.2 La boucle "while"

La bouclewhilerépète un bloc d"instructions tant qu"une condition donnée est vraie. ExempleLes instructions suivantes ont le même effet que les précédentes : >> f(1) = 0; f(2) = 1; k = 3; >> while k <= 6 f(k) = f(k-1) + f(k-2); k = k + 1; end

Remarque

- Le compteur "k" est ajouté ici, ce compteur doit être initialisé et incrémenté pour assurer

la condition d"arrêt de la boucle while.

1.6 Écriture de programmes Matlab

Un nouveau programme Matlab doit être placé dans un fichier, appelé m-fichier, dont le nom comporte l"extension .m. Les programmes Matlab peuvent être des scripts ou des fonctions.

1.6.1 Les scripts

Un script est simplement une collection de commandes Matlab, placée dans un m-fichier et pouvant être utilisée interactivement.

ExemplePour le polynôme :g(x) =2x3+7x2+3x+1x

2-3x+5.e-x

On peut écrire un script, qu"on choisit d"appeler TP, comme suit : ce script est enregistré dans le fichier TP.m. Pour le lancer, on écrit simplement l"instruction TP après le prompt » Matlab. >> x=3 ; >> TP g=

502.1384

1.6.2 Les fonctions

Une fonction est aussi définie dans un m-fichier qui commence par une ligne de la forme : function [out1,... ,outn]=name(in1 ,... ,inm).

Où :RAHAB Hichem

c?2015-2016 10

Méthodes Numériques et programmation2emephysique-out1,...,outnsont les variables de sortie sur lesquels les résultats de la fonction sont

retournés; -in1,...,inmsont les variables d"entrée, qui sont nécessaire à la fonction pour accomplir ses calculs. Exemple 1On définit une fonctiondeterm, qui calcule le déterminant d"une matrice d"ordre 2 : function det=determ(A) [n,m]=size(A); if n==m if n==2 det = A(1 ,1)*A(2,2)-A(2 ,1)*A(1 ,2); else disp(? Seulement des matrices 2x2 ?); end else disp(? Seulement des matrices carrées ?); end return Exemple 2Le nombre d"orα= 1.6180339887....Celui-ci est la limite pourk→ ∞, du quotient f

k/fk-1de deux termes consécutifs de la suite de fibonacci. On itère par exemple jusqu"à ce que

la différence entre deux quotients consécutifs soit inférieure à10-4: function [Alpha ,k]=fibonacci f(1) = 0; f(2) = 1; Alphaold = 0; kmax = 100; tol = 1.e-04; for k = 3:kmax f(k) = f(k-1) + f(k-2);

Alpha = f(k)/f(k-1);

if abs(Alpha - Alphaold) < tol return end

Alphaold = Alpha;

end return L"exécution est interrompue soit après kmax=100 itérations, soit quand la valeur absolue de

la différence entre deux itérées consécutives est plus petite que tol=1.e-04. On peut alors écrire :

>> [alpha,niter]=fibonacci0 alpha =

1.61805555555556

niter = 14

Après 14 itérations, la fonction a retourné une valeur approchée dont les 5 premières déci-

males coïncident avec celles deα. Les paramètres kmax et tol peuvent être passés en entrée,

donc la fonction Fibonacci peut être modifier ainsi : function [Alpha ,k]=fibonacci1(tol ,kmax) f(1) = 0; f(2) = 1; alphaold = 0;RAHAB Hichem c?2015-2016 11 Méthodes Numériques et programmation2emephysiquefor k = 3:kmax f(k) = f(k-1) + f(k-2); alpha = f(k)/f(k -1); if abs(alpha - alphaold) < tol return end alphaold = alpha; end return Exemple 3La fonction suivante permet de trouver les solutions d"une équation de 2eme degré : function [x1,x2]= degre2(a,b,c) delta=b^2-4*a*c; if delta < 0 disp ("Pas de solution ...") else x1= (-b-sqrt(delta))/(2*a); x2= (-b+sqrt(delta))/(2*a); end return\\ Cette fonction doit être enregistrer sur le fichier : degre2.m .

Voici deux exécutions en ligne de commande :

>> [r1,r2]=degre2(1,3,1) r1 = -2.6180 r2 = -0.3820 >> [r1,r2]= degre2 (1,1,1)

Pas de solution ...

Remarque

l"instruction return peut être utilisée pour forcer une interruption prématurée de la fonction

(quand une certaine condition est satisfaite).RAHAB Hichem c?2015-2016 12

Chapitre 2

Résolution numériques des équations

non linéaires

2.1 Introduction

Pour la résolution des d"équations non linéaires. C"est-à-dire pour une fonctionf:Rn→Rn

donnée, la recherche d"un pointx?Rntel que :f(x) = 0, il n"y a pas en générale un algorithme

fini pour trouver cette solution. On est donc obligé d"utiliser des méthodes itératives.

