Méthodes et Analyse Numériques
18 janv. 2011 I MODELISATION DISCRETISATION ET SIMULATION NUMERIQUE ... I.6.3 Stabilité d'une méthode numérique . ... II.2.10.2 Schéma implicite .
Méthodes numériques
Les schémas d'Euler explicite et implicite sont d'ordre 1 en temps et 2 en espace. Département de Mathématiques Appliquées. Transport et diffusion
RESOLUTION NUMERIQUE DISCRETISATION DES EDP ET EDO
I MODELISATION DISCRETISATION ET SIMULATION NUMERIQUE II.2.10.2 Schéma implicite . ... III.7.1 Méthodes d'Euler explicite et implicite .
Feuille de TD n 1 Schémas `a un pas explicites et implicites
On rappelle selon les notations d'Henrici
Méthode dintégration temporelle implicite pour la Simulation des
12 avr. 2018 4 Évaluation et amélioration de la méthode implicite ... 4.32 Sensibilité de la solution numérique du schéma de Crank-Nicolson (gauche) et ...
Différences finies pour les équations différentielles ordinaires
2) Test des schémas d'Euler explicite implicite et de Crank Nicolson Nous disons (et justifierons plus loin cette expression) que le schéma numérique.
Résolution numérique des Équations Différentielles Ordinaires
Le schéma d'Euler implicite c'est ce qui motive l'utilisation de méthodes numériques la plupart des EDOs ne peuvent être résolues.
Comparaison de schémas implicites et explicites centrés et
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion. Comparaison de schémas implicites et explicites centrés et décentrés en maillage mobile pour la.
Série dexercices no6/6 Équations différentielles
Analyse numérique L3- Automne 2015 Écrire le schéma d'Euler implicite en prenant un pas de temps constant. ... (b) Justifier que le schéma implicite.
4.2 Simulations numériques des EDO : schémas explicites
Notons également que nous aurions pu prendre la méthode des rectangles à droite nous n'au- rions alors pas de schéma explicite mais un schéma d'Euler implicite
[PDF] Méthodes numériques
Les schémas d'Euler explicite et implicite sont d'ordre 1 en temps et 2 en espace Département de Mathématiques Appliquées Transport et diffusion
[PDF] 42 Simulations numériques des EDO : schémas explicites
Le schéma d'Euler implicite est construit de la même manière que le schéma d'Euler explicite : par la méthode des rectangles Mais au lieu de considérer le
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Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Comparaison de schémas implicites et explicites centrés et décentrés en maillage mobile pour la
[PDF] Résolution numérique des Équations Différentielles Ordinaires
On a donc défini un nouveau schéma numérique connu sous le nom de schéma d'Euler implicite xn+1 = xn + hnf(tn+1xn+1) 4 4 1 Consistance
[PDF] Analyse numérique La méthode des différences finies
Le schéma d'Euler implicite est inconditionnellement stable a-stabilité du schéma des Trapèzes implicites Reprenons le schéma (1 30) ( 1 + a?t 2 )
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24 mai 2016 · Ce schéma est implicite car yrn`1s est définit implicitement en fonction de yrns 6 3 4 Méthodes à un pas ou à pas séparés
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[PDF] Feuille de TD n 1 Schémas `a un pas explicites et implicites
Dans cette fiche on consid`ere les schémas `a un pas implicites pour la résolution numérique de l'équation différentielle
[PDF] Cours de Bases des méthodes numériques
— Le schéma d'Euler implicite (2 9) est inconditionnellement stable en norme L? Preuve C'est une conséquence directe du principe du maximum discret (2 15)
Transport et diffusion
G. ALLAIRE
Cours no. 5 - le 11/I/2016
M´ethodes num´eriques
☞Diff´erences finies en 1-d: rappels ☞Equation de diffusion stationnaire ☞Equation de transport ☞Equation de transport stationnaire D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 2 (1) Rappels: diff´erences finies xt (t , x ) njΔxjnΔt
Maillage:
discr´etisation de l"espace et du temps (tn,xj) = (nΔt,jΔx) pourn≥0,j?ZΔt=
pas de temps,Δx=
