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Sujets et corrigés des DS

de mathématiques et d"informatique

BCPST1A lycée Hoche 2015-2016

Sébastien Godillon

Table des matières

Sujet du DS n

o1 (mathématiques, 3h) 3

Corrigé du DS n

o15

Exercice 1 (logique, nombres réels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problème 1 (nombres complexes, équations, polynôme, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2 (nombres réels, inéquations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problème 2 (logique, nombres complexes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 3 (nombres réels, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sujet du DS n

o2 (mathématiques, 3h) 15

Corrigé du DS n

o217

Exercice 1 (sommes, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problème 1 (étude de fonctions, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2 (nombres complexes, trigonométrie, inéquations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problème 2 (suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 3 (sommes, trigonométrie, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sujet du DS n

o3 (mathématiques et informatique, 3h) 30

Corrigé du DS n

o333

Problème 1 (dénombrement, applications, logique, sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice (dénombrement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problème 2 (études de fonctions, informatique, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sujet du DS n

o4 (mathématiques, 3h) 43

Corrigé du DS n

o445

Exercice 1 (systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problème 1 (dérivées, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2 (inéquations, dérivées) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problème 2 (dénombrement, applications) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 3 (systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54 BCPST1A lycée Hoche 2015-2016 1 sur 141 Sébastien Godillon

Sujet du DS n

o5 (mathématiques, 3h) 58

Corrigé du DS n

o560

Exercice 1 (géométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problème 1 (suites, sommes, limites, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2 (équations différentielles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problème 2 (matrices, suites, limites, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 3 (matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sujet du DS n

o6 (mathématiques, 3h) 74

Corrigé du DS n

o676

Exercice 1 (étude de fonctions, suites, limites, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problème 1 (polynômes, quantificateurs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2 (polynômes, systèmes linéaires, primitives) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problème 2 (polynômes, étude de fonctions, limites, équivalents, applications) . . . . . . . . . .

Exercice 3 (nombres réels, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sujet du DS n

o7 (mathématiques, 3h) 89

Corrigé du DS n

o791

Problème 1 (probabilités, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice (étude de fonctions, continuité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problème 2 (fonctions, logique, suites, continuité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sujet du DS n

o8 (mathématiques et informatique, 4h) 101

Corrigé du DS n

o8105

Problème (étude de fonctions, informatique, continuité, dérivabilité, suites) . . . . . . . . . . . .

105

Exercice (sous-espaces vectoriels, familles de vecteurs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

Sujet du DS n

o9 (mathématiques, 3h) 127

Corrigé du DS n

o9129

Problème 1 (familles de vecteurs, applications linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

Problème 2 (intégration, étude de fonctions, développements limités) . . . . . . . . . . . . . . .

1 34BCPST1A lycée Hoche 2015-2016 2 sur 141 Sébastien Godillon

DS n o1 de mathématiques durée : 3 heures

Exercice 1

Le but de cet exercice est de démontrer l"existence de nombres réelsx6= 0tel que8n2N; xn+1x n2Z. 1. P ourcette question, on supp osequ"il existe x2R?tel quex+1x 2Z. (a)

Soit n2N. Montrer que

x n+1+1x n+1 x+1x x n+1x n x n+2+1x n+2 (b)

En déduire que 8n2N; xn+1x

n2Z. 2.

Mon trerqu"il existe au moins un x2R?tel quex+1x

2Z. 3.

Conclure.

Problème 1

Le but de ce problème est de calculer les valeurs exactes decos5 etsin5 1. (a)

Résoudre l"équation z5= 1d"inconnuez2C. On écrira les solutions de cette équation, appelées

racines 5-ièmes de l"unité, sous forme exponentielle. (b)

Écrire les racines 5-ièmes d el"unité sous forme algébrique à l"aide des fonctions trigonométriques.

