[PDF] Nombres Complexes NOMBRES COMPLEXES. 1.1.1.

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Chapitre 1

Nombres Complexes

1.1 Le CorpsCdes complexes

1.1.1 Ecriture algébrique et correspondance Géométrique

1.1.1.1 La construction algébrique deCet correspondance géométrique

Il y a plusieurs façons équivalentes de voir les nombres complexes :

Une première façon consiste à les voir comme les points (ou vecteurs) du planR2euclidien. Ainsi le point

M2R2(ou de façon équivalente le vecteur¡¡!OM) est repéré par ses coordonnées(x;y)dans le repère (ou

base) canonique. Notons(a;b)les éléments de ce nouvel ensemble notéC.

Définition 1.1.1

Par la suite tout pointM(resp. tout vecteur¡¡!OM) deR2sera dit d"affixez2C si et seulement si

M(a;b)()z= (a;b)³

resp:¡¡!OM(a;b)()z= (a;b)´

On noteM(z)(resp.¡¡!OM(z)).Ä

On définit alors surCdeux lois de composition interne1:

La Loi additive(x;y) + (x0;y0) = (x+x0; y+y0)

La Loi multiplicative(x;y)£(x0;y0) = (xx0¡yy0; xy0+x0y). Muni de cette nouvelle structure algébrique(C;+;£)vérifie les propriétés suivantes : o)

Cest non vide :(0;0)2C

i) la loi+est associative :8u;v;w2C;u+ (v+w) = (u+v) +w ii) la loi+admet un élément neutre : :8z2C;z+0=0+z=zavec0:= (0;0) iii)

Tout élément deCadmet unsymétriquepour la loi+:¡8a2C;9z02C; z+z0=z0+z=0¢. il suffit de prendrez0= (¡x;¡y)lorsquez= (x;y). On notez0=¡z

iv) la loi+est commutative :8u;v2C;u+v=v+u v) la loi£est associative vi) la loi£admet un élément neutre :il s"agit de1:= (1;0) vii)

Tout élémentnon nul

deCadmet unsymétriquepour la loi£: le symétrique de(x;y)est(x;y)¡1= (x x

2+y2;¡y

x

2+y2)on le note aussi1

z viii) la loi£est distributive sur la loi+:

8u;v;w2C;u£(v+w) = (u£v) + (u£w)et(v+w)£u= (v£u) + (w£u)

1

un loi de composition interne combine deux éléments d"un ensemble pour obtenir un élément du même ensemble

1

2CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES

ix) la loi£est commutative

Définition 1.1.2

On résume les propriétéso)àiii)en disant que(C;+)est ungroupe.

On résume les propriétéso)àiv)en disant que(C;+)est ungroupe abélien(ou encorecommutatif).

On résume les propriétéso)àviii)en disant que(C;+;£)est uncorps. On résume les propriétéso)àix)en disant que(C;+;£)est uncorps commutatif. Exemple:(R;+;£)est un corps commutatif et a fortiori(R;+)est un groupe abélien. De même(Q;+;£)est un corps commutatif et(Z;+)est un groupe abélien. Mais(Z;+;£)n"est pas un corps et(N;+)n"est pas un groupe.

1.1.1.2 Identification deR

A ne pas lire en première lecture :

CommeR2est unR-espace vectoriel2,Clui aussi hérite de la même structure. On peut donc définir un produit extérieur deRsurC:

8¸2R8(x;y)2C; ¸¢(x; y) := (¸x; ¸y) = (¸;0)£(x; y)

Il s"agit là de la multiplication classique d"un vecteur par un réel.

Remarque 1.1.1

Puisque pour touta;b;¸2Ron a

(a;0) +C(b;0) = (a+Rb;0)et¸¢C(a;0) = (¸¢Ra;0) en identifiantRàR¢1=f¸¢1;¸2Rg, on peut affirmer que

Rest un sous-espace vectoriel réel deC.

Ceci implique que lors des manipulations et considérations vectorielles (loi de composition externe, addition de deux vec-

teurs) on peut manipuler les les réels comme des complexes particuliers : Pour tout¸2Ret toutz2C,¸¢z= (¸¢1)£z. On écrira donc la multiplication interne et externe de la même façon que dansR. On identifiera par la suiteRetR¢1=f¸¢1;¸2Rg. En conséquence on a bienR½Cet l"on peut écrire sans ambiguïté¸=¸¢1.

Comme le plan est une extension géométrique du plan, on dira queRest un sous-espace vectoriel réel deC

Puisque

8(a;b)2R2;(a;0) +C(b;0) = (a+Rb;0)et(a;0)£C(b;0) = (a£Rb;0)

On voit que l"ensembles des nombres complexes qui s"écrivent sous la forme(a;0), avecaun réel, se

comporte du point de vue ensembliste et algébrique de façon parfaitement équivalente à l"ensemble des

réels.

