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L1 - MATH1A - FORMULAIRE

Table des matières

1 Limites et continuité1

2 Dérivées3

3 Fonctions classiques4

3.1 Fonctions puissancesx2R+7!f(x) =xr= erlnx,r2R.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Homographiesx2Rn fdg 7!ax+bx+d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

3.3 Fonction logarithme népérienx2R+7!ln(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

3.4 Fonction exponentiellex2R7!ex>0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

3.5 Fonction partie entièrex2R7!E(x)2Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

3.6 Fonctions trigonométriques.

4

3.7 Fonctions hyperboliques

5

4 Développements limités6

5 Primitives et intégrales8

1 Limites et continuité

Proposition(encadrement).On considère trois fonctionsf;g;hdéfinies sur un intervalle ouvertIRtelles quef

ghsurI.

1.Sifethont la même limite`(finie ou infinie) au pointc2R, alorsg(x)tend vers`quandxtend versc.

2.SiI= ]a;+1[et sifethont la même limite`(finie ou infinie) quandxtend vers+1, alorsg(x)tend vers`quand

xtend vers+1.

3.SiI= ]1;a[et sifethont la même limite`(finie ou infinie) quandxtend vers1, alorsg(x)tend vers`quand

xtend vers1.

Opérations sur les limites de fonctions.Soientfetgdeux fonctions telles quelimx!cf(x) =`1etlimx!cg(x) =`2.

(c2Rouc=1). Alors 1.

Somme de deux fonctions :

(a)

Si `1;`22R,limx!c(f(x) +g(x)) =`1+`2

(b)

Si `1=`2= +1,limx!c(f(x) +g(x)) = +1.

(c)

Si `1=`2=1,limx!c(f(x) +g(x)) =1.

(d) Si `1= +1et`2=1,limx!c(f(x) +g(x))est indéterminée. 2.

Pro duitde deux fonctions :

(a)

Si `1;`22R,limx!cf(x)g(x) =`1`2:

(b) Si `1=1et`22R, alorslimx!cf(x)g(x) =1(suivant la règle des signes). (c) Si `1=1et`2= 0, alorslimx!cf(x)g(x)est indéterminée. 3.

On déduit les règles sur le quotien tde deux fonctions des règles précéden tes.En particulier :

(a) Si `1= 0et`2= 0, alorslimx!cf(x)g(x)est indéterminée. (b) Si `1=1et`2=1, alorslimx!cf(x)g(x)est indéterminée. 1

Fonctions équivalentes.

Définition.Deux fonctionsfetgsont équivalentes en un pointc2Rsif(x) =g(x)(1 +"(x))au voisinage decet

lim x!c"(x) = 0.

Signe s"annule pas au voisinage dec, cela revient àlimx!cf(x)g(x)= 1. On notefcg(ou simplementfgsicest

sous-entendu).

Proposition.On ne change pas la limite d"un produit ou d"un quotient de deux fonctions en un point si on remplace

l"une de ces fonctions par une fonction équivalente.

1.ff1etgg1)fgf1g1.

2.ff1)1f

1f

1(sifetf1) ne s"annulent pas au voisinage dec.

3.ff1)fnfn1,n2N.

4.ff1)fafa1,a2R, sifetf1sont strictement positives au voisinage dec.

Remarque.Attention :ff1etgg16)f+gf1+g1. De même,ff16)efef1.

Enfin,ff16)lnflnf1.

Limites fondamentales.Soient deux polynômesP(x) =a0+a1x++apxpetQ(x) =b0+b1x++bqxq. Alors : lim x!1P(x)Q(x)=8 :0sip < q a pb qsip=q

1sip > qlim

x!0P(x)Q(x)=a0b 0 lim x!1xsin1x = 1 lim x!0sinxx = 1 lim x!1x2

1cos1x

=12 lim x!01cosxx 2=12 lim x!1 1 +ax x= ealim x!0(1 +ax)1x = ea(a2R) lim x!1x ln 1 +1x = 1 lim x!0ln(1 +x)x = 1 lim x!1x a1=x1 = lnalim x!0a x1x = lna(a >0) lim x!1x 1 +1x a 1 =alim x!0(1 +x)a1x =a(a2R)

Proposition(Fonctions composées).Soient deux fonctionsfetgetc2Rtels quefsoit continue au pointcetgsoit

continue au pointf(c). Alors la fonction composéegfest continue au pointc.

