[PDF] Comparaison de schémas implicites et explicites centrés et

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IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionComparaison de schémas implicites et explicites,

centrés et décentrés en maillage mobile pour la simulation d"écoulements compressésMarc Buffat1Anne Cadiou2

Lionel Le Penven

2Catherine Le Ribault2

1

UCB Lyon I, LMFA UMR 5509

2

CNRS, LMFA UMR 5509CFT"04 Monastir (Tunisie) Avril 2004Buffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionPlan de l"exposé1Introduction2Méthodes Numériques3Décroissance d"un tourbillon4Compression d"un tourbillon5ConclusionBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionIntroductionEcoulements de tumble compressés (chambre de combustion)Difficultés des simulations numériquesEcoulement compressible à bas MachMaillages mobilesCondition de stabilité basée surc(célérité) et nonu(vitesse)

CFL=(u+c)DtDx≈cDtDxBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionIntroductionEcoulements de tumble compressés (chambre de combustion)Difficultés des simulations numériquesEcoulement compressible à bas MachMaillages mobilesCondition de stabilité basée surc(célérité) et nonu(vitesse)

CFL=(u+c)DtDx≈cDtDxBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFSchémas NumériquesEquations de conservation pourW=?

r,r-→U,E=pg-1+12rU2? flux d"Euler=div(R(W))???? flux visqueux+S(W)????

sourceDifficultés numériques: flux d"EulerF(W) =A(W)Wschéma explicite avec cdt de stabilitéCFL<1Schéma explicite centré d"ordre 2 instableSchéma explicite décentré (suivant les valeurs propresadeA)Schéma explicite d"ordre élevé (i.e. >2)schéma impliciteCFL>>1Schéma implicite centré non linéaireBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFSchémas NumériquesEquations de conservation pourW=?

r,r-→U,E=pg-1+12rU2? flux d"Euler=div(R(W))???? flux visqueux+S(W)????

sourceDifficultés numériques: flux d"EulerF(W) =A(W)Wschéma explicite avec cdt de stabilitéCFL<1Schéma explicite centré d"ordre 2 instableSchéma explicite décentré (suivant les valeurs propresadeA)Schéma explicite d"ordre élevé (i.e. >2)schéma impliciteCFL>>1Schéma implicite centré non linéaireBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFSchémas NumériquesEquations de conservation pourW=?

r,r-→U,E=pg-1+12rU2? flux d"Euler=div(R(W))???? flux visqueux+S(W)????

sourceDifficultés numériques: flux d"EulerF(W) =A(W)Wschéma explicite avec cdt de stabilitéCFL<1Schéma explicite centré d"ordre 2 instableSchéma explicite décentré (suivant les valeurs propresadeA)Schéma explicite d"ordre élevé (i.e. >2)schéma impliciteCFL>>1Schéma implicite centré non linéaireBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFSchémas NumériquesEquations de conservation pourW=?

r,r-→U,E=pg-1+12rU2? flux d"Euler=div(R(W))???? flux visqueux+S(W)????

sourceDifficultés numériques: flux d"EulerF(W) =A(W)Wschéma explicite avec cdt de stabilitéCFL<1Schéma explicite centré d"ordre 2 instableSchéma explicite décentré (suivant les valeurs propresadeA)Schéma explicite d"ordre élevé (i.e. >2)schéma impliciteCFL>>1Schéma implicite centré non linéaireBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFMaillage déformableVp=L(t)

r=L(0)L(t)=5changement de variablec=xL(t)transformation domaine (EF)? e kf.yidw=? e?f.Nidet(J)d?wformulation conservative (VF)ddt? V krf dw= G krf-→U.-→n dG+? V kSdwBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFMaillage déformableVp=L(t)

r=L(0)L(t)=5changement de variablec=xL(t)transformation domaine (EF)? e kf.yidw=? e?f.Nidet(J)d?wformulation conservative (VF)ddt? V krf dw= G krf-→U.-→n dG+? V kSdwBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFMaillage déformableVp=L(t)

