FONCTIONS COSINUS ET SINUS
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. FONCTIONS COSINUS ET SINUS. I. Rappels. 1) Définitions : Dans le plan muni d'un repère.
Fonction Trigo
I ] Les fonctions sinus et cosinus ( rappels de seconde ). 1) Définitions et valeurs Ensemble de définition = R . (rappel de 1er : cos ' x = - sin x ).
Fonctions sinus et cosinus
Définitions : Soit un repère orthonormal (O; I; J). On appelle cosinus de x noté cos x
Première S - Cosinus et sinus dun nombre réel
(voir figure ci-dessous). Par enroulement de la droite (d) sur le cercle (C) M'(1 ; ) a pour image M. Définition : Les coordonnées du point M sont : (cos ; sin ).
Première partie : définition des fonctions sinus et cosinus
On en déduit la propriété suivante : Définition : : Soit M un point du cercle . Il existe une unique abscisse curviligne appartenant à l'intervalle ] - ? ; + ?
Fonctions trigonométriques réciproques
1 Définitions. Les fonctions sinus cosinus définies de r dans l'intervalle [-1 ;1] sont des applications surjectives par définition
Chapitre II : Trigonométrie I Définition
Définition I.2. • La fonction cosinus notée cos est la fonction qui à tout réel ? associe son cosinus
Chapitre 10 : TRIGONOMÉTRIE
3) Définition : Sinus. Dans un triangle rectangle le sinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à l'angle par la.
Chapitre III - Fonctions hyperboliques
1.1 Définition. On appelle fonction sinus hyperbolique la fonction sh : R ? Rx ?? shx = ex ? e?x. 2 . On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction
ONCLE PAUL
la base d'implantation du cornet nasal Le sinus maxillaire est visible sur cliché standard vers ... Définition de la cellule d'Onodi selon Matern :.
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Définitions : - Le cosinus du nombre réel x est l'abscisse de M et on note cos x - Le sinus du nombre réel x est l'ordonnée de M et on note sin x
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2 1 Définition des lignes trigonométriques Le cosinus est donc une ligne trigonométrique qui va avec le sinus ou encore qui est associée au sinus
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Définitions : Soit M un point du cercle trigonométrique tel que IOM ! = x rad Le cosinus de x noté cos x est l'abscisse de M Le sinus de x noté sin x
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Définition : Soit un repère orthonormal (O; I; J) Définitions : La fonction sinus est la fonction f définie sur R par : f(x) = sin x Propriétés :
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Définition (Fonctions cosinus et sinus) Les quantités trigonométriques cos et sin définissent des fonctions trigonométriques sur R dont voici les graphes
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Définition On appelle cosinus et on note cos la fonction du théor`eme On appelle sinus et on note sin l'opposée de la dérive du cosinus : sin = ?cos
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Dans un triangle rectangle on appelle sinus d'un angle aigu le rapport du côté opposé à l'angle et de l'hypoténuse Exemple et notation : sin a = BC AB Dans
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Les fonctions Sinus et Cosinus permettent de décrire les sons produits par les instruments de musique et les voix Plus généralement elles servent pour décrire
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Définition : Les coordonnées du point M sont : (cos ; sin ) Les cosinus de noté cos est l'abscisse du point M
Quel est le domaine de définition de la fonction sinus ?
Une fonction sinus est une fonction périodique définie par l'ordonnée des points du cercle trigonométrique en fonction de la mesure des angles (en radians) du cercle.Quelle est la formule du sinus ?
sin x = (2 tg x/2) / (1 + tg² x/2) cos x = (1 - tg² x/2) / (1 + tg² x/2)Pourquoi on utilise le sinus ?
La loi des sinus permet de trouver la mesure d'un côté ou d'un angle dans un triangle quelconque. Pour ce faire, il faut connaitre la mesure d'un angle, de son côté opposé et d'un autre côté ou d'un autre angle.