On utilisera les valeurs ce ces fonctions uniquement aux angles 5 et25 2. (a) Mon trerqu"il existe une unique fonction p olynomialeP:z7!a0+a1z+a2z2+a3z3+a4z4où (a0;a1;a2;a3;a4)2R5telle quez51 = (z1)P(z)pour tout nombre complexez. (b) Déterminer trois nom bresréels a,betctels que

8z2C?;P(z)z

2=a z+1z 2 +b z+1z +c: (c) Résoudre l"équation aZ2+bZ+c= 0d"inconnueZ2C. (d) En déduire les solutions de l"équation P(z) = 0d"inconnuez2C. On écrira les solutions de cette équation sous forme algébrique à l"aide d"expressions à radicaux imbriqués. 3. En utilisan tles résultats précéden ts,conclure en donnan tles v aleursexactes de cos5 etsin5

Exercice 2

On considère l"équation suivante d"inconnuex2R: j

2xp5x1k

= 0:(E) 1.

Déterminer le domaine d edéfinition de (E).

2. P ourtout a2R, rappeler un encadrement de la partie entière deaen fonction dea. 3.

Mon trerque résoudre (E) est équiv alentà résoudre deux inéquations qu"on déterminera.

4. Résoudre les deux inéquations obten uesà la question précéden te. 5. Résoudre (E). BCPST1A lycée Hoche 2015-2016 3 sur 141 Sébastien Godillon

Problème 2

SoitU+l"ensemble des nombres complexes de module 1 dont les arguments sont compris entre 0 et, c"est-à-dire : U +=ei; 2[0;]:

Le but de ce problème est d"étudier le module maximum et minimum des sommes d"éléments deU+.

Déterminer le mo duled"un élémen tde U+.

2. Dans cette question, o ns"in téresseau mo dulemaxim umdes sommes d"élémen tsde U+. (a) Dém ontrerp ourtout en tiern>1que8(z1;z2;:::;zn)2(U+)n;jz1+z2++znj6n. (b) En déduire le mo dulemaxim umdes sommes de néléments deU+pour tout entiern>1. (c) Que p eut-ondi redu mo dulemaxim umdes sommes d"élémen tsde U+? 3.

Dans cette question, o ns"in téressedésormais au mo duleminim umdes sommes d"élémen tsU+.

(a)

P ourtout (;)2R2, factoriser l"expressionei+ei.

(b) En déduire le mo dulemin imumdes sommes de deux élémen tsde U+. On donnera explicitement deux éléments deU+qui réalisent ce minimum. (c) Co njecturerla v aleurdu mo duleminim umdes sommes d"un nom brepair d"élémen tsde U+. Rédiger la démonstration de cette conjecture à l"aide d"un raisonnement par récurrence. (d)

On considère (;;

)2R3tel que0666

6et on posea=etb=

Démon trerque

1 +eia+eib2= 1 + 4cosab2

cosa+b2 + 4cos 2ab2 ii.

En déduire que

1 +eia+eib>1.

iii.

Conclure que ei+ei+ei

>1. (e)

Déduire de la question précéden tele mo duleminim umdes sommes de trois élémen tsde U+.

(f) Conjecturer la v aleurdu mo duleminim umdes sommes d "unnom breimpair d"élémen tsde U+.

Exercice 3

On considère le nombre réel suivant :

x=3q10 + 6 p3 +

3q106p3:

Mon trerque xvérifie l"égalitéx3= 206x.

2. Mon trerqu"il existe (a;b;c)2R3tel que8X2R; X3+ 6X20 = (Xa)(X2+bX+c). Indication: on pourra choisir pouraune solution évidente de l"équationX3+ 6X20 = 0. 3. Simplifier x.BCPST1A lycée Hoche 2015-2016 4 sur 141 Sébastien Godillon

Corrigé du DS n

o1 de mathématiques

Exercice 1

Le but de cet exercice est de démontrer l"existence de nombres réelsx6= 0tel que8n2N; xn+1x n2Z. 1. Pou rc ettequestion, on supp osequ"il existe x2R?tel quex+1x 2Z. (a)

So itn2N. Montrer que

x n+1+1x n+1 x+1x x n+1x n x n+2+1x n+2

IOn a :

x n+1+1x n+1 x+1x =xn+1x+xn+1x +xx n+1+1x n+1x =xn+2+xn+1x n+1x n+2 x n+1x n x n+2+1x n+2: (b)

E ndé duireque 8n2N; xn+1x

n2Z. L"énoncé commence par "8n2N», il faut donc penser à faire une récurrence. D"après ce que nous venons de démontrer à la question précédente, il s"agit très certainement d"une récurrence double.IPour toutn2N, on notePnl"assertion "xn+1x n2Z». Nous allons démontrer que cette assertion est vraie pour tout entier naturelnpar récurrence double.

