Correction : conjugué dun nombre complexe Exercice 1 Exercice 2
Correction : conjugué d'un nombre complexe www.bossetesmaths.com. Exercice 1. •?i = i ;. •2+ i = 2? i ;. •3?2i = 3+2i ;.
Nombres complexes
Exercice 15. Soit z un nombre complexe de module ? d'argument ?
Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1 : On donne 0
2. Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants ainsi que de leur conjugués. 1 = 1 + (1 +
Les nombres complexes - Lycée dAdultes
9 nov. 2014 Complexe conjugué. Exercice 7. Donner la forme algébrique du conjugué z des complexes suivants : z. 1) z = 3 ? 4i.
Terminale générale - Nombres complexes - Exercices
Exercice 3. Déterminer le conjugué du nombre complexe suivant et l'écrire sous forme algébrique : z. 1= 2+i. 1?2i. Exercice 4. Développer (3+2i)5.
Nombres complexes - Ecriture algébrique- conjugué
B=(5ix+ 7)(3ix+ 10) soit un nombre imaginaire pur (ce qui signifie que B a une écriture algébrique de la forme B=ib avec b nombre réel). EXERCICE 6. Écrire la
Effectuer des calculs algébriques avec les nombres complexes
Le conjugué du nombre complexe z = x + iy avec x et y réels
Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications
4 Applications géométriques des nombres complexes Module et argument de l'opposé et du conjugué . ... Exercices : 72 73
Nombres complexes
Nombres complexes. Table des matières. 1 Ensemble C forme algébrique
Forme trigonométrique dun nombre complexe. Applications Niveau
Exercice: Résoudre dans C les équations suivantes : 1. 2z+ i = 2-i. 2. 3z +1 -2i = 4 – 3i -2z. 2°) Conjugué d'un nombre complexe a) Définition.
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Correction : conjugué d'un nombre complexe www bossetesmaths com Exercice 1 •?i = i ; •2+ i = 2? i ; •3?2i = 3+2i ;
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Exercice 1 – 1) Qu'est ce que le conjugué d'un nombre complexe ? 2) Déterminer les nombres complexes z vérifiant : (1 + i)z - 1 + i = 0 3) Préciser le
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Exercice 15 Soit z un nombre complexe de module ? d'argument ? et soit z son conjugué Calculer (z+z)(z2 +z2) (zn + zn) en fonction de ? et ?
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Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants ainsi que de leur conjugués 1 = 1 + (1 + ?2); 2 = ?10 + 2?5 + (
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NOMBRES COMPLEXES - EXERCICES CORRIGES Exercice n°1 On donne 3 3 z i = + et 1 2 z i ?=? + Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants :
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corrigé disponible Déterminer le conjugué du nombre complexe suivant et l'écrire sous forme algébrique : z 1= 2+i 1?2i Exercice 4 corrigé disponible
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s'appelles des nombres complexes qui vérifie : 1) ? ? ? S'appelle le conjugué du nombre complexe Exercice 3: Résoudre dans ? les équations
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9 nov 2014 · Complexe conjugué Exercice 7 Donner la forme algébrique du conjugué z des complexes suivants : z 1) z = 3 ? 4i 2) z =
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NOMBRES COMPLEXES (FICHE 1) Les nombres complexes Fiche d'exercices Exercice 1 Soit = + z x iy avec x et y réels ; on note Z le nombre complexe :
Comment calculer le conjugué d'un complexe ?
Le module du conjugué d'un complexe est égal au module du complexe : ?z=z. Le module d'un produit est égal au produit des modules : z?z?=z?z?.Comment montrer que deux nombres complexes sont conjugués ?
Pour un nombre complexe = + , son conjugué, , est défini par = ? .Comment trouver le conjugué ?
A partir de la forme algébrique d'un nombre complexe z=a+ib z = a + i b , le conjugué se calcule ¯¯¯z=a?ib z ¯ = a ? i b . En d'autres mots, pour trouver le conjugué d'un nombre complexe , prendre ce même nombre complexe mais avec l'opposé (signe moins) de sa partie imaginaire (contenant i ).- Définition : Module d'un nombre complexe
Le module d'un nombre complexe = + est défini par = ? + . ? ? . Si est un nombre réel, son module est simplement sa valeur absolue.