En effet :

²du point de vu ensembliste on peut mettre en correspondance de façon bi-univoque les complexes de la

forme(a;0)avec les réels (Ce qui en langage mathématique signifie que':a7!(a;0)est bijective deRsurf(a;0);a2Rg)

²Du point de vu algébrique, les identités ci-dessus nous montrent que l"addition et la multiplication de

réels ou de complexes de la forme(a;0)est parfaitement compatible. (En langage mathématique on dit que'est un morphisme de corps.) Les structures de corps entre(R;+R;£R)et de cette partie de(C;+C;£C)sont alors compatibles moyennant l"identification

On peut donc écrire sans ambiguïtéa+boua£bsans préciser l"origine complexe ou réelle des lois.

Ceci implique que lors des manipulations et considérations algébriques (lois+et£) on peut manipuler

les les réels comme des complexes particuliers :R½Cet compatibilité des lois algébriques.

On dit queRest un sous-corps. Mais remarquons que contrairement àR, nous n"avons pas de relation d"ordre induite surC. 2 Notion qui sera précisée au Chapitre Espaces Vectoriels 2

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1.1. LE CORPSCDES COMPLEXES3

1.1.1.3 L"Ecriture algébrique

Notonsile complexe(0;1). Et remarquons quei2=¡1.

Proposition 1.1.1

Tout nombre complexez2Cs"écrit de façon unique : z=a+biaveca;b2R Cette écriture est l"écriture cartésienne dez:= (a;b). aest lapartie réelledezetbest sapartie imaginaire, on note : a=<(z)etb==(z)

Preuve

Existence :Soitz= (a;b)(voir note ci-dessous3)

z= (a;b),z= (a;0) + (0;b),z= (a;0) +b£(0;1),(a;0) + (b;0)£i,z=a+bi

Unicité :Supposons par l"absurde qu"un même nombre complexe admet deux écriture algébriques dis-

tinctesa+bieta0+b0ile vecteur représentant ce complexes a pour coordonnées(a;b)mais aussi(a0;b0)

et donca=a0etb=b0... absurde²

Remarque:Tout complexe s"écrit de façon unique comme la somme d"un réel et d"un imaginaire pur

(nombre de la formeibavecb2R). On noteiRl"ensembles des imaginaires purs (attention0est à la fois imaginaire pur et réel). l"unicité de cette décomposition se traduit par

Proposition 1.1.2

Pour toutz1;z2complexes et¸réel, on a :

Re(¸z1) =¸Re(z1)Re(z1+z2) =Re(z1) +Re(z2)

Im(¸z1) =¸Im(z1)Im(z1+z2) =Im(z1) +Im(z2)

On dit que Re et Im sont deux applicationsR-linéaires deCdansR.| DémonstrationPosonsz1=a1+ib1etz2=a2+ib2(aveca1;a2;b1;b2réels). On a z

1+z2= (a1+ib1) + (a2+ib2)

=a1+ib1+a2+ib2associativité =a1+a2+ib1+ib2commutativité =a1+a2+i(b1+b2)distributivité = (a1+a2) +i(b1+b2)associativité Ora1+a22Retb1+b22R, d"oùRe(z1+z2) =Re(z1) +Re(z2)etIm(z1+z2) =Im(z1) +Im(z2)

De même

¸z

1=¸(a1+ib1)

=¸a1+¸ib1distributivité =¸a1+i¸b1commutativité Or¸a12Ret¸b12R, d"oùRe(¸z1) =¸Re(z1)etIm(¸z1) =¸Im(z1)² 3

Convention :A,B,Csignifie(A,B)et(B,C)

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3

4CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES

1.1.1.4 Complexe conjugué et Module

Définition 1.1.3

SoitM2R2un point d"affixez=a+bi. Alors le pointM0, symétrique deMpar

rapport à l"axe des abscisses, a pour affixe¹z=a¡bi.¹zs"appelle le complexe conjugué dezÄ

On a alors de façon immédiate :

Proposition 1.1.3

Soientz;z1etz2trois complexes quelconques :

<(z) =z+ ¹z 2 =(z) =z¡¹z 2i la conjugaison est unmorphisme de corps involutif:

¹z=z;

z 1+z2= z 1+ z 2et z 1z2= z 1£ z 2

En particulier pourz26= 0

z1 z z 1 z 2 DémonstrationPosonsz=a+ib; z1=a1+ib1etz2=a2+ib2(aveca;a1;a2;b;b1b2réels). On a z+ ¹z= (a+ib) + (a¡ib) =a+ib+a¡ib=a+a+ib¡ib= 2a+ 0 = 2a

On a appliqué successivement l"associativité, la commutativité et la définition du symétrique par rapport

à la loi+.