Initialisation: on ax0+1x

0= 1 +11

= 22Zetx1+1x

1=x+1x

2Zd"après l"hypothèse de

l"énoncé. AinsiP0etP1sont vraies.

Hérédité: on suppose quePnetPn+1sont vraies pour un entiern>0fixé. D"après le résultat

de la question précédente, on a : x n+2+1x n+2= x n+1+1x n+1 |{z}

2ZcarPn+1est vraie

x+1x |{z}

2Zd"après l"énoncé

x n+1x n |{z}

2ZcarPn+1est vraie2Z:

DoncPn+2est vraie. Puisque ce raisonnement est vrai pour un entier naturelnquelconque, on vient de démontrer que "8n2N;(PnetPn+1) =)Pn+2». Conclusion: on en déduit d"après le principe de récurrence double quePnest vraie pour tout entier natureln, c"est-à-dire que

8n2N; xn+1x

n2Z: Soyez précis et concis dans la rédaction de vos raisonnements par récurrence, surtout le premier de la copie. Distinguez l"initialisation de l"hérédité, indi- quez où vous utilisez les hypothèses de récurrences dans l"hérédité, résumez l"hérédité en montrant que vous connaissez le principe de récurrence, concluez

en citant le principe de récurrence.BCPST1A lycée Hoche 2015-2016 5 sur 141 Sébastien Godillon

2.Montr erqu"il existe au moins un x2R?tel quex+1x

2Z.

ISix2R?est tel quex+1x

=n2Zalorsx2+ 1 =nxdoncx2nx+ 1 = 0. On reconnait une équation du second degré de discriminant =n24. Ce discriminant est positif dès quen2>4 donc dès quejnj>2, c"est-à-dire lorsquen2Zn f1;0;1g. Et dans ce cas, l"équation admet au moins une solution réelle. Le raisonnement ci-dessus constitue l"analyse du problème d"existence. On peut le faire au brouillon sans l"écrire sur la copie. Par contre la synthèse ci-dessous

doit apparaitre sur la copie.Soitn2Zn f1;0;1g. Alors l"équation du second degréx2nx+ 1 = 0admet au moins une

solutionx2Rcar son discriminant =n24est positif (carjnj>2). On ax6= 0carx= 0n"est pas une solution dex2nx+ 1 = 0, doncx2R?. De plusx2nx+ 1 = 0impliquex2+ 1 =nx doncx+1x =n2Z(carx6= 0). Finalement, on obtient que

9x2R?; x+1x

2Z:

On peut aussi tout simplement remarquer que1 +11

= 22Zdoncx= 1 convient. C"est suffisant pour répondre à la question et gagner tous les points.

Ou encorex=3+p5

2 car3+p5 2 +23+
p5 = 3(xest solution dex23x+ 1 = 0).3.Conclur e. IOn a montré à la question 1 que "8x2R?;x+1x

2Z=)8n2N; xn+1x

n2Z» et à la question 2 que "9x2R?; x+1x

2Z». Par conséquent, on obtient par déduction que

9x2R?;8n2N; xn+1x

n2Z: Pour ce type de question de conclusion, montrez que vous avez compris l"énoncé. Résumez les résultats importants des questions précédentes et citez le type de raisonnement qui vous permet de conclure.Problème 1 Le but de ce problème est de calculer les valeurs exactes decos5 etsin5 1. (a)

R ésoudrel"é quationz5= 1d"inconnuez2C. On écrira les solutions de cette équation, appelées

racines 5-ièmes de l"unité, sous forme exponentielle. IOn remarque quez= 0n"est pas une solution dez5= 1. Donc siz2Cest solution de z