r=L(0)L(t)=5changement de variablec=xL(t)transformation domaine (EF)? e kf.yidw=? e?f.Nidet(J)d?wformulation conservative (VF)ddt? V krf dw= G krf-→U.-→n dG+? V kSdwBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFMaillage déformableVp=L(t)

r=L(0)L(t)=5changement de variablec=xL(t)transformation domaine (EF)? e kf.yidw=? e?f.Nidet(J)d?wformulation conservative (VF)ddt? V krf dw= G krf-→U.-→n dG+? V kSdwBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFCode "NadiaLES"Code E.F. + LES sur maillage non structuré (Duchamp 1999)FV/FE sur maillage non

structuré (Dervieux 1998)Jfinite element mesh IG1 G2 IJ control volumeSolveur de Rieman bas

Mach RoeTurkel (Viozat

1997)Contrôle de la dissipation

et de la dispersionprecisionO(dt4,h2)avec

Runge Kutta 4décomposition de domaine

(calcul //e) Buffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFCode "NadiaLES"Code E.F. + LES sur maillage non structuré (Duchamp 1999)FV/FE sur maillage non

structuré (Dervieux 1998)Jfinite element mesh IG1 G2 IJ control volumeSolveur de Rieman bas

Mach RoeTurkel (Viozat

1997)Contrôle de la dissipation

et de la dispersionprecisionO(dt4,h2)avec

Runge Kutta 4décomposition de domaine

(calcul //e) Buffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFCode "NadiaLES"Code E.F. + LES sur maillage non structuré (Duchamp 1999)FV/FE sur maillage non

structuré (Dervieux 1998)Jfinite element mesh IG1 G2 IJ control volumeSolveur de Rieman bas

Mach RoeTurkel (Viozat

1997)Contrôle de la dissipation

et de la dispersionprecisionO(dt4,h2)avec

Runge Kutta 4décomposition de domaine

(calcul //e) Buffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFCode "NadiaLES"Code E.F. + LES sur maillage non structuré (Duchamp 1999)FV/FE sur maillage non

structuré (Dervieux 1998)Jfinite element mesh IG1 G2 IJ control volumeSolveur de Rieman bas

Mach RoeTurkel (Viozat

1997)Contrôle de la dissipation

et de la dispersionprecisionO(dt4,h2)avec

Runge Kutta 4décomposition de domaine

(calcul //e) Buffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFCode "NadiaLES"Code E.F. + LES sur maillage non structuré (Duchamp 1999)FV/FE sur maillage non

structuré (Dervieux 1998)Jfinite element mesh IG1 G2 IJ control volumeSolveur de Rieman bas

Mach RoeTurkel (Viozat

1997)Contrôle de la dissipation

et de la dispersionprecisionO(dt4,h2)avec

Runge Kutta 4décomposition de domaine

(calcul //e) Buffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFCode "NadiaLES"Code E.F. + LES sur maillage non structuré (Duchamp 1999)FV/FE sur maillage non

structuré (Dervieux 1998)Jfinite element mesh IG1 G2 IJ control volumeSolveur de Rieman bas

Mach RoeTurkel (Viozat

1997)Contrôle de la dissipation

et de la dispersionprecisionO(dt4,h2)avec

Runge Kutta 4décomposition de domaine

(calcul //e) Buffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFCode "NadiaDF"Code D.F. d"ordre élevé explicite (R.K. 4) sur maillage structuréPADE: Lele 1992reconstruction des dérivées ordre 4

aF? i-1+F? i+aF? i+1=aFi+1-Fi-12Dx aveca=14,a=43système tri-diagonal (Thomas)WENO: Jiang & Shu 1996reconstruction des fluxs ordre 5 F i+12=2å r=0w rF+,r i+12+2å r=0w

2-rF-,r

i+12i-2i+1/2i+1i+2ii-1 r=2 r=1 r=0 F+,r i-1/2Buffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFCode "NadiaDF"Code D.F. d"ordre élevé explicite (R.K. 4) sur maillage structuréPADE: Lele 1992reconstruction des dérivées ordre 4

aF? i-1+F? i+aF? i+1=aFi+1-Fi-12Dx aveca=14,a=43système tri-diagonal (Thomas)WENO: Jiang & Shu 1996reconstruction des fluxs ordre 5 F i+12=2å r=0w rF+,r i+12+2å r=0w

