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Vestiges d"une terminale S - Conjugué d"un nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com)

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Avertissement préalable Dans ce qui suit, les nombres a et b du complexe z a .b= + i sont deux réels. Ce sont ses parties réelle et imaginaire. Définition du conjugué d"un nombre complexe Définition : le conjugué du nombre complexe z a .b= + i est le complexe z a .b= - i Déterminons quelques conjugués de nombres complexes ? 3 3- + = - - i i

3 2. 3 2. 3 2. 3 2.- - = - + - = - - - = - +

i i i i

5 5 0. 5 0. 5= + = - =

i i ?

0 1. 0 1.= + = - = -i i i i

Propriété : le conjugué du conjugué d"un nombre complexe est le nombre lui-même. z z=

En effet, nous avons :

z a .b a .b a .b a .b a .b z= + = - = + - = - - = + = i i i i i

Un nombre complexe, son conjugué, ses parties réelle et imaginaire Propriété : les parties réelle et imaginaire d"un nombre complexe z sont égales à :

z z Re z 2+ z z Im z 2.- i

Pour tout nombre complexe

z a .b= + i , nous pouvons écrire : z z a .b a .b a .b a .b 2.a 2.Re z+ = + + - = + + - = =i i i i z z a .b a .b a .b a .b 2. .b 2. .Im z- = + - - = + - + = =i i i i i i

Corollaire : les seuls complexes qui sont leurs propres conjugués sont les nombres réels. En effet :

Les seuls complexes dont la partie imaginaire est nulle sont les nombres réels z z z z z z 0 0 Im z 0 z est un réel

2.-= ? - = ? = ? = ?i

Module d"une nombre complexe Définition : le module du nombre complexe z a .b= + i est le réel positif ou nul noté z et défini par : 2 2 z a b= +

Calculons quelques modules de nombres complexes :

2 2

0 0 0 0 0 0= + × = + =

i Le seul nombre complexe ayant un module nul est celui de 0 22

3 3 0 3 0 9 3- = - + × = - + = =

i Le module d"un nombre réel est égal à sa valeur absolue. 2 2

0 1 0 1 1 1= + × = + = =i i

22

3 4. 3 4 9 16 25 5- = + - = + = =

i

Un nombre complexe, son conjugué et son module Propriété : le produit d"un complexe et de son conjugué est égal au carré du module.

2 2 2

Cette formule est à retenir

z z z a .b a .b a b× = ? + × - = + i i

En effet, pour tout nombre complexe

z a .b= + i , nous pouvons écrire : 2

22 2 2 2 2 2 2 2

z z a .b a .b a .b a .b a 1 .b a b z× = + × - = - = - = - - = + =i i i i

Conjugué d"une somme Propriété : le conjugué d"une somme est égal à la somme des conjugués.

z z" z z"+ = +

En effet, pour tous nombres complexes

z a .b= + i et z" c .d= + i , nous pouvons écrire : ? D"une part : z z" a .b c .d a .b c .d a c . b d+ = + + + = - + - = + - + i i i i i ? De l"autre : z z" a c . b d a c . b d+ = + + + = + - + i i

D"où l"égalité

z z" z z"+ = + Vestiges d"une terminale S - Conjugué d"un nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com)

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Conjugué d"un opposé et conjugué d"une différence Propriété : le conjugué d"un opposé est égal à l"opposé du conjugué. Le conjugué d"une différence est égal à la différence des conjugués.

z z- = - z z" z z"- = -

En effet, l"opposé du nombre complexe

z a .b= + i est le complexe z a .b- = - - i

Par conséquent :

z a .b a .b a .b a .b z- = - - = - - - = - - = - + = - i i i i

Donc le conjugué de l"opposé est l"opposé du conjugué. Pour ce qui est du conjugué de la différence, il vient alors :

Conjugué d"une somme...Conjugué de l"opposé z z" z z" z z" z z" z z"- = + - = + - = + - = -

Conjugué d"un produit et conjugué d"une puissance Propriété : le conjugué d"un produit est égal au produit des conjugués. Le conjugué de la puissance est égal à la puissance du conjugué.

z z" z z"× = × ()n nz z

En effet, pour tous nombres complexes

z a .b= + i et z" c .d= + i , nous pouvons écrire : ? D"une part : 2 z z" a .b c .d a .b c .d a.c .a.d .bc .b.d a.c . a.d b.c 1 .b.da.c b.d . a.d b.c× = + × + = - × - = - - +i i i i i i i i i ? De l"autre, comme z z" a .b c .d (a.c b.d) . a.d b.c× = + × + = - + +i i i alors : z z" (ac bd) . ad bc (ac bd) . ad bc× = - + + = - - +i i

D"ou l"égalité

z z" z z"× = × Pour la puissance, il vient alors que pour tout n?? : ()n n n facteurs n facteurs toujours. Le produit des conjugués... ...est le produit des conjuguész z z z z z z z

Conjugué d"un inverse et conjugué d"un quotient Propriété : le conjugué de l"inverse est égal à l"inverse du conjugué. Le conjugué d"un quotient est égal au quotient des conjugués.

1 1z z z zz" z"

En effet, pour tout nombre complexe non nul

z a .b= + i , nous pouvons écrire : ? D"une part comme

2 2 2 2 2 2

On multiplie a .b

par sa quantité conjugué a .b

1 a .b1 1 a .b a b.z a .b a .b a .b

a b a b a b i ii alors le conjugué de

1z est le complexe

2 2 2 2a b.

a b a b ++ +i. ? De l"autre, le conjugué du complexe z a .b= + i est le complexe z a .b= - i . Donc :

2 2 2 2 2 2

On multiplie a .b

par sa quantité conjugué a .b1 a .b

1 1 a .b a b.a .b a .b a .bz

a b a b a b i iiiii i i

D"où l"égalité

1 1z z Pour le quotient, il vient alors que pour tous nombres complexes z et z", on a : z 1 1 1 z z z zz" z" z" z" z"quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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