[PDF] [PDF] Rappel : relation déquivalence • Nouveaux nombres : Q et Z /mZ • C

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Aujourd"hui nous allons discuter :

•Rappel : relation d"équivalence •Nouveaux "nombres" :QetZ/mZ. •Calculer avecQetZ/mZ.MAT15001 of 40

Relations d"équivalences

Rappel. SoitUun ensemble avec une relationa≂bentre deux

élements deU.

Alors≂est une relation d"équivalence si pour chaquea,b,cdans

Uon aurait :

(i)a≂a; (ii)(a≂b)→(b≂a); (iii)((a≂b)?(b≂c))→(a≂c).MAT15002 of 40 Soit≂une relation d"équivalence surU. Eta?U.

C?(a):= {u?U|c≂u}.

Considère C?(a)?P(U).

L" ensemble des class esd"équivalence différentes :

U/≂:={C?(a)|a?U} ?P(U).

Et la fonction classification :

C?:U→U/≂.

Qui est surjective.

On a divisé Uen classes.MAT15003 of 40

On a C?(a) =C?(b)si et seulement sia≂b.

Les classes forment une

pa rtition de U: les classes sont non-vides, l"union des classes estU, et l"intersection de deux classes diférentes est vide.

MAT15004 of 40

m Pour chaque entierm>0, la relation≡mest une relation d"équivalence surZ.

La classe dens"écrit commeC ?m(n). On a

C?m(n) =C?m(n+3·m) =C?(n-1234·m)

Il y a exactementmclasses d"équivalence différentes. L"ensemble des classes d"équivalence s"écrit comme

Z/mZ:=Z/≡m

={C?m(0),C?m(1),C?m(2),...,C?m(m-1)}MAT15005 of 40

Ondéfinit :

C?m(n1) +C?m(n2) :=C?m(n1+n2);

C?m(n1)·C?m(n2) :=C?m(n1·n2).

Est-ce que ça fait du sens?

Ils se comportent comme des "nombres".

MAT15006 of 40

Autre exemple : Les fractions.

SoitU:={(n,d)?Z×Z|d?=0}.

Posons

(n,d)≂(n?,d?)si et seulement sind?=n?d. C"est une relation d"équivalence surU:MAT15007 of 40

Démonstration.

Soient(n1,d1),(n2,d2)et(n3,d3)trois éléments deU. C.-à-d.,n1,n2,n3trois entiers, etd1,d2,d3trois non-zéro entiers.

Il faut vérifier trois choses.

(i)(n1,d1)≂(n1,d1); c"est le cas parce qued1n1=d1n1.(ii) si(n1,d1)≂(n2,d2)alors(n2,d2)≂(n1,d1); c"est le cas car

n

1d2=n2d1implique quen2d1=n1d2.MAT15008 of 40

(Suite). (iii) Supposons(n1,d1)≂(n2,d2)et(n2,d2)≂(n3,d3). (Il faut montrer(n1,d1)≂(n3,d3).) Par cette hypothèse :n1d2=n2d1etn2d3=n3d2. Alors aussi n

1d2d3=n2d1d3etn2d3d1=n3d2d1etn1d2d3=n3d2d1. Donc

d

2(n1d3-n3d1) =0.

Nous savons

: si rs=0 etr?=0 alors nécessairements=0 (r,s entiers). Par hypothèsed2?=0 etd2(n1d3-n3d1) =0. Donc nécessairement (n1d3-n3d1) =0, oun1d3=n3d1, ou(n1,d1)≂(n3,d3). Alors en effet,≂est une relation d"équivalence surU.MAT15009 of 40 Nous connaissonsdéjà les classes d"équivalen ces!

Definition

Avec cette relation d"équivalence≂surU.

(i) Pour(n,d)?U(doncn,dsont deux entiers, dontd?=0) nous définissonsla fraction nd :=C?(n,d); la classe d"équivalence de(n,d)?U. (ii) Nous définissons

Q:=U/≂;

l"ensemble des classes d"équivalence.

MAT150010 of 40

En particulier

n1d 1=n2d 2 si et seulement si(n1,d1)≂(n2,d2) si et seulement si (par définition) n

1d2=n2d1.

Par exemple25

=615 car 2·15=6·5=30. Et 20 n"est pas définie!MAT150011 of 40 Nousdéfinissons l"addition et la multiplication : n 1d 1+n2d

2:=n1d2+n2d1d

1d2; n 1d

1·n2d

2:=n1n2d

1d2.