Par un calcul similaire on trouve

z¡¹z= (a+ib)¡(a¡ib) =a+ib¡a+ib=a¡a+ib+ib= 0 + 2ib= 2ib

D"où les deux premières égalités.

¹z=a¡ib=a+i£(¡b)d"où¹¹z=a¡i£(¡b) =a+ib=z. D"où le caractère involutif de la conjugaison. z 1+z2= (a1+a2) +i(b1+b2)(voir calcul de la preuve précédente) = (a1+a2)¡i(b1+b2) =a1+a2¡ib1¡ib2associativité et distributivité =a1¡ib1+a2¡ib2commutativité = (a1¡ib1) + (a2¡ib2)associativité = ¹z1+ ¹z2

D"où le caractère additif de la conjugaison

z 1z2= (a1+ib1)£(a2+ib2) (a1a2¡b1b2) +i(a1b2+a2b1)Définition de la loi£ = (a1a2¡b1b2)¡i(a1b2+a2b1) = (a1a2¡b1b2) +i(¡a1b2¡a2b1)distributivité = [a1a2¡(¡b1)(¡b2)] +i[a1(¡b2) +a2(¡b1)] = (a1¡ib1)£(a2¡ib2)Définition de la loi£ (a1+ib1)£ (a2+ib2) = ¹z1£¹z2 D"où le caractère multiplicatif de la conjugaison. En corollaire immédiat à ce résultat on obtient lorsquez26= 0 1 = 1 z

2£1

z

2Définition de l"inverse

z 2£ 1 z 2´ la conjugaison est multiplicative 4

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1.1. LE CORPSCDES COMPLEXES5

D"où par définition de l"inverse

1 z =1 z 2

Multiplions cette dernière égalité par

z

1, on obtient

z 1£ 1 z z

1£1

z 2 z 1£ 1 z z

1£µ1

z z1 z z1 z z 1 z 2 Remarque:On a de façon immédiate, pour tout complexez z2R()z=Re(z)()Im(z) = 0()z= ¹z z2iR()z=iIm(z)()Re(z) = 0()z=¡¹z Remarque:Pour toutz=a+ib,z¹z=a2+b2est une quantité réelle positive. on a alors la définition suivante :

Définition 1.1.4

A tout nombre complexez2C, on associe un nombre réel positif notéjzjqu"on appelle module dezet qui vaut : jzj:=p z¹z Comme on le verra plus tard c"est une distance,jzjest la distance euclidienne du pointM(z)au pointO. Remarque:lorsquez2R, le module dezcoïncide avec la valeur absolue dez. D"où la notation.

Proposition 1.1.4

Pourz=a+ibaveca;bréels etz1;z2deux complexes quelconques, on a : jzj=p a

2+b2et1

z =¹z jzj2(Siz6= 0) j ¡zj=j¹zj=jzj Re(z)· jRe(z)j · jzjetIm(z)· jIm(z)j · jzj jz1z2j=jz1j £ jz2jet¯¯¯¯z 1 z 2¯

¯¯¯=jz1j

jz2j(Siz26= 0) z= 0, jzj= 0 Démonstrationles deux premières égalités sont triviales. j¹zj2= ¹z¹¹z= ¹zz=z¹z=jzj2etj ¡zj2= (¡z)£ (¡z) = (¡z)£(¡ z) =z¹z=jzj2

or la fonction carrée est injective surR+etj¹zj;j ¡zjetjzjsont des réels positifs. D"oùj ¡zj=j¹zj=jzj

Puisqu"un réel est toujours inférieur ou égal à sa valeur absolue on aRe(z)· jRe(z)j.

Puisqueb2¸0on en déduita2+b2¸a2. D"où en invoquant la croissance de la fonction racine carrée

surR+, on en déduit :p a

2+b2¸p

a 2orp a 2=jaj

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6CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES

D"oùjRe(z)j · jzj.

Les inégalités portant sur la partie imaginaire se démontrent de façon analogue. jz1z2j2=z1z2 z

1z2=z1z2

z 1£ z 2=z1 z 1z2 z

2=jz1j2jz2j2= (jz1j £ jz2j)2

D"où le caractère multiplicatif du module.