Cosinus et sinus d'un nombre réel
I) Définition
Soit ݔun nombre réel. On considère le cercle trigonométrique (C) et la tangente (d) en I. On
munit (d) d'un repère (I ;ଔԦ ). (voir figure ci-dessous) Par enroulement de la droite (d) sur le cercle (C), M'(1 ; ݔ) a pour image M.Définition :
Les coordonnées du point M sont : (cos࢞ ; sin࢞ ) Les cosinus de ࢞ noté cos ࢞ est l'abscisse du point M. Le sinus de ࢞noté sin࢞ est l'ordonnée du point M.Exemples :
Le nombre గ
a pour image le point J de coordonnées (0 ; 1) donc cos = 1 et sin గLe nombre ߨ
donc cosߨ = -1 et sin ߨII) Propriétés :
Pour tout nombre réel ࢞ et tout nombre entier relatif : • -1 cos ࢞ 1 -1 sin ࢞ 1• cos (࢞࣊) = cos࢞ sin (࢞࣊) = sin࢞
• cos²࢞ + sin²࢞ = 1Démonstration:
• Le périmètre du cercle étant 2ߨ ,݇ tours du cercle correspondent 2݇ߨݔ' =ݔ + 2݇ߨ ( ݇߳Ժ ). D'où cos (ݔʹ݇ߨ ) = cos ݔ et sin (ݔʹ݇ߨ
• Comme cos² ݔ + sin² ݔ = 1 alors -1 cos ݔ 1 et -1 sin ݔ 1
Autre explication : comme cos ݔ et sin ݔ sont les abscisses et les ordonnéesde tout point du cercle trigonométrique alors -1 cos ݔ 1 et -1 sin ݔ 1
Soit M (ݔ ; ݕ) . Dans le triangle OMA rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :OM² = OA² + AM²
AM = OE = sin ݔ
OA = cos ݔ
OM = 1 car sa mesure est le rayon du cercle
(C) on obtient donc :1 = cos² ݔ + sin² ݔ
III) Tableau des valeurs à connaitre
ݔ (radians) 0 ߨ
cosݔ 1 t t 0 -1 sin 0 ͳ t t 1 0 Valeurs usuelles sur le cercle trigonométrique :IV) Cosinus et sinus d'angles orientés
1) Définition :
Soit ࢛,,& et ࢜,,& deux vecteurs. Il existe un réel ࢞ tel que (࢛,,& ; ࢜,,& ) = ࢞.
cos (࢛ ,,& ; ࢜,,& ) = cos࢞ sin (࢛ ,,& ; ࢜,,& ) = sin࢞Exemples
Exemple 1 :
Le plan orienté est muni d'un repère orthonormé direct (O ; ଓԦ ;ଔ ,,&) . Déterminer :Solutions:
Exemple 2 : ABC est un triangle équilatéral.Solution :
ସ (2ߨ 6 sin (െଓ 6ABC est un triangle équilatéral donc :
ଷ (2ߨ ) = cos (- గ ) = sin (- గ 62) Formules trigonométriques
Propriété 1 :
• cos ( -࢞ ) = cos ࢞ • cos (࣊െ࢞) = െ cos࢞ • cos (࣊࢞) = െ cos࢞
sin ( -࢞) = -sin ࢞ sin (࣊െ࢞) = sin࢞ sin (࣊࢞) = െsin࢞
M et N ont la même M et N ont la même M et N ont les abscisse et les ordonnée et les abscisses abscisses et les ordonnées opposées. opposées. ordonnées opposées.Démonstration :
• Les angles de mesures ݔ et -ݔ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Par symétrie
on en déduit que : cos (-ݔ) = cos ݔ et sin (-ݔ) = -sin ݔLes angles de mesures ݔ et ߨ
symétrie on en déduit que : cos (ߨെݔ) = െ cosݔ et sin (ߨLes angles de mesures ݔ et ݔߨ
déduit que : cos (ߨݔ) = െ cosݔ et sin (ߨPropriété 2 :
• cos െ࢞) = sin ࢞ • cos ( ࢞) = െsin ࢞ sin െ࢞) = cos ࢞ sin (࣊ ࢞) = cos ࢞M et N sont symétriques par rapport N
1 est le symétrique de N (de la figure à la droite (ȟ) d'équation ݕൌݔ ci-contre) par rapport à l'axe des Leurs coordonnées sont permutées : ordonnées.L'abscisse de l'un et l'ordonnée de l'autre
et vice-versa.Donc :
cos ( sin Un démonstration plus rigoureuse de ces formules se font à partir des formules d'addition du cosinus et sinus ( voir la fiche de cours : Application du produit scalaire :Trigonométrie )
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