pas d"espace (suppos´es "petits"). D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 3Exemple de l"´equation de diffusion en 1-d
?∂u∂t-ν∂2u ∂x2= 0 dans (0,1)×IR+? u(t,x= 0) =u(t,x= 1) = 0 pourt?IR+? u(t= 0,x) =u0(x) dans (0,1) avecν >0. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 4Principe des diff´erences finies
On calcule des
approximations unj≈u(tn,xj) On remplace les d´eriv´ees par desdiff´erences finies ∂u∂x(tn,xj)≈unj+1-unj-12Δxou bien≈unj+1-unj
Δxou bien≈unj-unj-1
Δx Principe de discr´etisation:on remplace un probl`eme de dimension infinie (calculer la fonctionu(t,x)) par un probl`eme de dimension finie (calculer les valeurs discr`etesunj), qui seul peut ˆetre r´esolu par un ordinateur. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 5 Diff´erences divis´ees et formules de TaylorIl n"y a pas
unicit´e des formules d"approximation par diff´erences finies.On utilise des
formules de Taylor . Par exemple -u(t,x-Δx) + 2u(t,x)-u(t,x+ Δx) =-(Δx)2∂2u ∂x2(t,x) (Δx)412∂
4u ∂x4(t,x) +O? (Δx)6? On en d´eduit la formule (centr´ee en espace) ∂2u ∂x2(tn,xj)≈-unj-1+ 2unj-unj+1 (Δx)2 `a un terme d"ordre (Δx)2pr`es. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 6Approximation de la d´eriv´ee en temps
➩Sch´ema d"Euler explicite(progressif en temps, ou "forward"): ∂u ∂t(tn,xj)≈un+1 j-unj Δt ➩Sch´ema d"Euler implicite(r´etrograde en temps, ou "backward"): ∂u ∂t(tn,xj)≈unj-un-1 j Δt D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 7 Sch´emas pour l"´equation de diffusion en 1-d ➩sch´ema d"Euler explicite: le plus simple un+1 j-unjΔt+ν-unj-1+ 2unj-unj+1
(Δx)2= 0 (explicite?formule imm´ediate pour trouverun+1en fonction deun) ➩sch´ema d"Euler implicite: le plus stable unj-un-1 jΔt+ν-unj-1+ 2unj-unj+1
(Δx)2= 0 (implicite?syst`eme lin´eaire pour trouverunen fonction deun-1) Initialisation:u0j=u0(xj) o`uu0(x) est la condition initiale. Conditions aux limites:un0=unN+1= 0 pour toutn≥1. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 8Consistance et pr´ecision
D´efinition.Un sch´ema de formuleF(unj) = 0 est dit consistant avec l"´equation qu"il discr´etise si l"erreur de troncature v´erifie limΔt,Δx→0F?
u(tn,xj)? = 0si et seulement siu(t,x) est solution de l"´equation. On dit que le sch´ema est pr´ecis `a l"ordrepenxet `a l"ordreqentsi l"erreur de troncature estO? (Δx)p+ (Δt)q? Exercice.Les sch´emas d"Euler explicite et implicite sont d"ordre 1 en temps et 2 en espace. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion9Stabilit´e
On consid`ere une des deux normes discr`etes
?un?2=(( N? j=1Δx|unj|2))1/2D´efinition.Un sch´ema est dit
stable pour une de ces normes s"il existe une constanteK >0 ind´ependante de Δtet Δxtelle que quelle que soit la donn´ee initialeu0. Si cette in´egalit´e a lieu sous une condition entre Δtet Δx, on dit que le sch´ema est conditionnellement stable D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 10Condition de stabilit´eL∞
Lemme.Le sch´ema explicite est stable en normeL∞si et seulement si la condition CFL suivante est satisfaiteD´emonstration
(principe du maximum discret): le sch´ema explicite est ´equivalent `a u n+1 j=νΔt (Δx)2unj-1+?1-2νΔt
(Δx)2? u n j+νΔt (Δx)2unj+1 u n+1 jest une combinaison convexe si la condition CFL est satisfaite. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 11 Si la condition CFL n"est pas satisfaite, il y a instabilit´e. Exemple: u 0 j= (-1)j?unj= (-1)j?1-4νΔt
(Δx)2? n qui tend (en valeur absolue) vers∞car 2νΔt >(Δx)2?1-4νΔt (Δx)2<-1. Exercice.Le sch´ema d"Euler implicite est inconditionnellement stable en normeL∞. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 12Stabilit´eL2: deux m´ethodes
1. Condition n´ecessaire de Von Neumann dans le cas p´eriodique.
2. In´egalit´es d"´energie dans le cas g´en´eral.
Dans le cas de
conditions aux limites p´eriodiques on peut utiliser une m´ethoded"analyse de Fourier.Plutˆot que de d´ecrire en d´etails cette m´ethode, on rappelle une condition
n´ecessaire tr`es simple, dite deVon Neumann.
