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Méthodes et Analyse Numériques

18 janv. 2011 I MODELISATION DISCRETISATION ET SIMULATION NUMERIQUE ... I.6.3 Stabilité d'une méthode numérique . ... II.2.10.2 Schéma implicite .



Méthodes numériques

Les schémas d'Euler explicite et implicite sont d'ordre 1 en temps et 2 en espace. Département de Mathématiques Appliquées. Transport et diffusion 



RESOLUTION NUMERIQUE DISCRETISATION DES EDP ET EDO

I MODELISATION DISCRETISATION ET SIMULATION NUMERIQUE II.2.10.2 Schéma implicite . ... III.7.1 Méthodes d'Euler explicite et implicite .



Feuille de TD n 1 Schémas `a un pas explicites et implicites

On rappelle selon les notations d'Henrici



Méthode dintégration temporelle implicite pour la Simulation des

12 avr. 2018 4 Évaluation et amélioration de la méthode implicite ... 4.32 Sensibilité de la solution numérique du schéma de Crank-Nicolson (gauche) et ...



Différences finies pour les équations différentielles ordinaires

2) Test des schémas d'Euler explicite implicite et de Crank Nicolson Nous disons (et justifierons plus loin cette expression) que le schéma numérique.



Résolution numérique des Équations Différentielles Ordinaires

Le schéma d'Euler implicite c'est ce qui motive l'utilisation de méthodes numériques la plupart des EDOs ne peuvent être résolues.



Comparaison de schémas implicites et explicites centrés et

Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion. Comparaison de schémas implicites et explicites centrés et décentrés en maillage mobile pour la.



Série dexercices no6/6 Équations différentielles

Analyse numérique L3- Automne 2015 Écrire le schéma d'Euler implicite en prenant un pas de temps constant. ... (b) Justifier que le schéma implicite.



4.2 Simulations numériques des EDO : schémas explicites

Notons également que nous aurions pu prendre la méthode des rectangles à droite nous n'au- rions alors pas de schéma explicite mais un schéma d'Euler implicite 



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Les schémas d'Euler explicite et implicite sont d'ordre 1 en temps et 2 en espace Département de Mathématiques Appliquées Transport et diffusion 



[PDF] 42 Simulations numériques des EDO : schémas explicites

Le schéma d'Euler implicite est construit de la même manière que le schéma d'Euler explicite : par la méthode des rectangles Mais au lieu de considérer le 



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[PDF] Résolution numérique des Équations Différentielles Ordinaires

On a donc défini un nouveau schéma numérique connu sous le nom de schéma d'Euler implicite xn+1 = xn + hnf(tn+1xn+1) 4 4 1 Consistance



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Le schéma d'Euler implicite est inconditionnellement stable a-stabilité du schéma des Trapèzes implicites Reprenons le schéma (1 30) ( 1 + a?t 2 )



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[PDF] Feuille de TD n 1 Schémas `a un pas explicites et implicites

Dans cette fiche on consid`ere les schémas `a un pas implicites pour la résolution numérique de l'équation différentielle



[PDF] Cours de Bases des méthodes numériques

— Le schéma d'Euler implicite (2 9) est inconditionnellement stable en norme L? Preuve C'est une conséquence directe du principe du maximum discret (2 15) 

:
[PDF] Feuille de TD n 1 Schémas `a un pas explicites et implicites

Licence L3 Math

´ematiques et Applications (MAP)

Universit

´e Paris-Sud M325 Calcul Scientifique II

Centre d"orsayAnn´ee20132014c

J.-B.A.K.Feuille de TD n

1 Sch´emas`a un pas explicites et implicitesDans cette fiche on consid

`ere les sch´emas`a un pas implicites pour la r´esolution num´erique de l"´equation diff´erentielle

x

0(t) =f(t;x(t)); t2[t0;t0+T]; x(t0) =x0:(1)