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Pascal Lainé
1NOMBRES COMPLEXES
Exercice 1 :
Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de ߠAllez à : Correction exercice 1 :
Exercice 2 :
Mettre sous la forme ܾܽ݅ǡܽǡאܾAllez à : Correction exercice 2 :
Exercice 3 :
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivantsݖ଼, le nombre de module - గ
ݖଽ le nombre de module ͵ െగ
Allez à : Correction exercice 3 :
Exercice 4 :
1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants, ainsi que leur conjugués :
Pour ݖହ, factoriser par ݁
Pour ݖଵ, factoriser par ݁
2. Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leur conjugués.
Indication :
Ecrire ݖଵ sous la forme ߙ
3. Calculer
Pascal Lainé
2Allez à : Correction exercice 4 :
Exercice 5 :
Effectuer les calculs suivants :
2. Produit du nombre complexe de module - గ
ଷ par le nombre complexe de module ͵ et3. Quotient du nombre complexe de modulo - గ
ଷ par le nombre complexe de module ͵ etAllez à : Correction exercice 5 :
Exercice 6 :
Etablir les égalités suivantes :
1. 2. 3.Allez à : Correction exercice 6 :
Exercice 7 :
Soit1. Déterminer les modules de ݑ et ݒ.
2. Déterminer un argument de ݑ et un argument de ݒ.
3. En déduire le module et un argument pour chacune des racines cubiques de ݑ.
4. Déterminer le module et un argument de ௨
5. En déduire les valeurs de
Allez à : Correction exercice 7 :
Exercice 8 :
Calculer le module et un argument de
En déduire le module et un argument de ௨
Allez à : Correction exercice 8 :
Pascal Lainé
3Exercice 9 :
Effectuer les calculs suivants en utilisant la forme exponentielle.Allez à : Correction exercice 9 :
Exercice 10 :
Calculer les racines carrées des nombres suivants.Allez à : Correction exercice 10 :
Exercice 11 :
1. Calculer les racines carrées de ଵା
଼ቁ et ቀగ2. Calculer les racines carrées de ξଷା
Allez à : Correction exercice 11 :
Exercice 12 :
Résoudre dans ԧ les équations suivantes :11. ݖଷ͵ݖെ-݅ൌ-.
Allez à : Correction exercice 12 :
Exercice 13 :
Allez à : Correction exercice 13 :
Exercice 14 :
1. Montrer que cette équation admet une racine réelle.
2. Résoudre cette équation.
Pascal Lainé
4Allez à : Correction exercice 14 :
Exercice 15 :
1. Montrer que
Admet une ou plusieurs racines réelles.
Allez à : Correction exercice 15 :
Exercice 16 :
Résoudre dans ԧ
Allez à : Correction exercice 16 :
Exercice 17 :
Allez à : Correction exercice 17 :
Exercice 18 :
1. Résoudre ܺ
2. Résoudre ܼ
3. Résoudre
On rappelle que ξൌ-.
Allez à : Correction exercice 18 :
Exercice 19 :
Allez à : Correction exercice 19 :
Exercice 20 :
Allez à : Correction exercice 20 :
Exercice 21 :
2. En déduire le module et un argument de ݖ.
Pascal Lainé
53. En déduire ...ቀగ
Allez à : Correction exercice 21 :
Exercice 22 :
1. Donner les solutions de :
Sous forme algébrique et trigonométrique.
2. Donner les solutions de :
Sous forme algébrique.
Allez à : Correction exercice 22 :
Exercice 23 :
1. Résoudre
On donnera les solutions sous forme algébrique. 2.Trouver les solutions de
On donnera les solutions (et sous forme algébrique en bonus).Allez à : Correction exercice 23 :
Exercice 24 :
1. Donner les solutions complexes de ܺ
2. Résoudre ܺ
3. Résoudre ܺ
Allez à : Correction exercice 24 :
Exercice 25 :
Ecrire sous forme algébrique et trigonométrique le nombre complexeAllez à : Correction exercice 25 :
Exercice 26 :
1. Déterminer le module et un argument de ଵା
ଵି, calculer ቀଵା3. Calculer les puissances ݊-ième des nombres complexes.