On consid`ere une solution discr`ete particuli`ere sous laforme d"un mode deFourier, pourk?Z,
u n j=A(k)nexp(2iπkxj) avecxj=jΔx. En injectant cette solution dans la d´efinition du sch´ema ontrouve une formule pour le coefficient d"amplificationA(k)?C D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 13 Condition n´ecessaire de stabilit´e de Von Neumann.Le sch´ema est stable seulement si le coefficient d"amplification v´erifie Remarque.Dans de nombreux cas on peut montrer que la condition n´ecessairede Von Neumann est aussi suffisante (mais pas toujours !). D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 14 Lemme.La condition n´ecessaire de stabilit´e (en normeL2) de Von Neumann est satisfaite inconditionnellement par le sch´ema d"Euler implicite, et sous laD´emonstration.Sch´ema implicite
u n j-un-1 jΔt+ν-unj-1+ 2unj-unj+1
(Δx)2= 0 dont on d´eduit, pour la solution particuli`ereunj=A(k)nexp(2iπkxj), A(k)?1 +νΔt
(Δx)2(-exp(-2iπkΔx) + 2-exp(2iπkΔx))? = 1On v´erifie que
A(k) =1
1 +4νΔt
Pour le sch´ema explicite on trouve queA(k) = 1-4νΔt (Δx)2(sin(πkΔx))2. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 15M´ethode d"in´egalit´es d"´energie
Commen¸cons par une in´egalit´e d"´energie pour l"´equation de diffusion.Lemme.Soitu(t,x) une solution r´eguli`ere de
?∂u ∂t-ν∂2u ∂x2= 0 dans (0,1)×IR+? u(t,x= 0) =u(t,x= 1) = 0 pourt?IR+? u(t= 0,x) =u0(x) dans (0,1)Alors elle v´erifie l"in´egalit´e, dite
d"´energie , pour toutt >0, 1 0 1 0 |u0(x)|2dx. Remarque.Rien `a voir, parfois, avec l"´energie physique ! D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 16 D´emonstration.On multiplie l"´equation paruet on int`egre par parties 1 0 u∂u ∂tdx+ν? 1 0? ∂u ∂x? 2 dx-ν? u∂u ∂x(t,1)-u∂u ∂x(t,0)? = 0. Les termes de bord s"annulent `a cause des conditions aux limites et, en int´egrant en temps, on obtient 1 2? 1 0 |u(t,x)|2dx-1 2? 1 0 |u(0,x)|2dx+ν? t 0? 1 0? ∂u ∂x(s,x)? 2 dxds= 0 d"o`u l"on d´eduit le r´esultat en minorant par z´ero la derni`ere int´egrale. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 17 sch´ema implicite . Alors elle v´erifie l"in´egalit´e Donc, le sch´ema implicite est inconditionnellement stable en normeL2. D´emonstration.On multiplie par (ΔtΔx)unjla formule du sch´ema implicite u n j-un-1 jΔt+ν-unj-1+ 2unj-unj+1
(Δx)2= 0 et on somme enj (´equivalent de l"int´egration en espace) pour obtenirΔxN?
j=1u n j(unj-un-1 j) +νΔtΔxN
j=1u n j? (unj-unj+1)-(unj-1-unj)? = 0.On r´earrange la derni`ere somme
(´equivalent d"une int´egration par parties)ΔxN?
j=1u n j(unj-un-1 j)+νΔtΔxN
j=1u n j(unj-unj+1)-νΔtΔxN-1?
j=0u n j+1(unj-unj+1) = 0. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 18 En utilisant la condition aux limites de Dirichlet, il vientΔxN?
j=1u n j(unj-un-1 j) +νΔtΔxN
j=0(unj-unj+1)2= 0.On minore par 0 la derni`ere somme
ΔxN?
j=1u n jun-1 jRemarque.
On a copi´e, dans le cas discret, la d´emonstration du cas continu ! D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion19Convergence
Th´eor`eme de Lax.Un sch´ema lin´eaire, consistant et stable est convergent. De plus, si le sch´ema est pr´ecis `a l"ordrepenxet `a l"ordreqentalors la vitesse de convergence estO? (Δx)p+ (Δt)q?D´emonstration.Voir le polycopi´e.
D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 20 (2) Equation de diffusion stationnaire Pour bien comprendre, on refait la mˆeme chose ! ?-ν∂2u ∂x2+σ(x)u=f(x) dans (0,1) u(x= 0) =u(x= 1) = 0 avecν >0, la sourcef(x)?L2(0,1) et l"absorptionσ(x)≥0. Lemme (estimation d"´energie).La solutionuv´erifie 1 0?ν|u?|2+σ|u|2?
dx=? 1 0 f udx, donc il existe une constanteC >0 telle que, pour toute sourcef, D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 21Sch´ema en stationnaire
-uj-1+ 2uj-uj+1 avec les conditions aux limites:u0=uN+1= 0. Il faut r´esoudre un syst`eme lin´eaire pour trouver la solution discr`ete.Lemme.La matrice du syst`eme est inversible.
