FONCTIONS COSINUS ET SINUS
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. FONCTIONS COSINUS ET SINUS. I. Rappels. 1) Définitions : Dans le plan muni d'un repère.
Fonction Trigo
I ] Les fonctions sinus et cosinus ( rappels de seconde ). 1) Définitions et valeurs Ensemble de définition = R . (rappel de 1er : cos ' x = - sin x ).
Fonctions sinus et cosinus
Définitions : Soit un repère orthonormal (O; I; J). On appelle cosinus de x noté cos x
Première S - Cosinus et sinus dun nombre réel
(voir figure ci-dessous). Par enroulement de la droite (d) sur le cercle (C) M'(1 ; ) a pour image M. Définition : Les coordonnées du point M sont : (cos ; sin ).
Première partie : définition des fonctions sinus et cosinus
On en déduit la propriété suivante : Définition : : Soit M un point du cercle . Il existe une unique abscisse curviligne appartenant à l'intervalle ] - ? ; + ?
Fonctions trigonométriques réciproques
1 Définitions. Les fonctions sinus cosinus définies de r dans l'intervalle [-1 ;1] sont des applications surjectives par définition
Chapitre II : Trigonométrie I Définition
Définition I.2. • La fonction cosinus notée cos est la fonction qui à tout réel ? associe son cosinus
Chapitre 10 : TRIGONOMÉTRIE
3) Définition : Sinus. Dans un triangle rectangle le sinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à l'angle par la.
Chapitre III - Fonctions hyperboliques
1.1 Définition. On appelle fonction sinus hyperbolique la fonction sh : R ? Rx ?? shx = ex ? e?x. 2 . On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction
ONCLE PAUL
la base d'implantation du cornet nasal Le sinus maxillaire est visible sur cliché standard vers ... Définition de la cellule d'Onodi selon Matern :.
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Définitions : - Le cosinus du nombre réel x est l'abscisse de M et on note cos x - Le sinus du nombre réel x est l'ordonnée de M et on note sin x
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2 1 Définition des lignes trigonométriques Le cosinus est donc une ligne trigonométrique qui va avec le sinus ou encore qui est associée au sinus
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26 jui 2013 · Définition 1 : On appelle mesure principale d'un angle ? la mesure x qui se Définition 3 : On appelle fonctions sinus et cosinus les
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Définitions : Soit M un point du cercle trigonométrique tel que IOM ! = x rad Le cosinus de x noté cos x est l'abscisse de M Le sinus de x noté sin x
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Définition : Soit un repère orthonormal (O; I; J) Définitions : La fonction sinus est la fonction f définie sur R par : f(x) = sin x Propriétés :
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Définition (Fonctions cosinus et sinus) Les quantités trigonométriques cos et sin définissent des fonctions trigonométriques sur R dont voici les graphes
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Définition On appelle cosinus et on note cos la fonction du théor`eme On appelle sinus et on note sin l'opposée de la dérive du cosinus : sin = ?cos
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Dans un triangle rectangle on appelle sinus d'un angle aigu le rapport du côté opposé à l'angle et de l'hypoténuse Exemple et notation : sin a = BC AB Dans
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Les fonctions Sinus et Cosinus permettent de décrire les sons produits par les instruments de musique et les voix Plus généralement elles servent pour décrire
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Définition : Les coordonnées du point M sont : (cos ; sin ) Les cosinus de noté cos est l'abscisse du point M
Quel est le domaine de définition de la fonction sinus ?
Une fonction sinus est une fonction périodique définie par l'ordonnée des points du cercle trigonométrique en fonction de la mesure des angles (en radians) du cercle.Quelle est la formule du sinus ?
sin x = (2 tg x/2) / (1 + tg² x/2) cos x = (1 - tg² x/2) / (1 + tg² x/2)Pourquoi on utilise le sinus ?
La loi des sinus permet de trouver la mesure d'un côté ou d'un angle dans un triangle quelconque. Pour ce faire, il faut connaitre la mesure d'un angle, de son côté opposé et d'un autre côté ou d'un autre angle.