O

`uf2Cr([t0;t0+T];R), (l"entierr, ainsi que les r´eelst0etTseront pr´ecis´es dans chaque exercice). On se donne

alors un entierNfix´e, et on poseh=T=Nettn=t0+nh(0nN). On d´esigne parxnune valeur approch´ee de

x(tn)pour toutn2 f0;:::Ng.Partie -1Sch´emas`a un pas explicites : Application du coursExercice-1De l"´equation diff´erentielle d"ordrep2au syst`eme d"´equations diff´erentielles d"ordre1Le but de cet exercice est d"

´ecrire quelques´equations diff´erentielles ordinaires (edo) d"ordrep2sous la forme des syst

`emes d"´equations diff´erentielles ordinaires d"ordre1. Ceci´etant, dans la suite, on ne pr´esentera et n"´etudiera les

m

´ethodes num´eriques que dans le contexte des edo ou syst`emes d"edo du premier ordre.Q-1:Pour chacune des

´equations diff´erentielles ordinaires ci-dessous, pr´eciser l"entierd, les r´eelst0;T, la fonction

f: [t0;t0+T]Rd!Rd, le vecteurx02Rd, la nouvelle inconnuex: [t0;t0+T]!Rdpermettant de la ramener sous la forme (P)x0(t) =f(t;x(t)); t2]t0;t0+T] x(t0) =x0:(2) (a)y00(t) +gL y(t) = 0; t2]0;1] y(0) = 0; y0(0) = 1:(b)8 :LCv

00(t) +

LR 2+R1C v

0(t) +

R 1R 2+ 1 v(t) =e; t2]0;100]; v(0) = 0; v0(0) = 0: (c)y00(t) =(1y2)y0(t)y(t); t2]0;10]; y(0) = 1; y0(0) = 1:(c)y000(t)4y00(t) + 5y0(t)2y(t) = 0; t2]a;b] y(a) = 0; y0(a) =a;y00(a) = 2:Notes :dans toute la suite de cette fiche, on ne consid

´erera que des´equations de la forme (2).Exercice-2Sch´emas explicites`a un pas : ExemplesPour r

´esoudre num´erique le probl`eme (2), (lorsqueT <1) on se donne un entierN2N, on d´efinit le pas de temps

h=TN et on d´ecompose l"intervalle[t0;t0+T]:t0< t0+h < ::: < t0+Nh=t0+T: Puis on cherche des valeursxnapprochant les valeursx(tn)de la solution exactex(t)aux tempstn=t0+nh.

On rappelle, selon les notations d"Henrici, qu"unsch´ema num´erique`a un pas explicitepour la r´esolution du probl`eme

(2) est d

´efini par :xn+1=xn+h(tn;xn;h); n= 0;:::;N1;

x

02Rddonn´e:(3)

o `u : [t0;t0+T]Rd[0;T]!Rdest une certaine fonction d´ependant def. 1

Q-1:Pr

´eciser la fonctionpour chacun des sch´emas ci-dessous

Q-1-1:Sch´ema d"Euler explicite (1768):

(S)xn+1=xn+hf(tn;xn)n2 f0;:::;N1g; x

02Rddonn´e:

Q-1-2:Sch´ema dupoint milieu ou de Runge (1895): (S)xn+1=xn+hftn+h2 ;xn+h2 f(tn;xn)n2 f0;:::;N1g; x

02Rddonn´e:

Q-1-3:Sch´ema deHeun ou Euler am´elior´e (1900): (S)xn+1=xn+h2 (f(tn;xn) +f(tn+h;xn+hf(tn;xn))n2 f0;:::;N1g; x

02Rddonn´e:Q-2:Pour chacun des sch

´emas ci-dessus, rappeler bri`evement la d´emarche de sa construction.Exercice-3Sch´emas explicites`a un pas : Notion de ConsistanceOn rappelle que l"erreur de consistance

`a l"instanttndu sch´ema (3), est la quantit´e : "(tn;h) =x(tn+h)x(tn)h(tn;x(tn);h):Q-1:Interpr

´etation :Soitxn+1la solution fournie par le sch´ema`a l"instanttn+1, lorsqu"on part d"une solution

exacte `a l"instanttn. 1. ´Etablir une relation entrexn+1;x(tn+1)et"(tn;h). 2.