Est-ce que ça fait du sens?

MAT150012 of 40

Il y a quelque chose à vérifier : est-ce que ça dépend du choix d"écrire la fraction? Si n 1d

1=n?1d

?1etn2d

2=n?2d

?2 est-ce que aussi n

1d2+n2d1d

1d2=n?1d?2+n?2d?1d

?1d?2 etn?1n?2d ?1d?2=n?1n?2d ?1d?2? OUI. (Ce sera une exercice pour le TP de la semaine prochaine.)

MAT150013 of 40

Il y a une fonction injective

ι:Z→Q

avec

ι(n) :=n1

Puis on identifien=n1

(malgré quenest un entier et pas une fraction).

MAT150014 of 40

Autre exemple

SoitEun ensemble fini etU=P(E). Une fonction

propositionnelle avec univers de discoursU×Uest

P(A1,A2) := "|A1|=|A2|"

Nous allons classifier les sous-ensembles selon leur taille. A

1≂A2siP(A1,A2)vraie, c-à-d., si|A1|=|A2|MAT150015 of 40

On a trivialement

•A1≂A1, •siA1≂A2alorsA2≂A1, •siA1≂A2etA2≂A3alorsA1≂A3.MAT150016 of 40 Uneclasse d"équ ivalenceest la réunion d etous les éléments de

P(E)d"un même taille. Notation :

?E i? :={A?E| |A|=i} ?P(E), l"ensemble de tous les sous-ensembles deEavec exactementi

éléments.

MAT150017 of 40

La collection des classes (différentes) est notée :

U/≂={?E

0? ,?E 1? ,?E 2? ,...,?E n? ? P(U)= P(P(E))MAT150018 of 40 Chaque élément deU=P(E)(=chaque sous-ensemble deE) est dans une uniqu e classe d"équivalence. Et donc

P(E) =n?

i=0? E i? est une pa rtitionde P(E): c.-à-d. chaque?E i?est non-vide, et?E i?et?E j?sont disjoints si i?=j.

En conséquence :

|P(E)|=n? i=0|?E i?

MAT150019 of 40

SiE={a,b,c}.

E 0? ?E 1? ={{a},{b},{c}} ?E 2? ={{b,c},{a,c},{a,b}} ?E 3? ={E}MAT150020 of 40 La collection des classes est un ensemble soi-même!

P(E)/≂={?E

0? ,?E 1? ,?E 2? ,...,?E n? ? P(U)= P(P(E))

Il y a une fonction naturelle :

f:P(E)→P(E)/≂ où on définitf(A) =?E |A|?. C.-à-d., on envoie chaque élément vers la classe qui le contient.

MAT150021 of 40

Et la fonctionf:P(E)→P(E)/≂devient

f=?{∅} {a} {b} {c} {b,c} {a,c} {a,b}E?E 0? ? E 1? ? E 1? ? E 1? ? E 2? ? E 2? ? E 2? ? E 3??

Par exemplef({a,c}) =?E

2?.MAT150022 of 40

Saisirles différence s:

U=P(E) =?E

0? ??E 1? ??E 2? ??E 3?

U/≂={?E

0? ,?E 1? ,?E 2? ,?E 3? } ?P(P(E)).

On a :

a?{ a,b},{a,b}? ?E 2? ,?E 2? ?(U/≂)

Mais :

{a,b}? E,?E 2? ?U.MAT150023 of 40

Partition et relation d"équivalence

Chaque partition deUdonne une relation d"équivalence surU. Soit

U=U1?U2?...?Un

une partition deU. C.-à-d. LesUisont des sous-ensembles non-vides deUet U i∩Uj=∅ sii?=j.

Ou, chaqueu?Uest dans ununique Ui.MAT150024 of 40

Définissons

u≂v:= "?i[u?Ui]?[v?Ui]" une relation surU×U. C"est une relation d"équivalence surU. (Facile à vérifier, à vous le faire.) Siu?Ui, alorsu≂vsi et seulement si (aussi)v?Ui, donc

C?(u) =Ui.

Donc les tranchesUisont aussiles classes d"équivalence s ichaque U iestnon-vide .MAT150025 of 40

Exemples :

g:Q→Zest une fonction sig(nd ) =n+d? Non. g:Q→Rest une fonction sig(ndquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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