D´efinition.Un sch´ema est dit
stable pour la norme?u?s"il existe une constanteK >0 ind´ependante de Δxtelle que D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 22Stabilit´eL2et convergence en stationnaire
On utilise l"approche d"in´egalit´e d"´energie.NormeL2discr`ete: ?(uj)?2=???? N? j=1Δx|uj|2.Lemme 1.La solution discr`ete v´erifie
N? j=1(uj-uj-1)2Δx+N?
j=1Δxσj(uj)2=N? j=1Δxujfj. Lemme 2.In´egalit´e de Poincar´e discr`ete: pour tout vecteur (vj) avec v0=vN+1= 0
N? 2N j=1Δx?vj-vj-1Δx?
22ν?(fj)?2.
D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 23Preuves des Lemmes 1 et 2
On multiplie le sch´ema par Δxujet on "int`egre par parties" en discret (r´earrangement de la somme) N j=1Δxνuj-uj-1+ 2uj-uj+1 (Δx)2=νN? j=1u j(uj-uj-1)-(uj+1-uj) Δx =νN? j=1u j(uj-uj-1)Δx-νN+1?
j=2u j-1(uj-uj-1)Δx=νN?
j=1(uj-uj-1)2 ΔxIn´egalit´e de Poincar´e:
v j=j? k=1(vk-vk-1)2 Or D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 24???Convergence
Th´eor`eme de Lax.Le sch´ema converge au sens o`u la fonction u Δx(x) =ujsixj-1/2< x < xj+1/2avecxj+1/2= (j+ 1/2)Δx converge vers la solution exacteu, i.e., limΔx→0?uΔx-u?L2(0,1)= 0.
Preuve.Supposons queu?C4[0,1] (c"est vrai sifetσsont r´eguli`eres). La consistance du sch´ema donne????-u(x-Δx) + 2u(x)-u(x+ Δx) (Δx)2+u??(x)????12maxx?[0,1]|u????(x)|
D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 25Soit l"erreur discr`eteej=uj-u(xj) qui v´erifie -ej-1+ 2ej-ej+1 avec les conditions aux limites,e0=eN+1= 0, et le second membre
12maxx?[0,1]|u????(x)|
On d´eduit de l"estimation d"´energie discr`ete24νmaxx?[0,1]|u????(x)|
PΔxu(x) =u(xj) sixj-1/2< x < xj+1/2.
D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 26Stabilit´eL∞et convergence en stationnaire
Lemme.Le sch´ema est stableL∞.
Preuve.V´erifions le principe du maximum discret. On supposef≥0 ; montrons queuj≥0. u j0< uj0-1(existe forc´ement caru0= 0). On a =ν((uj0-uj0-1) + (uj0-uj0+1)) +σj0(Δx)2uj0<0Contradiction, doncuj≥0.
Th´eor`eme de Lax.Le sch´ema converge au sens o`u lim D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 27(3) Equation de transport
On supposeV >0.
?∂u ∂t+V∂u ∂x= 0 pour (x,t)?(0,1)×IR+? u(t,0) =g(t) pourt?IR+? u(0,x) =u0(x) pourx?(0,1). Si on ´etendu0(x) par 0 en dehors de l"intervalle (0,1), etg(t) par 0 pour t <0, la solution exacte est u(t,x) =u0(x-V t) +g(t-x V). D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 28Sch´ema d´ecentr´e amont (upwind)
Un bon sch´ema:
sch´ema d´ecentr´e amontun+1 j-unjΔt+Vunj-unj-1
Δx= 0 siV >0.
On va chercher l"information enremontant le courant( une des id´ees majeures de l"analyse num´erique Autres sch´emas possibles: Lax-Friedrichs (trop diffusif), Lax-Wendroff (pr´ecis mais dispersif).Condition aux limites du sch´ema:un0=g(tn).
D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 29Analyse du sch´ema d´ecentr´e amont
Lemme.Le sch´ema d´ecentr´e amont est stableL∞sous la condition CFL Il est pr´ecis d"ordre 1 seulement (sauf si|V|Δt= Δx). Il est donc convergent.Preuve:on peut le r´e´ecrire sous la forme
u n+1 j=VΔtΔxunj-1+?
1-VΔt
Δx?
u n j, principe du maximum discret.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] méthode d'euler équation différentielle python
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