En v ousserv antd"un dessin, donnez une interpr

´etation de la diff´erencexn+1xn+1.Q-2:On se place ici en dimensiond= 1et on suppose la fonctionfdans (2) de classeCp,p2N.

1. On d ´esigne parx(j)laj-`eme d´eriv´ee dex. Montrer que8t2[t0;t0+Th]

80jp x(j+1)(t) =f[j](t;x(t))def=@f[j1]@t

(t;x(t)) +f(t;x(t))@f[j1]@y (t;x(t)); o `u on a pos´ef[0](t;x(t)) =f(t;x(t)). 2.

Conclure que 8t2[t0;t0+Th]

"(t;h) =p1X j=0h j+1j! f[j](j+ 1)(t;x(t))@j@h j(t;x(t);0) +O(hp+1): 3. En d

´eduire une condition de consistance d"ordrepdu sch´ema (3). [On rappelle que le sch´ema (3) est consistant

d"ordrepsi et seulement si"(t;h) =O(hp+1)]Q-3:Applications :Quels sont les ordres de consistance des sch´emas pr´esent´es ci-dessus (Exercice 2). [On sup-

posera d"abord la fonctionfsuffisamment r´eguli`ere, puis on donnera pour chacun des sch´emas la r´egularit´e minimale

surfn´ecessaire pour mener l"´etude de l"ordre de consistance.]

NB :On rappelle que le sch´ema (3) est consistant d"ordre exactementps"il est consistant d"ordrepmais n"est pas

consistant d"ordrep+ 1. Ainsi pour montrer qu"on sch´ema est consistant d"ordre exactementp, on montre qu"il est

consistant d"ordrep, puis on cherche un exemple qui met en d´efaut la consistant d"ordrep+ 1.Exercice-4Sch´emas explicites`a un pas : Notion de Stabilit´e

2

Q-1:Quand dit-on que le sch

´ema (3) est stable.?Q-2:Rappeler les hypoth

`eses suffisantes surassurant la stabilit´e du sch´ema (3) lorsqueTest fini.

Sous quelles conditions sur la donn

´eef, ces hypoth`eses sont-elles satisfaites?Q-3:Utiliser la question pr

´ec´edente pour montrer que les sch´emas donn´es`a l"exercice 2 sont stables. [on prendra

soin d"exhiber la constante de stabilit

´e.]Partie -2Sch´emas`a un pas explicites : Application du coursExercice-1´Etude d"un sch´ema`a un pasOn consid

`ere le sch´ema (S)xn+1=xn+h2 (f(tn;xn) +f(tn+1;xn+hf(tn;xn))n2 f0;:::;N1g; x

02Rddonn´e:

Avecfune fonction de classeC2, uniform´ement Lipschitzienne en espace.Q-1:Pr ´eciser la fonction(t;y;h)pour que ce sch´ema s"´ecrivexn+1=xn+h(tn;xn;h).Q-2:´ Etudier la consistance, l"ordre de pr´ecision de ce sch´ema.Q-3:´ Etudier la stabilit´e de ce sch´ema.Q-4:Ce sch

´ema est-il convergent? Si oui, quel est son ordre de convergence?Exercice-2Un exemple de sch´ema implicite : partiel ( Mars 2008)On suppose, en plus des hypoth

`ese susmentionn´ees, quefest de classeC2([t0;t0+T]R). On consid`ere alors le sch

´ema suivant

(S)xn+1=xn+h6 f(tn;xn) +f(tn+h3 ;xn+1) x n+1=xn+h4

3f(tn+h3

;xn+1) +f(tn+1;xn+1)n2 f0;:::;N1g:Q-1:Ce sch ´ema est-il explicite ou implicite?Q-2:Montrer que ce sch

´ema est constructible.Q-3:Ce sch

´ema est-il stable?Q-4:Calculer l"ordre du sch

´ema et en d´eduire une majoration de l"erreur.Exercice-3´Etude du-sch´emaOn consid