Théorème(Valeurs intermédiaires).SoientIRun intervalle etf:I!Rune fonction continue. Soienta;b2Itels

quef(a)f(b). Alors, pour touty2[f(a);f(b)], il existex2[a;b]tel quef(x) =y. Autrement dit : l"image d"un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Corollaire.Soitf: [a;b]!Rune fonction continue telle quef(a)f(b)<0. Alors il existec2]a;b[tel quef(c) = 0.

Théorème(de la bijection).Soitfune fonction continue et strictement monotone sur un intervalleIR. Alors :

1.finduit une bijection deIsurf(I).

2.De plus sa bijection réciproquef1est continue, monotone, et de même sens de variation quef.

Equivalents usuels.

sin(x)0x;1cos(x)0x 22
;ex10x;ln(1 +x)0x;(1 +x)a10ax(poura2R) P(x);Q(x)fonctions polynômes=)P(x)Q(x)1quotient des termes de plus haut degré 2

2 Dérivées

Proposition.Soientfetgdeux fonctions dérivables d"une variable réelle, de domaines de définition respectifDfetDg,

et si2R. Alors :

1.Les fonctionsf+g,fetfgsont dérivables, et on a :

(f+g)0=f0+g0;(f)0=f0;(fg)0=f0g+fg0:

2.Sif(Df) Dg, alorsgfest dérivable surDfet

(gf)0=f0(g0f):

3.SiDf=I(oùIest un intervalle) et sif0(x)6= 0pour toutx2I, alorsfest bijective surI, alors, pour toutx2I,

l"application réciproquef1est dérivable enf(x)et on a : f10(f(x)) =1f 0(x): Ce qu"on écrit également, en posanty=f(x)2f(I): f10(y) =1f

0(f1(y)):

Dérivées fondamentales et composition.

(xn)0=nxn1(fn)0(x) =nfn1(x)f0(x)pourn6=1 (e x)0= exef(x)0=f0(x)ef(x) (ax)0=axln(a)af(x)0=af(x)ln(a)f0(x)poura >0 (lnx)0=1x (ln(f(x))0=f0(x)f(x) sin0(x) = cosx(sinf(x))0=f0(x)cos(f(x)) cos

0x=sinx(cosf(x))0=f0(x)sin(f(x))

tan

0x=1cos

2x= 1 + tan2x(tanf(x))0=f0(x)1 + tan2(f(x))

arcsin

0(x) =1p1x2(arcsin(f(x)))0=f0(x)p1f2(x)

arccos

0(x) =1p1x2(arccos(f(x)))0=f0(x)p1f2(x)

arctan

0(x) =11+x2(arctan(f(x)))0=f0(x)1+f2(x)

sinh0(x) = cosh(x) (sinh(f(x)))0=f0(x)cosh(f(x)) cosh

0(x) = sinh(x) (cosh(f(x)))0=f0(x)sinh(f(x))

Proposition(Dérivée et sens de variation).SoientIRun intervalle etfune fonction dérivable surI. Alors :

1.Sif0(x)0pour toutx2I,fest croissante surI.

2.Sif0(x)0pour toutx2I,fest décroissante surI.

3.Sif0(x) = 0pour toutx2I,fest constante surI.

4.Sif0(x)>0pour toutx2I,fest strictement croissante surI.

5.Sif0(x)>0pour toutx2I,fest strictement décroissante surI.

6.Sif(c) = 0pour un pointx02I, alorscest un maximum local, ou un minimum local, ou un point d"inflexion def.

(a)Sif00(c)<0, la fonctionfadmet un maximum local au pointc. (b)Sif00(c)>0, la fonctionfadmet un minimu local au pointc. (c)Sif00(c) = 0, une étude plus poussée est nécessaire. 3

3 Fonctions classiques

3.1 Fonctions puissancesx2R+7!f(x) =xr= erlnx,r2R.

1.Dérivées.f0(x) =rxr1.

2.Monotonie.Pourr >0,f(x)est croissante de0à+1. Pourr <0,f(x)est décroissante de+1à0.