TRAVAUX DIRIGES Fonctions sinus et cosinus
Première partie : définition des fonctions sinus et cosinusEn enroulant comme ci-dessous une droite munie d'un repère d'unité
1 sur le cercle trigonométrique ( cercle de rayon 1 orienté ) on peut
"graduer" le cercle.Plus précisément le point N d'abscisse x sur la droite vient en M sur le cercle.x est appelé abscisse curviligne de M On admet :® Chaque point M admet une infinité d'abscisses curvilignes ( Onpeut enrouler le cercle plusieurs fois )® Il est associé un unique point M sur le cercle à un réel x donné Définition : Soit x un nombre réel . Soit M le point d'abscisse curviligne x sur le cercle trigonométrique. ® On appelle cosinus de x ( noté cos x ) l'abscisse de x ® On appelle sinus de x ( noté sin x ) l'ordonnée de x ® La fonction cosinus ( notée cos ) associe à tout réel x son cosinus
® La fonction sinus ( notée sin ) associe à tout réel son sinus Deuxième partie : Abscisse curviligne principale On peut visualiser les abscisses curvilignes d'un point sur le cercle trigonométrique comme l' ensemble des distances sur le cercle
( affectées de signe + ou - suivant le sens de parcours ) permettant de passer du point O au point M . En ce sens il existe un parcours le plus court sur le cercle trigonométrique . Celui ci correspond à ce que l'on appelle l'abscisse
curviligne principale .11/07PREMIERE S Page 1 sur 5
TRAVAUX DIRIGES Fonctions sinus et cosinus
Premier cas : M appartient au demi-cercle supérieur. L'abscisse curviligne principale est LDeuxième cas : M appartient strictement au demi cercle inférieur .L'abscisse curviligne principale est - L'On en déduit la propriété suivante :Définition : : Soit M un point du cercle . Il existe une unique abscisse curviligne appartenant à l'intervalle ] - p ; + p ] . Elle est appelée abscisse curviligne principale .Exercice 1 :
1) Placer sur le cercle trigonométrique ci-contre les
points A , B , C , D , E et F d'abscisses curvilignes pppppp9- ; 2 ; 27 ; 2
3 ; 2 ; 2) En déduire les valeurs de
)sin(-9 ; 2sin ; 27sin ; 23sin ; 2sin ; sin pppppp puis de )cos(-9 ; cos2 ; 27cos ; 23cos ; 2 cos ; cos ppppppE2 :1) Placer sur le cercle trigonométrique ci-contre les points A ,B , C ,D , E , F , G et H d'abscisses curvilignes 32004 ; 3
19 ; 4
5- ; 6
5 ; 3
2- ; 3 ; 4 ; 6
pppppppp2) Donner l'abscisse curviligne principale de F , G et H .11/07PREMIERE S Page 2 sur 5
TRAVAUX DIRIGES Fonctions sinus et cosinus
Troisième partie : Propriétés des fonctions sinus et cosinus 1) Représentations graphiques
Exercice 3 : La représentation graphique de la fonction sinus est donnée ci-dessus :1) a) Placer sur l'axe des abscisses les valeurs suivantes : pppppp-4 ; 3 ; 2 ; ; - ; 2
b) Placer de même 27 ; 2 ; 2- ; 23 pppp-2) On considère l'équation 21)xsin( a) Combien l'équation admet-elle de solutions sur [ -2p ; 4p ] ?b) Donner ( comme fraction de p ) les valeurs exactes de ces solutions . Exercice 4 : La représentation graphique de la fonction cosinus est donnée ci-dessous :On considère l'équation 21)xcos(
a) Combien l'équation admet elle de solutions sur [ -2p ; 4p ] ?b) Donner ( comme fraction de p ) les valeurs exactes de ces solutions . Exercice 5 : Les représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus sont données ci-dessous :
-5510 -111) On considère l'équation sin ( x ) = cos ( x ) a) Combien l'équation admet-elle de solutions sur [ -2p ; 4p ] ?
b) Donner (comme fraction de p ) les valeurs exactes de ces solutions 11/07PREMIERE S Page 3 sur 5 -5510 -1 1 -5510 -1 1TRAVAUX DIRIGES Fonctions sinus et cosinus
2) a) Par quelle translation la représentation graphique de la fonction cosinus est elle l'image de la représentation graphique de la fonction sinus ? . b) En déduire une relation entre les fonctions sinus et cosinus .QUELQUES INFORMATIONS® La fonction sinus est impaire Ainsi sin ( -x ) = - sin ( x ) pour tout x de IR ® La fonction cosinus est paire Ainsi cos ( -x ) = cos ( x ) pour tout x de IR® Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2p
Ainsi sin ( x + 2p ) = sin ( x ) pour tout x de IR et cos ( x + 2p ) = cos (x) pour tout x de IR En effet les points d'abscisses curvilignes x et x + 2p sont confondus sur le cercle trigonométrique .® Le point M (cosx , sinx ) appartient au cercle de centre O et de rayon 1 donc OM = 1 donc sin²(x) + cos²(x) = 1Quatrième partie : Lignes trigonométriques remarquables Quelques considérations de géométrie élémentaire permettent d'obtenir le tableau de valeurs ci-dessous :x0p /6p /4p /3p /2
Sin(x)01/22/22/31
Cos(x)1
2/32/21/20
les symétries sur le cercle trigonométrique permettent d'obtenir les résultats présentés ci-dessous :Exercice : Déterminer les valeurs exactes des sinus et cosinus des réels suivant :
37p ; 65p ; 43p ; 47p- ; 6233p; 42005p 11/07PREMIERE S Page 4 sur 5
TRAVAUX DIRIGES Fonctions sinus et cosinus
Cinquième partie : Cosinus et Sinus des angles associés .Des considérations de symétrie sur le cercle trigonométrique donnent :o
M A N o M A N o M A N o M A N o M Au NkvEXERCICE : 1) Simplifier les expressions suivantes : A = sin(p - x) - sin(x) + sin(p + x)
B = cos(x) + cos(x+p/2) + cos(x + p) +cos(-x - 3p/2) C = sin(245p + x) + cos(71p/2 - x ) 2) Démontrer que : 0813sin811sin85sin83sin=p+p+p+p 3) N° 71 page 252 4) N° 44 page 249 4) N° 38 et 39 page 249 ( Il faudra utiliser la formule cos²(x) + sin²(x) = 1 )Sixième partie : Résolution d' équations Dans la première partie nous avons résolu à l'aide des représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus les équations
21)xsin(
= et 21)xcos(= . Grâce aux exercices ci-dessous vous allez apprendre à résoudre de telles équations en utilisant le cercle
trigonométrique .N° 72 , 73 et 74 page 25211/07PREMIERE S Page 5 sur 5
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