`ere le sch´ema implicite, dans lequel2[0;1]et o`ufest une fonction de classeC2surIRduniform´ement

lipschitzienne en espace : (S)xn+1=xn+h[f(tn;xn) + (1)f(tn+1;xn+1)]n2 f0;:::;N1g; x

02Rd:(4)

3

Q-1:Ce sch

´ema est-il constructible?Q-2:Analyser en fonction de, l"erreur locale de consistance.Q-3:´ Etudier la stabilit´e de ce sch´ema.Q-4:´

Etudier en fonction des valeurs dela convergence de ce sch´ema, en donnant dans chaque cas l"estimation

d"erreur.Q-5:Proposer en fonction des valeurs deun moyen de calculer les valeurs approch´ees dexn.[on distinguera le

cas=12 et le cas6=12 ].Exercice-4Analyse du sch´ema`a un pas explicite dans un domaine non born´eOn consid

`ere l"´equation diff´erentiellex0(t) =x(t)associ´ee`a la donn´ee de Cauchyx(0) =x0. (o`uest un param`etre

r

´eel donn´e).Q-1:Calculer explicitement la suite(xn)n2f0;:::;Ngobtenue`a l"aide du sch´ema d"Euler explicite.Q-2:Donner l"expression de l"erreur locale de troncature, et de l"erreur globale.

Q-3:Donner les comportements de ces erreurs lorsqueTest fix´e etN! 1et lorsquehest fix´e etN! 1(

donc lorsqueT! 1).Exercice-5Analyse du sch´ema`a un pas explicite dans un domaine non born´eReprendre l"exercice pr

´ec´edent en utilisant cette fois le sch´ema du point milieu.Exercice-6Exemple d"acc´el´eration de convergenceSoitT >0donn´e,d1;N1et une fonctionf2C2(RR;R). Le but de cet exercice est de transformer la

m ´ethode d"Euler explicite de pash=T=Nnot´ee, en posantthn=nh(0nN) x hn+1=xhn+hf(thn;xhn); n2 f0;:::;N1g(5)

En une m

´ethode d"ordre 2 en utilisant le processus dit de Richardson, pour la r´esolution num´erique de l"´equation

diff

´erentielle

x

0(t) =f(t;x(t)); t2[0;T];(6)

cette

´equation diff´erentielle admettant une unique solutionxde classeC3uniform´ement born´ee sur[0;T].Q-1:Montrer qu"il existe une unique fonctionzde classeC2sur[0;T]v´erifiant le probl`eme

z0(t) =@f@x (t;x(t))z(t) +12 x00(t); t2[0;T];

z(0) = 0:(7)Q-2:Soit"hnl"erreur locale de troncature du sch´ema d"Euler explicite (5). Montrer l"existence d"une constanteC

telle que l"on a la majoration k"hnh22

x00(thn)k Ch3; n2 f0;:::;N1g:Q-3:Montrer que l"erreurehn=x(thn)xhn(d´efinie pour0nN) est telle que

e hn+1=ehn+hf(thn;x(thn))f(thn;xhn)+"hn: 4 Q-4:En posant~ehn=ehn=h, en d´eduire`a l"aide d"un d´eveloppement de Taylor que l"on a ~ehn+1~ehn=h f(thn;x(thn))~ehn+12 x00 (thn) +(h); o `uest telle quek(h)k Mh2;k kd´esignant une norme quelconque surRd.Q-5:A l"aide du d ´eveloppement de Taylor dez(thn+1)centr´e enthn, d´emontrer qu"en posant hn=z(thn)~ehn, il existe deux constantesKetCpositives telles que pourn2 f0;:::;N1g, on akhnk (1 +Kh)khnk+Ch2.Q-6:En conclure l"existence d"une constanteMpositive telle que l"on a l"estimation kehnhz(thn)k Mh2lorsquen2 f0;:::;Ng.Q-7:On d

