[PDF] FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 1)





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FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL. En 1614 un mathématicien écossais



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. - Dans le domaine scientifique on utilise la fonction logarithme décimale



Etude des besoins mathématiques en physique et en chimie

https://pedagogie.ac-orleans-tours.fr/fileadmin/user_upload/maths/Dossiers_acad%C3%A9miques/Progressions/TermS/2-Lien_2_Logarithmes_pour_le_physicien.pdf



La fonction logarithme népérien

3 déc. 2014 Démonstration : On note Cln et Cexp les courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle. PAUL MILAN. 2. TERMINALE S. Page ...



Chapitre 0 : Outils mathématiques

0.2 Fonctions logarithmes népérien et décimal . Certaines notions mathématiques sont requises pour aborder le programme de ... terminale sereinement.



FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 1)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN. (Partie 1). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/ 



MATHEMATIQUES

Cette fonction existe ; Elle est appelée logarithme décimal et elle est notée « log » b) A l'aide de la touche log de votre calculatrice déterminez les ...



Mathématiques Sciences physiques et chimiques

Groupements A et B. •Produit scalaire ;. •Nombres complexes ;. •Calcul intégral. Groupement C. •Primitives ;. •Fonctions logarithme népérien et exponentielle de 



FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. FONCTION EXPONENTIELLE ET. FONCTION LOGARITHME. I. Définition de la fonction exponentielle.



Logarithme décimal et acoustique (calculatrice algorithme)

Equipe académique Mathématiques – Bordeaux. Page 1 sur 2 utilisation de propriétés algébriques de la fonction logarithme décimal et ou népérien.

1

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

- Chapitre 1/2 Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la finalité d'un travail de 20 ans, Neper présente un outil permettant de simplifier les calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs " logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne trouve ra son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ;

1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper.

Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises.

L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addition

(paragraphe II). Ceci peut paraître dériso ire aujourd'hui , mais il faut co mprendre qu'à cette époque, les

calculatrices n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations

posées telles que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le

commerce demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. Partie 1 : Fonction exponentielle et fonction logarithme

1) Rappels concernant la fonction exponentielle

Propriétés : La fonction exponentielle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et convexe sur ℝ.

On a :

Propriétés :

=1 >0 , avec ∈ℕ 2

2) Définition de la fonction logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans

0;+∞

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel de

0;+∞

l'équation = admet une unique solution dans ℝ.

Définitions : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif , l'unique

solution de l'équation =. On la note ln. La fonction logarithme népérien, notée , est la fonction définie sur

0;+∞

, par ⟼ln()

Remarques :

- Les fonctions et sont réciproques l'une de l'autre. - Les courbes représentatives des fonctions et sont symétriques par rapport à la droite d'équation =. 1 2 0 (2) 1 2 expln 3 - Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log, et définie par : log()= Propriétés de ln liées à la fontion exp : a) Pour >0 : = ⇔=ln() b) ln(1)=0 ; ln()=1 ; lnD 1 E=-1 c) ln( d) Pour >0 :

Démonstrations :

a) Par définition b) - =1 donc d'après a, on a : ln(1)=0 = donc d'après a, on a : ln()=1 1 donc d'après a, on a : lnD 1 E=-1 c) Si on pose = , d'après a, on a : =ln()=ln( d) Si on pose =ln(), d'après a, on a : = Partie 2 : Propriétés de la fonction logarithme népérien

1) Relation fonctionnelle

Théorème : Pour tous réels et strictement positifs, on a : ln =ln()+ln()

Démonstration :

Donc : ln

=ln()+ln() Remarque : Voici comment Neper transformait un produit en somme : Celui qui aurait, par exemple, à effectuer 36×62, appliquerait la formule précédente, soit : log

36×62

=log 36
+log 62
≈1,5563+1,7924 (à, l'aide de la table ci-contre) L'addition étant beaucoup plus simple à effectuer que la multiplication, on trouve facilement : (36×62)≈3,3487 En cherchant à nouveau dans la table le logarithme égal à 3,3487, on trouve 2232, soit : 36×62=2232. 4

2) Conséquences

Corollaires : Pour tous réels et strictement positifs, on a : a) lnD 1

E=-ln()

b) lnD

E=ln()-ln()

c) lnS U= 1 2 ln() d) ln( )=ln(), avec entier relatif

Démonstrations :

a) lnD 1

E+ln()=lnD

1

×E=ln(1)=0 donc lnD

1

E=-ln()

b) lnD

E=lnD×

1

E=ln()+lnD

1

E=ln()-ln()

c) 2lnS U=lnS U+lnS U=lnS U=ln() donc lnS U= 1 2 ln() d) On démontre ce résultat par récurrence le cas où est un entier naturel.

L'initialisation est triviale.

La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition : ln( 1%$ )=ln 1 =ln( 1 +1 ln() Méthode : Simplifier une expression contenant des logarithmes

Vidéo https://youtu.be/HGrK77-SCl4

Simplifier les expressions suivantes :

=lnS3-

5U+lnS3+

2

Correction

=lnS3-

5U+lnS3+

5U=3ln(2)+ln(5)-2ln(3)

=lnDS3- 5US3+

5UE=ln(2

2 )+ln(5)-ln(3 =ln 9-5 =ln(4) =ln\ 2 3 ×5 3 2 ]=lnD 40
9 E =ln( 2 =2-ln(2)+ln() =2-ln(2)+1=3-ln(2)

3) Équations et inéquations

Propriétés : Pour tous réels et strictement positifs, on a : a) ln =ln ⟺= b) ln Vidéo https://youtu.be/lCT-8ijhZiE a) Résoudre l'équation =5. b) Résoudre l'équation ln()=2 dans l'intervalle =

0;+∞

c) Résoudre l'équationln -3 +ln

9-

=0 dans l'intervalle =]3;9[.

Correction

a) =5 ,-(3) +1=ln(5) =ln(5)-1 b) On résout l'équation dans l'intervalle =

0;+∞

, car la fonction ln est définie pourquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43
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