2-rF-,r

i+12i-2i+1/2i+1i+2ii-1 r=2 r=1 r=0 F+,r i-1/2Buffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFCode "NadiaDF"Code D.F. d"ordre élevé explicite (R.K. 4) sur maillage structuréPADE: Lele 1992reconstruction des dérivées ordre 4

aF? i-1+F? i+aF? i+1=aFi+1-Fi-12Dx aveca=14,a=43système tri-diagonal (Thomas)WENO: Jiang & Shu 1996reconstruction des fluxs ordre 5 F i+12=2å r=0w rF+,r i+12+2å r=0w

2-rF-,r

i+12i-2i+1/2i+1i+2ii-1 r=2 r=1 r=0 F+,r i-1/2Buffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé k? Wn+1 k+1-Wn+1 k?=G(Wn+1 G kW n idGLibMesh (Kirk 2002) gestion maillage en //e en

C++ avec adapation (AMR)PETSC (Barry 2001)

résolution système linéaire en //e (MPI)

Krilov, MultiGrilleMETIS (Karypis 1996)

partitionnementBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

k? Wn+1 k+1-Wn+1 k?=G(Wn+1 G kW n idGLibMesh (Kirk 2002) gestion maillage en //e en

C++ avec adapation (AMR)PETSC (Barry 2001)

résolution système linéaire en //e (MPI)

Krilov, MultiGrilleMETIS (Karypis 1996)

partitionnementBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

k? Wn+1 k+1-Wn+1 k?=G(Wn+1 G kW n idGLibMesh (Kirk 2002) gestion maillage en //e en

C++ avec adapation (AMR)PETSC (Barry 2001)

résolution système linéaire en //e (MPI)

Krilov, MultiGrilleMETIS (Karypis 1996)

partitionnementBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

k? Wn+1 k+1-Wn+1 k?=G(Wn+1 G kW n idGLibMesh (Kirk 2002) gestion maillage en //e en

C++ avec adapation (AMR)PETSC (Barry 2001)

résolution système linéaire en //e (MPI)

Krilov, MultiGrilleMETIS (Karypis 1996)

partitionnementBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

k? Wn+1 k+1-Wn+1 k?=G(Wn+1 G kW n idGLibMesh (Kirk 2002) gestion maillage en //e en

C++ avec adapation (AMR)PETSC (Barry 2001)

résolution système linéaire en //e (MPI)

Krilov, MultiGrilleMETIS (Karypis 1996)

partitionnementBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

k? Wn+1 k+1-Wn+1 k?=G(Wn+1 G kW n idGLibMesh (Kirk 2002) gestion maillage en //e en

C++ avec adapation (AMR)PETSC (Barry 2001)

résolution système linéaire en //e (MPI)

Krilov, MultiGrilleMETIS (Karypis 1996)

partitionnementBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFPréconditionnement bas Machdépendance des variables d"état en fonction du Machr=q(1)etu=q(1)maisE=q(Ma-2)etp=q(Ma-2)NadiaLESRoe-Turkel (Viozat 1999)préconditionnement

deDpen(b2)variables entropiques [p,-→u,S]: b≈MaNadiaVFdécomposition deEtetp E t(x,t) =1g-1P0(t)+E?(x,t) p(x,t) =P0(t)+p?(x,t)équation pourE? E ?(x,t) =q(1)etp?(x,t) =q(1) P

0(t) =?V(0)V(t)?

g?

V(0)p(x,t)dxBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFPréconditionnement bas Machdépendance des variables d"état en fonction du Machr=q(1)etu=q(1)maisE=q(Ma-2)etp=q(Ma-2)NadiaLESRoe-Turkel (Viozat 1999)préconditionnement

deDpen(b2)variables entropiques [p,-→u,S]: b≈MaNadiaVFdécomposition deEtetp E t(x,t) =1g-1P0(t)+E?(x,t) p(x,t) =P0(t)+p?(x,t)équation pourE? E ?(x,t) =q(1)etp?(x,t) =q(1) P

0(t) =?V(0)V(t)?

g?