´efinit la famille(yn)0nNparyn= 2xh=2

2nxhn;8n2 f0;:::; Ngety0=x(0). D´eduire de ce qui

pr

´ec`ede que l"on amax0nNkx(thn)ynkCh2.Exercice-7Exemple de construction d"un sch´ema d"ordre sup´erieur`a2Soitf(y) :R!Rune fonction lipschitzienne de classeC3. On consid`ere l"´equation diff´erentielle, pour toutt2[0;T]:

(p)x0(t) =f(x(t));x(0) =x0: Pourh >0etNh=T, On d´efinit le sch´ema num´erique explicite x n+1xn=hF(xn;h); n= 0;:::;N1; o `u

F(y;h) =Af(y) +Bf(x+hf(y)) +Cf(y+hf(y+hf(y)));

avecA;B;C;0.Q-1:Montrer que le sch ´ema est stable. Pour quelles valeurs deA;B;Cce sch´ema est-il consistant?Q-2:Montrer que le d ´eveloppement de Taylor deh7!f(y+hf(y))`a l"ordre2lorsqueh!0est : f(y+hf(y)) =f(y) +hf(y)f0(y) +2h22 f2(y)f00(y) +O(h3):Q-3:1.Calculer les d ´eriv´ees premi`ere et seconde de la fonctionF(t) =f(y+tf(y+tf(y))). 2. En d ´eduire que le d´eveloppement de Taylor deh7!f(y+tf(y+tf(y)))`a l"ordre2lorsqueh!0est : f(y+tf(y+tf(y))) =f(y) +hf(y)f0(y) +h212 f2(y)f00(y) +f(y)f02(y) +O(h3):Q-4:En d

´eduire une expression de la forme

hF(y;h) =hX+h2Y+h3Z+O(h4); o

`uX;Y;Zsont ind´ependants dehet seront calcul´es explicitement.Q-5:Si x(t) est solution de(E),´ecrire le d´eveloppement de Taylor`a l"ordre 3 dex(t)lorsqueh!0.Q-6:En identifiant les coefficients pour que la m

´ethode soit d"ordre 3, trouver un syst`eme de 4´equations pour les inconnuesA;B;C;.Q-7:R

´esoudre ce syst`eme et d´eterminer explicitementA;B;C;.Exercice-8Monotonie de sch´emas : examen (mai 2008)

5

On consid

`ere ici quex0>0,t0= 0,T=1et que la fonctionf(t;y) =ryavecr >0.Q-1:Montrer que la solution de l" ´equation estx(t) =x0ert;8t >0. En d´eduire que cette solution est d ´ecroissante et tend vers0lorsquettend vers l"infini.Q-2:On cherche dans cet exercice des sch ´emas qui satisfont`a cette propri´et´e. C"est-`a-dire x n+1xn;8n2N;etlimn!1xn= 0:

De tels sch

´emas seront ditsmonotones. Si un sch´ema n"est monotone que pour certaines valeurs deh, on dit qu"il est

conditionellement monotone. La plus grande valeur dehpour laquelle le sch´ema est monotone est appel´eerayon du

domaine de monotonie.

On propose les sch

´emas suivants, initialis´es parx0=x0:

a)xn+1=xn+hf(tn;xn), b)xn+1=xn+hf(tn+1;xn+1), c)xn+1=xn+h2 (f(tn;xn) +f(tn+1;xn+1)): Q-2-1:Quel nom donne-t-on`a chacun d"eux? Expliquer bri`evement leur construction. Q-2-2:Donner le rayon du domaine de monotonie de chacun de ces sch´emas.

Q-2-3:Conseiller sur le choix de l"un de ces sch´emas pour le probl`eme consid´er´e.Exercice-9Construction d"un sch´ema de type Taylor d"ordre 4 : examen (mai 2008)Dans cet exercice, on consid

`ereT <1. On suppose que la fonctionfest Lipschitzienne par rapport`a la variable spatiale uniform