3.Limites.

(a)b >0)limx!+1lnxx b= 0;lim x!0+xbln(x) = 0. (b)a >1etb2R)limx!+1a xx b= +1. (c)a <1)limx!+1lnxa x= 0.

3.2 Homographiesx2Rn fdg 7!ax+bx+d

1.Limites.

(a)

Si bad >0:limx!1ax+bx+d=a,lim

x!dax+bx+d=1,lim x!d+ax+bx+d= +1. (b)

Si bad <0:limx!1ax+bx+d=a,lim

x!dax+bx+d= +1,lim x!d+ax+bx+d=1.7!

2.Dérivées.ax+bx+d

(n) = (bad)(1)nn!(x+d)n+1.

3.3 Fonction logarithme népérienx2R+7!ln(x)

1.Définition.ln0(x) =1x

etln(1) = 0.

2.Propriétés algébriques.8a;b2R+,8r2Q:ln(ab) = ln(a) + ln(b),ln(ar) =rln(a),ln(a=b) = ln(a)ln(b).

3.Limites.limx!0+ln(x) =1,limx!+1ln(x) = +1,limx!0+xln(x) = 0,limx!+1ln(x)x

= 0.

4.Monotonie et dérivées.lnest strictement croissante.ln0(x) =1x

,ln(n)(x) = (1)n+1xn.8x >1;ln(1 +x)x.

3.4 Fonction exponentiellex2R7!ex>0

1.Définition.expest la réciproque de la fonctionln.

2.Propriétés algébriques.8a;b2R,8r2Q:ea+b= eaeb,era= (ea)r,ea=1e

a,eab=eae b.

3.Limites.limx!1ex= 0,limx!+1ex= +1,limx!1xex= 0,limx!+1e

xx = +1.

4.Monotonie et dérivées.expest strictement croissante.exp(n)= exp.8x2R,1 +xex.

3.5 Fonction partie entièrex2R7!E(x)2Z

1.Définition.E(x)est le plus grand entier inférieur ou égal àx.

2.Monotonie et dérivées.La fonctionEest croissante et non continue.

3.6 Fonctions trigonométriques.

cosest2-périodique est paire,sinest2-périodique et impaire. La fonctiontan:x7!sin(x)cos(x)est définie surRn

2 +k:k2Z, et impaire. sin

0= cos;cos0=sin;tan0(x) = 1 + tan2(x) =1cos

2(x)>0:

cos(x) =cosxsin(x) = sinxtan(x) =tanx cos(+x) =cosxsin(+x) =sinxtan(+x) = tanx cos(=2x) = sinxsin(=2x) = cosxtan(=2x) = 1=tanx cos(=2 +x) =sinxsin(=2 +x) = cosxtan(=2 +x) =1=tan(x) 4

Formules d"addition

cos(a+b) = cos(a)cos(b)sin(a)sin(b) cos(ab) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) sin(ab) = sin(a)cos(b)cos(a)sin(b) tan(a+b) =tan(a) + tan(b)1tan(a)tan(b)tan(ab) =tan(a)tan(b)1tan(a)tan(b) cos(a) + cos(b) = 2cosab2 cosa+b2 cos(a)cos(b) =2sinab2 sin =a+b2 sin(a) + sin(b) = 2sina+b2 cosab2 sin(a)sin(b) = 2sinab2 cosa+b2 cos(2a) = cos2(a)sin2(a) = 2cos2(a)1 = 12sin2(a) sin(2a) = 2sin(a)cos(a) tan(2a) =2tan(a)1tan2(a)

Linéarisation.

cos(a)cos(b) =cos(a+b) + cos(ab)2 ;sin(a)sin(b) =cos(ab)cos(a+b)2 ;sin(a)cos(b) =sin(a+b) + sin(ab)2

Formules avec l"angle moitié.Sit= tana2

, alorscos(a) =1t21 +t2,sin(a) =2t1 +t2,tan(a) =2t1t2.

Fonctions circulaires réciproques

1.y= arcsinx,1x1,x= sin(y),2

y2 .arcsinest impaire etarcsin0(x) =1p1x2.

2.y= arccosx,1x1,x= cos(y),0y.arccos0(x) =1p1x2.

