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En partenariat avec l'association Sésamath http://www.sesamath.net et le site http://www.les-mathematiques.net Document en cours de relecture (fin des relectures, décembre2010) Alain Soyeur - François Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron16 septembre 2010
Table des matières1 Nombres complexes18
1.1 Le corpsCdes nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 18
1.1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.2 Construction deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.3 Propriétés des opérations surC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Parties réelle, imaginaire, Conjugaison . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Partie réelle, partie imaginaire d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Représentation géométrique des complexes . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Représentation d'Argand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Interprétation géométrique de quelques opérations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Module d'un nombre complexe, inégalités triangulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Nombres complexes de module1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1 GroupeUdes nombres complexes de module1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.2 Exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Argument, fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.1 Argument d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7 Racinesn-ièmes de l'unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 31
1.8 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.1 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9 Nombres complexes et géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 35
1.9.2 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 36
1.9.3 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 36
1.10 Transformations remarquables du plan . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.10.1 Translations, homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.10.2 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 37
1.10.3 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.11.1 Forme algébrique - Forme trigonométrique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.11.2 Polynômes, équations, racines de l'unité . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.11.3 Application à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.11.4 Application des nombres complexes à la géométrie . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.11.5 Transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2 Géométrie élémentaire du plan61
2.1 Quelques notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.1 Addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.2 Produit d'un vecteur et d'un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.3 Vecteurs colinéaires, unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.4 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 63
2.2 Modes de repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.1 Repères Cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2 Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 66
2Équation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 67
2.2.3 Repères polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 67
Equation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 69
2.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 69
2.3.2 Interprétation en terme de projection . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.4 Interprétation en termes de nombres complexes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 71
2.4.2 Interprétation en terme d'aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.3 Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.4 Interprétation en terme de nombres complexes . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.5 Applicationdudéterminant: résolutiond'unsystèmelinéairede Cramer dedeuxéquationsà deux
inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 73
2.5 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.1 Préambule : Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.2 Lignes de niveau deMu.AM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.3 Lignes de niveau deMdet
u,AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5.4 Représentation paramétrique d'une droite . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.5 Équation cartésienne d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.6 Droite définie par deux points distincts . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.7 Droite définie par un point et un vecteur normal . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.8 Distance d'un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.9 Équation normale d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5.10 Équation polaire d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.5.11 Intersection de deux droites, droites parallèles . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 80
2.6.2 Équation cartésienne d'un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6.3 Représentation paramétrique d'un cercle . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6.4 Équation polaire d'un cercle passant par l'origine d'un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.6.5 Caractérisation d'un cercle par l'équationMA.MB0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.6.6 Intersection d'un cercle et d'une droite . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.7.1 Produit scalaire et déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.7.2 Coordonnées cartésiennes dans le plan . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.7.3 Géométrie du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.7.4 Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 98
2.7.5 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.7.6 Lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 110
3 Géométrie élémentaire de l'espace112
3.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.1.1 Combinaisons linéaires de vecteurs, droites et plansdans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.1.2 Vecteurs coplanaires, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.1.3 Orientation de l'espace, base orthonormale directe .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.2 Mode de repérage dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 115
Calcul algébrique avec les coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 115
Norme d'un vecteur, distance entre deux points dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . 116
3.2.2 Coordonnées cylindriques et sphériques . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 118
3.3.2 Expression dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.4.1 Définition du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.4.2 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
33.4.3 Propriétés du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Interlude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 121
Quelques exemples d'applications linéaires fort utiles pour ce qui vient... . . . . . . . . . . . . . . 122
3.4.4 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5 Déterminant ou produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 123
3.5.2 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5.3 Propriétés du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.5.4 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.6 Plans dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.6.1 Représentation paramétrique des plans . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.6.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Interprétation géométrique de l'équation normale . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Position relative de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 128
3.6.3 Distance d'un point à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Deux méthodes de calcul de la distance d'un point à un plan . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.7 Droites dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.7.1 Représentation paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.7.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.7.3 Distance d'un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.7.4 Perpendiculaire commune à deux droites . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.8 Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 133
3.8.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 133
3.8.2 Sphères et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 134
3.8.3 Sphères et droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.9.1 Produits scalaire, vectoriel et mixte . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.9.2 Coordonnées cartésiennes dans l'espace . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.9.3 Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 146
4 Fonctions usuelles150