La particularité des méthodes par itération est qu"elles ne permettent de déterminer qu"une

seule racine par essai de suite d"itérations. Il faut alors rechercher les autres racines possibles

par d"autres suites d"itérations.

Dans toutes les méthodes itératives, il est nécessaire, pour éviter une divergence de la solu-

tion, de bien choisir les valeurs initiales. Celles-ci peuvent être obtenues graphiquement.

2.2 Méthode de Bissection (ou dichotomie)

Cette méthode repose sur le constat que si :

-f(x)est continue sur un intervalle[a,b]; - et le produitf(a).f(b)est négatif, Alors la fonctionfs"annule au moins une fois sur l"intervalle[a,b]. Les différentes étapes de la méthode peuvent être résumées comme suit :

1. Choisir un intervalle[a0=a;b0=b]tel quef(a).f(b)<0;

2. Calculer la valeur de la fonction enc= (a+b)/2;

(a) Sif(c) = 0; on s"arrête (b) Sinon on retient comme nouvel intervalle : -[a0,c]Sif(a0)×f(c)<0 -[c,b0]Sif(c)×f(b0)<0 En respectant la condition du " 1 ». On est alors assuré de toujours encadrer la racine.

3. Répéter les étapes 2, (a) et (b) jusqu"à l"obtention de la précision désirée, c"est à dire

jusqu"à ce que :f(c) = 0ou bien|f(c)|< e, "e" étant la précision désirée. Le programme Matlab de la méthode de Bissection est donné ainsi : function c=Bissection(a,b) c=(a+b)/2 tol=1e-6; % C"est l"approximation désirée while abs(f(c)) > tol if f(a)*f(c)<0 13 Méthodes Numériques et programmation2emephysiqueFigure2.1 - La méthode Bissection b=c; end if f(c)*f(b)<0 a=c; end c=(a+b)/2; end c Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Sifune fonction continues sur un intervalle[a,b]. et :f(a) =metf(b) =nalors elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre m et n. Exemple 1La fonctionf(x) =x3-x2-1a une racine dans l"intervalle[1,2]. Utiliser la méthode de bissection pour approximer cette racine au rang de10-4. On a :f(1) =-1<0etf(2) = 3>0, alors la condition (1) est satisfaite. Commençant aveca0= 1etb0= 2, on calcule :c0=(a0+b0)2 =(1+2)2 = 1.5etf(c0) =

0.125. Alorsf(1).f(1.5)<0la fonction change de signe dans l"intervalle[a0,c0] = [1,1.5].

pour continuer on met :a1=a0etb1=c0, donc :c1= (a1+b1)/2 = (1 + 1.5)/2 = 1.25 etf(c1) =-0.609375On a aussi,f(1.25).f(1.5)<0, alors la fonction change de signe dans l"intervalle[a1,c1] = [1.25,1.5]. Il y a une racine dans cet intervalle. On meta2=c1etb2=b1. Et ainsi de suite jusqu"à aboutir aux valeurs du tableau de la Figure 2.3 . Qui nous donne la raciner= 0.4656. Le programme Matlab permettant de calculer la racine c est le suivant : function [c,fc,iter]=Bissection(a,b) c=(a+b)/2 tol=1e-5;RAHAB Hichem c?2015-2016 14

Méthodes Numériques et programmation2emephysiqueFigure2.2 - La fonctionf(x) =x3-x2-1Figure2.3 - Le résultat de l"exécution du programme Matlab de l"exemple 1RAHAB Hichem

c?2015-2016 15 Méthodes Numériques et programmation2emephysiqueiter=0; while abs(c^3-c^2-1) > tol if (a^3-a^2-1)*(c^3-c^2-1)<0 b=c; end if (c^3-c^2-1)*(b^3-b^2-1)<0 a=c; end c=(a+b)/2; iter=iter+1; end fc=c^3-c^2-1; Exemple 2Soit la fonctionf(x) = coshx+cosx-3. On veut trouver un sous intervalle qui

contient le zéro defdans l"intervalle[-3,3], et ensuite calculer cette racine par la méthode de

dichotomie avec une tolérance de10-10. On utilise la fonction plot(x,f)Figure2.4 - La fonction :f(x) = coshx+cosx-3 En partant de[a,b] = [-3,-1], la méthode de dichotomie converge en 34 itérations vers la valeurα=-1.85792082914850(avecf(α) =-3.6?10-12). De même, en prenant de[a,b] = [1,3], la méthode de dichotomie converge en 34 itérations vers la valeurα= 1.85792082914850(avecf(α) =-3.6?10-12).

2.3 Méthode de Newton

La méthode de Newton permet d"approcher par itérations la valeur de la racinexqui annuleraquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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