Du caractère multiplicatif du module et en partant de l"égalitéj1j= 1on en déduit comme pour la

conjugaison que¯¯¯z1 z

2¯¯¯=jz1j

jz2j Enfin jzj= 0() jzj2= 0()a2+b2= 0 Or une somme de termes positifs est nulle si et seulement si chaque terme est nul (voir Lemme ci- dessous). d"où jzj= 0()(a2= 0etb2= 0)()(a= 0etb= 0)()z= 0 Dans la démonstration ci-dessus on s"est servi du lemme suivant

Lemme 1.1.5

Soit(xi)i2Iune famille finie de réels positifs ou nuls (8i2I; xi¸0). X i2Ix i= 0 =) 8i2I;xi= 0

PreuveIl suffit prouver sa contraposée :

(9i2I;xi>0) =)X i2Ix i>0 Supposons donc avoir un indicei02Ipour lequelxi0>0. En ajoutant de part et d"autre de cette inégalité la quantitéX i6=i0x ion obtient X i2Ix i>X i6=i0x i

Or par hypothèse on a

X i6=i0x i¸0(car somme de quantités positives ou nulles). Donc X i2Ix iétant strictement supérieur à une quantité positive ou nulle on a bien X i2Ix i>0 Exercice:On noteUdef=fz2C;jzj= 1g. Montrer que(U;£)est un groupe abélien. indication :Vérifier que la loi multiplicative est bien une loi de compositioninternepourU:

8(z1;z2)2U2; z1£z22U

Exercice:Montrer que pourz2Cquelconque

jRe(z)j=jzj ()z2R

Re(z) =jzj ()z2R+

6

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1.1. LE CORPSCDES COMPLEXES7

Théorème 1.1.6 (inégalité Triangulaire)

Soientz1;z2deux complexes quelconques

jz1+z2j · jz1j+jz2j avec égalité si et seulement si

9®2R+; (z1=®z2ouz2=®z1)

Démonstration

jz1+z2j2= (z1+z2) (z1+z2) = (z1+z2)( z 1+ z

2) =z1

z 1+z1 z 2+z2 z 1+z2 z 2 Orz2 z 1= z 2z1= z 1 z

2. D"où

z

2)+jz2j2· jz1j2+2jz1

z

2j+jz2j2=jz1j2+2jz1j£jz2j+jz2j2= (jz1j+jz2j)2

carRe(z1 z

2)·z1

z 2.

On en déduit donc l"inégalité triangulaire, grâce à la croissance de la fonction racine carrée surR+.

égales ainsi que toutes les expressions intermédiaires en particulier : Re(z1 z

2) =jz1

z 2j

Ce qui équivaut àz1

z

2=¯avec¯2R+.

1er Cas:z2= 0, alors on a bienz2=®z1en prenant®= 0

2ème Cas:z26= 0, alors on a bienz1=®z2en prenant®=¯

jz2j2 Dans tous les cas on a trouvé un réel positif®tel que : z

1=®z2ouz2=®z1

Remarque 1.1.2

Corollaire 1.1.7 (Deuxième inégalité triangulaire)

Soientz1;z2deux complexes quelconques

¯¯¯jz1j ¡ jz2j¯¯¯· jz1¡z2j

PreuveSoientz1etz2deux complexes quelconques.

Appliquons la "première" inégalité triangulaire au couple de complexes(z1¡z2;z2): j(z1¡z2) +z2j · jz1¡z2j+jz2jD"oùjz1j ¡ jz2j · jz2¡z1j ceci prouve que : Appliquons cette dernière inégalité au couple(z2;z1), on trouve : jz2j ¡ jz1j · jz2¡z1j

Orjz2¡z1j=jz1¡z2j, d"où

jz2j ¡ jz1j · jz1¡z2jetjz1j ¡ jz2j · jz1¡z2j

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8CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES

Remarque 1.1.3

Dans la pratique on utilise l"une des deux inégalités (la plus pertinente) : jz2j ¡ jz1j · jz1¡z2j jz1j ¡ jz2j · jz1¡z2j

Et on retient de façon synthétique que :

¯¯¯jz1j ¡ jz2j¯¯¯· jz1§z2j · jz1j+jz2j Remarque:On peut généraliser ceci à toute famille finie de complexes(zi)i2I:

¯¯¯¯¯X

i2Iz i¯

¯¯¯¯·X

i2Ijzij

1.1.2 Exponentielle Complexe et Ecriture Trigonométrique

1.1.2.1 A propos de l"exponentielle complexe

On considère connues les propriétés des fonctions trigonométriques enseignées au Lycée. Posons :

8µ2R; eiµdef= cos(µ) +isin(µ)

Proposition 1.1.8

Quels que soient les réelsµetÁon a :

jeiµj= 1ei(µ+Á)=eiµeiÁ¡eiµ¢¡1=e¡iµ= e iµ DémonstrationSoientµetÁdeux réels quelconques jeiµj=q cos

2(µ) + sin2(µ) = 1

e

i(µ+Á)=cos(µ+Á) +isin(µ+Á) = [cos(µ)cos(Á)¡sin(µ)sin(Á)] +i[cos(µ)sin(Á) + sin(µ)cos(Á)]

quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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