Allez à : Correction exercice 26 :
Exercice 27 :
݊ pour que ൫ξ͵݅൯ soit réel ? Imaginaire ?Allez à : Correction exercice 27 :
Pascal Lainé
6Exercice 28 :
Soit ݖ un nombre complexe de module ߠ ߩ
Allez à : Correction exercice 28 :
Exercice 29 :
1. Pour quelles valeurs de ݖא
2. On considère dans ԧ
Montrer, sans les calculer, que les solutions sont réelles. Trouver alors les solutions.3. Calculer les racines cubiques de ξଷା
Allez à : Correction exercice 29 :
Exercice 30 :
Résoudre dans ԧ
Allez à : Correction exercice 30 :
Exercice 31 :
Résoudre dans ԧ
Allez à : Correction exercice 31 :
Exercice 32 :
2. Résoudre
On explicitera les solutions sous forme algébrique.Allez à : Correction exercice 32 :
Exercice 33 :
Résoudre dans ԧ
On donnera les solutions sous forme algébrique.Allez à : Correction exercice 33 :
Exercice 34 :
On appelle ݆ൌെଵ
1. Résoudre dans ԧܺ
Pascal Lainé
75. Calculer ଵ
6. Calculer ݆ pour tout ݊א
Allez à : Correction exercice 34 :
Exercice 35 :
Résoudre dans ԧ
ces solutions a une puissance quatrième réelle.Allez à : Correction exercice 35 :
Exercice 36 :
1. Donner les solutions complexes de ܺ
2. Résoudre ܺ
3. Résoudre ܺ
Allez à : Correction exercice 36 :
Exercice 37 :
Trouver les racines cubiques de ͳͳ-݅.Allez à : Correction exercice 37 :
Exercice 38 :
Calculer
Algébriquement, puis trigonométriquement. En déduire ...ቀగAllez à : Correction exercice 38 :
Exercice 39 :
Trouver les racines quatrième de ͺͳ et de െͺͳ.Allez à : Correction exercice 39 :
Exercice 40 :
Soit ݊-, un entier.
1. b. Déterminer les complexes qui vérifient ݖൌെͳ.2. Calculer la somme des complexes qui vérifient ݖൌെͳ.
Allez à : Correction exercice 40 :
Exercice 41 :
Soit ݖ une racine n-ième de െͳ, donc ݖൌെͳ. Avec ݊- et ݖ്െͳ
Calculer
Pascal Lainé
8Allez à : Correction exercice 41 :
Exercice 42 :
2. Donner, sous forme polaire (forme trigonométrique) les solutions dans ԧ de :
Indication : poser ܼ
Allez à : Correction exercice 42 :
Exercice 43 :
Allez à : Correction exercice 43 :
Exercice 44 :
Résoudre les équations suivantes :
Allez à : Correction exercice 44 :
Exercice 45 :
Résoudre dans ԧ :
1. ݖହൌͳ
2. ݖହൌͳെ݅
3. ݖଷൌ-െ-݅
4. ݖହൌݖ
Allez à : Correction exercice 45 :
Exercice 46 :