´ement entde constanteL, c"est-`a-dire

jf(t;y)f(t;y)j Ljyyj;8t2[t0;t0+T];8y;y2R:Q-1:On d ´efinit par r´ecurrence les fonctionsf[k](t;y)pour tout0k < ppar : f [0](t;y) =f(t;y); f [k+1](t;y) =@@t f[k](t;y) +@@y f[k](t;y)f(t;y): Montrer que la solution de(ED)appartient`aCp+1([t0;t0+T])et v´erifie : x (k+1)(t) =f[k](t;x(t));0kp:Q-2:On consid `ere le sch´ema num´erique`a un pas : xn+1=xn+h(tn;xn;h); n2 f0;:::;Ng; x 0=x0; associ

´e`a

(t;y;h) =f(t;y) +haf[1](t;y) +h2bf[2](t+h;y+hf(t;y)): o

`u;;a;bsont des param`etres`a d´eterminer. On suppose quef[1]etf[2]sont aussi Lipschitziennes par rapport`a la

variable spatiale uniform ´ement entavec constanteL1;L2respectivement. D´emontrer qu"il existe une constante>0, ind

´ependante deh, telle que

j(t;y;h)(t;y;h)j jyyj;8t2[t0;t0+T];8y;y2R:Q-3:On suppose quep4. Q-3-1:V´erifier que la solutionx(t)de(ED), satisfait, quandh!0: x(t+h)x(t)h =f(t;x(t)) +h2 f[1](t;x(t)) +h26 f[2](t;x(t)) +h324 f[3](t;x(t)) +O(h4): Q-3-2:Faire un d´eveloppement limit´e`a l"ordre 3 de la fonctionh7!(t;y;h)au voisinage deh= 0. 6

Q-3-3:D´eterminer les coefficients;;a;bde sorte que la m´ethode`a un pas d´efinie par la fonction

(t;y;h)soit d"ordre4.

Q-3-4:Que peut-on dire sur la convergence de cette m´ethode?Exercice-10Sch´ema r´eversible : examen (juin 2008)On consid

`ere icit0= 0,T= 1,d= 2,x0= (0;1)Tetf(t;x) = (v;y)o`u on a pos´ex= (y;v)T.

x(t) = (y(t);v(t))d´esigne la solution exacte de (ED). On d´esigne alors parxn= (yn;vn)une valeur approch´ee de

(y(tn);v(tn))pourn= 0;:::N.

Un sch

´ema num´erique pour la r´esolution de ce probl`eme est ditr´eversibleen temps si une´etape`a partir de(yn;vn)

nous am

`ene`a(yn+1;vn+1)et une seconde´etape`a partir de(yn+1;vn+1)nous ram`ene`a(yn;vn). Autrement dit, on

peut retourner `a sa position de d´epart en inversant tout simplement sa vitesse.

On rappelle qu"un sch

´ema explicite`a un pas pour la r´esolution du probl`eme (ED) est donn´e sous sa forme g´en´erale par

xn+1=xn+h(tn;xn;h); n2 f0;:::;Ng; x 0=x0; O `uest une fonction de[t0;t0+T]Rd[0;T]`a valeurs dansRd.Q-1:Pr

´ecisez la fonctionpour un sch´ema explicite de votre choix, en expliquant la d´emarche pour son obten-

tion.Q-2:V ´erifiez si votre sch´ema est r´eversible?

Attention :c"est tout`a fait normal si votre sch´ema ne l"est pas, inutile donc de le modifier.Q-3:Programmez votre sch

´ema`a travers une fonctionMatlabdont vous commenterez les arguments d"entr´ee

et de sortie.Exercice-11Construction d"un sch´ema de type Taylor d"ordre 3 : examen (juin 2008)Dans cet exercice, on consid

`ered= 1. On suppose que la fonctionfest Lipschitzienne par rapport`a la variable spatiale uniform

´ement entde constanteL, c"est-`a-dire

jf(t;y)f(t;y)j Ljyyj;8t2[t0;t0+T];8y;y2R:Q-1:On d ´efinit par r´ecurrence les fonctionsf[k](t;y)pour tout0k < ppar : f [0](t;y) =f(t;y); f [k+1](t;y) =@@t f[k](t;y) +@@y f[k](t;y)f(t;y):quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35
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