V(0)p(x,t)dxBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionSchémasNadiaLESNadiaDFNadiaVFPréconditionnement bas Machdépendance des variables d"état en fonction du Machr=q(1)etu=q(1)maisE=q(Ma-2)etp=q(Ma-2)NadiaLESRoe-Turkel (Viozat 1999)préconditionnement

deDpen(b2)variables entropiques [p,-→u,S]: b≈MaNadiaVFdécomposition deEtetp E t(x,t) =1g-1P0(t)+E?(x,t) p(x,t) =P0(t)+p?(x,t)équation pourE? E ?(x,t) =q(1)etp?(x,t) =q(1) P

0(t) =?V(0)V(t)?

g?

V(0)p(x,t)dxBuffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionMa=0FluctuationrviscositénhOndesDécroissance d"un tourbillonsolution analytiquetourbillon de TaylorRe=UmaxLn=1000solutionMa=0 (non entropique)L=1,Umax=1,r0=1,p0=r0gMa2Questions sur les schémas numériques?Fluctuation de densité?spatiale:Dr=r0gp0Dp=Ma2Dp(si isentropique)temporelle: ondes acoustiques de célérité≈c0=?gp0r0=Ma-1

Convergence vers la solutionMa=0?Buffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionMa=0FluctuationrviscositénhOndesDécroissance d"un tourbillonsolution analytiquetourbillon de TaylorRe=UmaxLn=1000solutionMa=0 (non entropique)L=1,Umax=1,r0=1,p0=r0gMa2Questions sur les schémas numériques?Fluctuation de densité?spatiale:Dr=r0gp0Dp=Ma2Dp(si isentropique)temporelle: ondes acoustiques de célérité≈c0=?gp0r0=Ma-1

Convergence vers la solutionMa=0?Buffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionMa=0FluctuationrviscositénhOndesFluctuation de densité00.20.40.60.810

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x 10 -3 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

2x 10-3

00.10.20.30.40.50.60.70.80.910

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x 10 -3

00.10.20.30.40.50.60.70.80.910

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1FIG.:fluctuationsr-1 àMa=0.1 (NadiaVF, NadiaDF, NadiaLES)allure identique à Ma=0.01avec une amplitude plus faibleNadiaVFNadiaDF WENONadiaDF PadéNadiaLESMa=0.10.3710-20.3410-20.3410-20.4410-2Ma=0.010.8410-40.3410-40.3410-40.3810-3TAB.:maximum des fluctuations de densité:rmax-rminen 802Buffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionMa=0FluctuationrviscositénhOndesFluctuation de densité00.20.40.60.810

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x 10 -3 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

2x 10-3

00.10.20.30.40.50.60.70.80.910

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x 10 -3

00.10.20.30.40.50.60.70.80.910

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1FIG.:fluctuationsr-1 àMa=0.1 (NadiaVF, NadiaDF, NadiaLES)allure identique à Ma=0.01avec une amplitude plus faibleNadiaVFNadiaDF WENONadiaDF PadéNadiaLESMa=0.10.3710-20.3410-20.3410-20.4410-2Ma=0.010.8410-40.3410-40.3410-40.3810-3TAB.:maximum des fluctuations de densité:rmax-rminen 802Buffat, Cadiou, Le Penven, Le RibaultCFT"04: schémas bas Mach en écoulement compressé

IntroductionNumériqueTourbillonCompressionConclusionMa=0FluctuationrviscositénhOndesViscosité numériquenhdes schémas fonction dehetMa 0.0001

0.001 0.01 0.1

0.01 0.1 1

% nuh hNadiaVF % de viscosite numerique

Ma=0.1

Ma=0.01?rU?t=tf?rU?t=0=e-2nep2tf

n e=n+nhquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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