4.1 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.1.1 Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.1.2 Exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.1.3 Logarithme de base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.1.4 Exponentielle de basea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.1.5 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.1.6 Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2.1 Rappels succints sur les fonctions trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2.2 Fonction Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.2.3 Fonction Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.2.4 Fonction Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.3.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Sinus et Cosinus hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 165
Tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 167
4.3.2 Formulaire de trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.3.3 Fonctions hyperboliquesinverses . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Fonction argument sinus hyperboliqueargsh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Fonction Argument cosinus hyperboliqueargch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Fonction Argument tangente hyperboliqueargth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.4 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.5 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.6.1 Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.6.2 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.6.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
45 Equations différentielles linéaires197
5.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2 Deux caractérisations de la fonction exponentielle . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2.1 Caractérisation par une équation différentielle . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2.2 Caractérisation par une équation fonctionnelle . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.3 Équation différentielle linéaire du premier ordre . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 198
5.3.2 Résolution de l'équation différentielle homogène normalisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.3.3 Résolution de l'équation différentielle normaliséeavec second membre . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.3.4 Détermination de solutions particulières . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Superposition des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 202
Trois cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 202
Méthode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 204
5.3.5 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 205
5.3.6 Méthode d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 208
5.4 Équations différentielles linéaires du second ordre . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.4.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 208
5.4.2 Résolution de l'équation différentielle homogène dusecond ordre dansC. . . . . . . . . . . . . . 209
5.4.3 Résolution de l'équation différentielle homogène dusecond ordre dansR. . . . . . . . . . . . . . 211
5.4.4 Équation différentielle du second ordre avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.5.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.5.2 Équations différentielles linéaires du second ordreà coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . 220
5.5.3 Résolution par changement de fonction inconnue . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.5.4 Résolution d'équations différentielles par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.5.5 Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord
des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 224
5.5.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 226
6 Étude des courbes planes229
6.1 Fonctions à valeurs dansR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 229
6.1.2 Dérivation du produit scalaire et du déterminant . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.2 Arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 232
6.2.2 Étude locale d'un arc paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Étude d'un point stationnaire avec des outils de terminale .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Étude d'un point stationnaire avec les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Branches infinies des courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.2.3 Étude complète et tracé d'une courbe paramétrée . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.3 Etude d'une courbe polairef(). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 243
6.3.2 Etude d'une courbef(). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.3.3 La cardioïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 244
6.3.4 La strophoïde droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.4.1 Fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.4.2 Courbes en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.4.3 Courbes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 262
7 Coniques269
7.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.1.1 Définition monofocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.1.2 Équation cartésienne d'une conique . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.1.3 Équation polaire d'une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.2 Étude de la parabole :e1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.3 Étude de l'ellipse :0e1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.4 Étude de l'hyperbole :1e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
7.5 Définition bifocale de l'ellipse et de l'hyperbole . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7.6 Courbes algébriques dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 284
57.7.1 En général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 284
7.7.2 Paraboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 284
7.7.3 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 286
7.7.4 Hyperboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 289
7.7.5 Courbes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 292
8 Nombres entiers naturels, ensembles finis, dénombrements301
8.1 Ensemble des entiers naturels - Récurrence . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
8.1.1 Ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
8.1.2 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 302
8.1.3 Suite définie par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
8.1.4 Notationset. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
8.1.5 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.2 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 305
8.2.2 Propriétés des cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.2.3 Applications entre ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.3 Opérations sur les ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.4 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 308
8.4.1 Applications d'un ensemble fini dans un ensemble fini . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Nombre dep-listes d'un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 308
Nombre d'applications d'un ensemble fini dans un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Arrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 309
Combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 310
8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 314
8.5.1 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 314
8.5.2 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 319
8.5.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 321
8.5.4 Factoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 322
8.5.5 Coefficients binomiaux, calculs de somme . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
8.5.6 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 328
9 CorpsRdes nombres réels335
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
9.2 Le corps des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
9.3 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 337
9.4 Majorant, minorant, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
9.5 Droite numérique achevée
R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3399.6 Intervalles deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 340
9.7 Propriété d'Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.8 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
9.9 Densité deQdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
9.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 343
9.10.1 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 343
9.10.2 Borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 344
9.10.3 Rationnels, irrationnels, densité . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
9.10.4 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 349
10 Suites de nombres réels350
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