1. Calculer les racines ݊-ième de െ݅ et de ͳ݅.
Allez à : Correction exercice 46 :
Exercice 47 :
1. Montrer que, pour tout ݊אԳכ et pour tout nombre ݖא
Et en déduire que si ݖ്ͳ, on a :
2. Vérifier que pour tout ݔא
3. Soit ݊אԳכ. Calculer pour tout ݔא
Et en déduire les valeurs de
Pascal Lainé
9Allez à : Correction exercice 47 :
Exercice 48 :
Indication : On calculera de deux façon différente la dérivée de la fonction ݂ définie par
On donnera le résultat sous forme algébrique.Allez à : Correction exercice 48 :
Exercice 49 :
Soit ߳ une racine ݊-, ߳
Allez à : Correction exercice 49 :
Exercice 50 :
Allez à : Correction exercice 50 :
Exercice 51 :
Résoudre dans ԧݖൌݖ où ݊ͳ.Allez à : Correction exercice 51 :
Exercice 52 :
Allez à : Correction exercice 52 :
Exercice 53 :
Linéariser :
Allez à : Correction exercice 53 :
Exercice 54 :
1. Déteݖ tels que ଵି௭
ଵି௭ soit réel.2. ݖ tels que ଵି௭
ଵି௭ soit imaginaire pur.Allez à : Correction exercice 54 :
Exercice 55 :
Soit אߩԹାכ et אߠԹ, avec ߩ SoitPascal Lainé
10 Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de ݖ.Allez à : Correction exercice 55 :
Exercice 56 :
Allez à : Correction exercice 56 :
Exercice 57 :
Allez à : Exercice 57 :
Exercice 58 :
1.2. Montrer que pour tout ݖܧא
3.Que peut-on en déduire sur ݂.
4. Soit ݖܧא
5. Notons ࣯ ͳ
Allez à : Correction exercice 58 :
CORRECTIONS
Correction exercice 1 :
Pascal Lainé
11Par suite
Allez à : Exercice 1 :
Correction exercice 2 :
Autre méthode
Autre méthode
Or DoncAutre méthode
Pascal Lainé
12Ou encore
idée.Autre méthode
Autre méthode
Allez à : Exercice 2 :
Correction exercice 3 :
Pascal Lainé
13A moins de connaitre ...ቀగ
଼ቁ et ቀగ ଼ቁ on ne peut pas faire mieux.Allez à : Exercice 3 :
Correction exercice 4 :
Si on ne met pas ͵ en facteur
On appelle ߠ
Donc ߠ
Autre méthode (meilleure), on met le module en facteurDonc ߠ
Autre méthode (meilleure), on met le module en facteurPour ݖଷ onne méthode.
െͳൌ݁గ, donc ݖଷൌସ On aurait pu directement écrire que െ݅ൌ݁Et ݖଷൌସ
Pour ݖସ
Pascal Lainé
14 Et ݖସൌ݁ିగൌ݁గ module.Donc ߠ
Autre méthode (meilleure), on met le module en facteurDonc ߠ
Autre méthode (meilleure), on met le module en facteurDonc ߠ
Autre méthode (meilleure), on met le module en facteurPremière méthode
Deuxième méthode
Pascal Lainé
15 module. 2.Soit ߠ
Il faut être malin.
଼ቁ- donc ߠRemarque :
Le module de ݖଵ est aussi -ξ-...ቀగSoit ߠ
Pascal Lainé
16Ensuite il faut trouver les solutions de ܼ
Parmi ces cinq complexes, le seul qui a une partie réelle positive et une partie imaginaire
Pascal Lainé
17 Le module de ݖଷ est ͳ et un argument est ߨെ-߮Autre méthode
Un argument de ݖଷ est െߨെ-߮Allez à : Exercice 4 :
Correction exercice 5 :
2. 3.Allez à : Exercice 5 :
Correction exercice 6 :
1. 2.Pascal Lainé
18Allez à : Exercice 6 :
Correction exercice 7 :
2.Donc un argument de ݑ est గ
3. On cherche les solutions complexes de ݖଷൌݑ
ݑ admet trois racines cubiques
4. EtPar conséquent
Allez à : Exercice 7 :
Pascal Lainé
19Correction exercice 8 :
Donc ȁݑȁൌξ- et un argument de ݑ est െగ Donc ȁݒȁൌξ- et un argument de ݒ est െగ ௩ est గAllez à : Exercice 8 :
Correction exercice 9 :
Autre méthode
Là on est mal parti, il va falloir trouver le module, puis le mettre en facteur,Pascal Lainé
20Mais on ne
Allez à : Exercice 9 :
Correction exercice 10 :
଼ቁ et de ቀగAutre méthode, on cherche ܽǡאܾ
En faisant la somme de ܮଵ et de ܮ
En faisant la différence de ܮଷ et de ܮ ଼ቁ et de ቀହగAutre méthode, on cherche ܽǡאܾ
En faisant la somme de ܮଵ et de ܮ
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