[PDF] Chapitre 0 : Outils mathématiques

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Chapitre 0

Outils mathématiques0.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

0.1.1 Primitive d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

0.1.2 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

0.2 Fonctions logarithmes népérien et décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

0.2.1 Fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

0.2.2 Fonction logarithme décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.2.3 Formules avec le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.3 Équation différentielle linéaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.3.2 Solution d"une équation différentielle linéaire d"ordre 1 à coefficients constants .

5

0.3.3 Allure de la solution d"une équation différentielle linéaire d"ordre 1 à coefficients

constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2Chapitre 0.Outils mathématiquesC

ertainesnotions mathématiques sont requises pour aborder le programme de physique-chimie de terminale sereinement. Le but de ce chapitre introductif est de définir une partie de ces outils utiles pour de nombreux chapitres. Voici le plan qui sera suivi :

•Primitives de fonctions

•Fonctions logarithmes népérien et décimal •Equation différentielle linéaire du premier ordre (Vidéo 1et Vidéo 2 .)

0.1 Primitives

0.1.1 Primitive d"une fonction

Soit une fonction mathématiquefdéfinir sur un intervalle réelI. Calculer une primitive de cette

fonction revient à faire l"opération inverse de la dérivée. Si l"on notef?la dérivée def, alorsfest une

primitive def?.Figure 1- La figure1 illustre la relation qu"il y a entre la dérivée et une p rimitivep ourune fonction usuelle simple

(Source)Primitive d"une fonction On dit queFest uneprimitivedefsur un intervalleIsi et seulement siFest dérivable sur

I et que pour toutx?I:

F ?(x) =dFdx (x) =f(x)

Les primitives d"une fonction sont toutes définiesà un constante près. Puisque la dérivée

d"une constanteKest nulle, alors siFest une primitive def,F+Kest aussi une primitive.

La constanteKest appelée constante d"intégration.Exemple:Les chapitres11 et 12 mon trentun exemple d"application du calcul de primitiv een

physique : résolution des lois de Newton en mécanique pour une chute libre.Poisson Florian Spécialité Physique-Chimie Terminale

0.2.Fonctions logarithmes népérien et décimal30.1.2 Primitives usuelles

Figure 2- Tableau résumant les principales primitives de fonctions usuelles (Source)

0.2 Fonctions logarithmes népérien et décimal

0.2.1 Fonction logarithme népérienLogarithme népérien

On appelle fonctionlogarithme népérien, notéeln, labijection réciproquede la fonction exponentiellesur] 0 ; +∞[, telle que pour toutx?] 0 ; +∞[: e

lnx= ln(ex) =xFigure 3- Courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien (Source)Spécialité Physique-Chimie Terminale Poisson Florian

4Chapitre 0.Outils mathématiques0.2.2 Fonction logarithme décimal

Logarithme décimal

Par analogie avec le logarithme népérien, on définit la fonctionlogarithme décimal, notéelog,

comme labijection réciproquede la fonction " 10 puissance » sur l"intervalle] 0 ; +∞[par :

10

logx= log(10x) =xExemple:Le chapitre??propose une première application de cette fonction dans le cadre de la

définition du pH d"une solution. pH =-log? H 3O+? H 3O+? = 10-pH

0.2.3 Formules avec le logarithme

Que ce soit pour le logarithme népérien ou décimal, il existe quelques formules utiles :Formules avec logarithme

ln(a×b) = ln(a) + ln(b) ln ?ab = ln(a)-ln(b)ln(an) =n×ln(a) ln ?1a =-ln(a)0.3 Équation différentielle linéaire du premier ordre

0.3.1 DéfinitionsÉquation différentielle

Uneéquation différentielleest une équation reliant une fonctionfet ses dérivées successives

dfdx (x),d2fdx

2(x), ... ,d(n)fdx

n(x).Équation différentielle linéaire du premier ordre

Uneéquation différentielle linéaire du premier ordreest une équation reliant une fonction

fet sa dérivée premièredfdx (x), et que l"on peut écrire sous la forme suivante : dfdx (x) +a(x)f(x) =b(x) Oùa(x)etb(x)sont deux fonctions.Équation homogène associée

On appelle équation homogène associée l"équation différentielle pour laquelle le second membre

(termeb(x)à droite de l"équation) est nul : dfdx (x) +a(x)f(x) = 0Poisson Florian Spécialité Physique-Chimie Terminale

0.3.Équation différentielle linéaire du premier ordre5Remarques:

•Dans le cadre du programme de terminale de physique-chimie, on se contentera d"étudier les

équations différentielles linéaires du premier ordre, àcoefficients constants, c"est-à-dire avec

a(x) =aetb(x) =b(a,b?R). •La variable, notéexici peut désigner n"importe quelle grandeur physique. On verra que les

équations étudiées en terminale en physique-chimie se rapportent essentiellement à la variable

temporellet. L"équation différentielle s"écrira alors : dfdt (t) +af(t) =b

et la constanteas"exprime alors ens-1: elle est liée à un temps caractéristiqueτtel quea=1τ

0.3.2 Solution d"une équation différentielle linéaire d"ordre 1 à coefficients constantsSolution d"une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants

Soit une équation différentielle de la forme : dfdt (t) +af(t) =b. La solution de cette équation

est la somme de la solution à l"équation homogène associée, et d"une solution particulière.

Solution à l"équation homogène :h(t) =λe-at,λ?R

Solution particulière :f0(t) =ba

D"où la solution générale :

f(t) =h(t) +f0(t) =λe-at+ba La constanteλdépend desconditions initiales: par exemple, savoir quef(2) = 3permet de trouver la valeur deλExemples au programme: •Cinétique : loi de vitesse d"ordre 1 d"une réaction chimique •Radioactivité : loi de décroissance exponentielle

•Mécanique : chute dans un fluide visqueux

•Thermodynamique : Transfert thermique conducto-convectif •Électricité : charge et décharge d"un condensateur dans un circuitRC

0.3.3 Allure de la solution d"une équation différentielle linéaire d"ordre 1 à coef-

ficients constantsFigure 4- Courbe représentant l"évolution de la vitesse en fonction du temps dans le cas d"un objet en chute avec

frottements visqueux. la fonctionv(t)est solution d"une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients

constants. Cette équation est obtenue à partir de la seconde loi de Newton.Spécialité Physique-Chimie Terminale Poisson Florian

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