3.y= arctanx,x2R,x= tany,2

< y <2 .arctanest impaire etarctan0(x) =11 +x2.

4.x2[1;1])arcsin(x)+arccos(x) =2

.x >0)arctan(x)+arctan(1=x) ==2.x <0)arctan(x)+arctan(1=x) = =2. Simplifications avec les fonctions circulaires réciproques

1.sin(arccos(x)) = cos(arcsin(x)) =p1x2,x2[1;1].

2.cos(arctan(x)) =1p1 +x2;sin(arctan(x)) =xp1 +x2,x2R.

3.7 Fonctions hyperboliques

1.coshx=ex+ ex2

,sinhx=exex2 ,tanhx=sinhxcoshx=exexe x+ ex=e2x1e

2x+ 1:coshest paire,sinhettanhsont

impaires.

2.cosh2(x)sinh2(x) = 1;coshx+ sinhx= ex;1tanh2(x) =1cosh

2(x).

3.sinh0(x) = cosh(x),cosh0(x) = sinh(x),tanh0(x) =1cosh

2(x)= 1tanh2(x).

Formules d"addition

cosh(a+b) = cosh(a)cosh(b) + sinh(a)sinh(b) cosh(ab) = cosh(a)cosh(b)sinh(a)sinh(b) sinh(a+b) = sinh(a)cosh(b) + sinh(b)cosh(a) sinh(ab) = sinh(a)cosh(b)sinh(b)cosh(a) tanh(a+b) =tanh(a)+tanh(b)1+tanh(a)tanh(b)tanh(ab) =tanh(a)tanh(b)1tanh(a)tanh(b) 5

4 Développements limités

Développements limités usuels.

ln(1 +x) =nX k=1(1)k+1xk+o(xn) =xx22 +x33 x44 ++ (1)n+1xnn +o(xn) ln(1x) =nX k=1x k+o(xn) =xx22 x33 x44 xn+o(xn) e x=nX k=0x kk!+o(xn) = 1 +x+x22! +x33! +x44! ++xnn +o(xn) sin(x) =nX k=0(1)kx2k+1(2k+ 1)!+ox2n+2=xx36 +x5120 ++ (1)nx2n+1(2n+ 1)!+ox2n+2 cos(x) =nX k=0(1)kx2k(2k)!+ox2n+1= 1x22 +x424 ++ (1)nx2n(2n)!+ox2n+1 tan(x) =x+x33 +2x515 +17x7315 +ox8 arcsin(x) =nX k=0 1=2 k x2k+12k+ 1+ox2n+2=x+x36 +3x540 1=2 n x2n+12n+ 1+ox2n+2 arccos(x) =arcsinx arctan(x) =nX k=0(1)kx2k+12k+ 1=xx33 +x55 x77 ++ (1)nx2n+12n+ 1+ox2n+2 sinh(x) =nX k=0x

2k+1(2k+ 1)!+ox2n+2=x+x36

+x5120 ++x2n+1(2n+ 1)!+ox2n+2 cosh(x) =nX k=0x

2k(2k)!+ox2n+1= 1 +x22

+x424 ++x2n(2n)!+ox2n+1 tanh(x) =xx33 +2x515

17x7315

+ox8 (1 +x)a=nX k=0 a k x k+o(xn) = 1 +ax+a(a1)2 x2+a(a1)(a2)6 x3++a n x n+o(xn)

11x=nX

k=0x k+o(xn) = 1 +x+x2+x3++xn+o(xn)

11 +x=nX

k=0(1)kxk+o(xn) = 1x+x2x3+x4++ (1)nxn+o(xn) Notation.On écritf(x) ="(x)sif: ]a;a[n f0g R!Retlimx!af(x) = 0.

Définition.Soitf: ]a;a[nfx0g R!R. On dit quefadmet undéveloppement limité d"ordrenenx0s"il existe

un polynômePnde degréntel que f(x) =Pn(xx0) + (xx0)n"(xx0): Remarque.Dans la définition précédente, le polynômePn, s"il existe, est unique.

Théorème(Taylor).Si une fonction réellefet toutes ses dérivées jusqu"à l"ordrensont définies et continues en tout

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