5= 1, alorsz6= 0et on peut écrirezsous forme exponentiellez=reioùr=jzj>0et

= arg(z)2R. On a alors :

1ei0= 1 =z5= (rei)5=r5ei5()1 =r5

05[2]()r= 1

025
On en déduit l"ensemble des racines 5-ièmes de l"unité : z2Cjz5= 1=ei2k=5; k2Z=1;ei2=5;ei4=5;ei6=5;ei8=5: Attention : les racinesn-ièmes de l"unité ne sont pas officiellement au pro- gramme de BCPST. Il faut donc refaire cette résolution à chaque fois que vous les croisez. Soyez concis et précis (n"oubliez pas de vérifier quez6= 0 avant de l"écrire sous forme exponentielle). Il ne faut pas perdre de temps sur

ce type de question, ce sont des points facilement gagnés.BCPST1A lycée Hoche 2015-2016 6 sur 141 Sébastien Godillon

(b)É crireles r acines5-ièmes de l"unité sous forme algébrique à l"aide des fonctions trigonomé-

triques. On utilisera les valeurs ce ces fonctions uniquement aux angles 5 et25 IOn a d"après les propriétés des fonctions symétriques : -ei2=5= cos25 +isin25 -ei4=5= cos45 +isin45 = cos5 +isin5 =cos5 +isin5 -ei6=5= cos65 +isin65 = cos+5 +isin+5 =cos5 isin5 -ei8=5= cos85 +isin85 = cos225 +isin225 = cos25 isin25 D"où l"ensemble des racines 5-ièmes de l"unité écrits sous forme algébrique :

1;cos25

+isin25 ;cos5 +isin5 ;cos5 isin5quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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Sujets et corrigés des DS

BCPST1A lycée Hoche 2015-2016

Sébastien Godillon

Table des matières

Sujet du DS n

Corrigé du DS n

Sujet du DS n

Corrigé du DS n

Sujet du DS n

Corrigé du DS n

Sujet du DS n

Corrigé du DS n

54 BCPST1A lycée Hoche 2015-2016 1 sur 141 Sébastien Godillon

Sujet du DS n

Corrigé du DS n

Sujet du DS n

Corrigé du DS n

Sujet du DS n

Corrigé du DS n

Sujet du DS n

Corrigé du DS n

Sujet du DS n

Corrigé du DS n

1 34BCPST1A lycée Hoche 2015-2016 2 sur 141 Sébastien Godillon

Exercice 1

Soit n2N. Montrer que

En déduire que 8n2N; xn+1x

Mon trerqu"il existe au moins un x2R?tel quex+1x

Conclure.

Problème 1

8z2C?;P(z)z

Exercice 2

2xp5x1k

Déterminer le domaine d edéfinition de (E).

Problème 2

Déterminer le mo duled"un élémen tde U+.

P ourtout (;)2R2, factoriser l"expressionei+ei.

On considère (;;

6et on posea=etb=

Démon trerque

1 +eia+eib2= 1 + 4cosab2

En déduire que

1 +eia+eib>1.

Conclure que ei+ei+ei

Exercice 3

On considère le nombre réel suivant :

3q106p3:

Mon trerque xvérifie l"égalitéx3= 206x.

Corrigé du DS n

Exercice 1

So itn2N. Montrer que

IOn a :

E ndé duireque 8n2N; xn+1x

Initialisation: on ax0+1x

0= 1 +11

1=x+1x

2Zd"après l"hypothèse de

2ZcarPn+1est vraie

2Zd"après l"énoncé

2ZcarPn+1est vraie2Z:

8n2N; xn+1x

2.Montr erqu"il existe au moins un x2R?tel quex+1x

ISix2R?est tel quex+1x

9x2R?; x+1x

On peut aussi tout simplement remarquer que1 +11

Ou encorex=3+p5

2Z=)8n2N; xn+1x

2Z». Par conséquent, on obtient par déduction que

9x2R?;8n2N; xn+1x

5= 1, alorsz6= 0et on peut écrirezsous forme exponentiellez=reioùr=jzj>0et

1ei0= 1 =z5= (rei)5=r5ei5()1 =r5

05[2]()r= 1

1;cos25