[PDF] Limites et continuité de fonctions
Limite en l'infini limite en un réel La fonction arctan Exemples naturel et a1 a2 a3 des chiffres ne contenant pas de suite infinie de 9)
[PDF] Les Développements Limités
dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 en abrégé DLn(x0) s'il existe des Calculons le DL de arctan(x) à l'ordre 5 en 0 On a
[PDF] Développements limités
Exercice 12 1 Écrire les développements limités d'ordre 5 en 0 des fonctions sin arcsin sinh argsinh tan arctan
[PDF] L1 - MATH1A - FORMULAIRE
Si f et h ont la même limite l (finie ou infinie) au point c ? R x > 0 ? arctan (x)+arctan (1/x) = ?/2 x < 0 ? arctan (x)+arctan (1/x) =
[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7
Calculs de limites développements limités développements asymptotiques Pour x réel posons f(x) = arctan(cosx) f est dérivable sur R et pour x réel
[PDF] Développements limités - Exo7 - Exercices de mathématiques
Donner des équivalents simples pour les fonctions suivantes : 1 2ex ? ? 1+4x? ? 1+6x2 en 0 2 (cosx)sinx ?(cosx)tanx en 0 3 arctanx+arctan 3
[PDF] 254 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)
La fonction arctan: arctan est dérivable sur R et on a arctan(x)' = Le passage à la limite lorsque b tend vers + ? (ou lorsque a tend vers
[PDF] Chapter 1 Limites et Equivalents - PédagoTech de Toulouse INP
Dans ce qui précède on avait k (x) ? 1012f (x) ce qui traduit l'idée qu'à un facteur près le comportement à l'infini est le même 1 2 sinx ? x quand x ? 0
[PDF] Développements limités = - ptsi-deodat
l'ordre de ce développement limité et enfin la fonction : (a) 3 x ? (1 + Montrer que ?x > 0Arctan(x) + Arctan(1 La limite est infini
[PDF] Développements limités I Généralités
D Développement limité d'une primitive ou d'une dérivée On dit f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de l'infini arctan x =
[PDF] Limites et continuité de fonctions
2 Limites d'une fonction Limite en l'infini limite en un réel Limite à gauche limite à droite Lien entre fonctions et suites
[PDF] developpements limités usuels
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable
[PDF] 254 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)
arctan est dérivable sur R et on a arctan(x)' = 1 1 + x2 IV Complément à la liste des primitives des fonctions usuelles: ? désignant une constante réelle
[PDF] L1 - MATH1A - FORMULAIRE
Si I = ]a +?[ et si f et h ont la même limite l (finie ou infinie) quand x tend vers +? alors g (x) tend vers l quand x tend vers +? 3 Si I = ]??a[ et
[PDF] [PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques
Calculer arctanx+arctan 1 x pour x réel non nul 3 Calculer cos(arctana) et sin(arctana) pour a réel donné 4 Calculer pour a et b réels tels que ab = 1
[PDF] Développements limités
28 mar 2017 · FiGURe 5 – Fonction ln et ses polynômes de Taylor en 0 jusqu'à l'ordre n = 5 La primitive nulle en 0 est arctan(x) : arctan(x) = x ? x3 3
[PDF] FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS
FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS Limites usuelles lnx x ?????? x?+? 0 x lnx ?????? x?0+ 0 ln(x) x ?1 ???? x?1 1 ln(1+ x)
[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Cette limite s'appelle la dérivée de f en x0 on la note f (x0) Bien sûr il revient au même de regarder la limite lim x?x0 f(x)
[PDF] Développements limités équivalents et calculs de limites
( ) = arctan( + 1) 1 Calculer le développement limité à l'ordre 3 de la fonction dérivée ? au voisinage de 0 2 En déduire le développement limité à
Développements limités
Corrections d"Arnaud Bodin.
1 Calculs
Exercice 1Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cos xexpxà l"ordre 32.(ln(1+x))2à l"ordre 4
3. shxxx3à l"ordre 6
4. e xp sin(x)à l"ordre 4 5. sin6(x)à l"ordre 9
6. ln cos(x)à l"ordre 6 7.1cosxà l"ordre 4
8. tan xà l"ordre 5 (ou 7 pour les plus courageux)9.(1+x)11+xà l"ordre 3
10. arcsin ln(1+x2)à l"ordre 6 1. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de f(x) =px. 2. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de g(x) =epx 3.Dév eloppementlimité à l"ordre 3 en
p3 deh(x) =ln(sinx).Donner un développement limité à l"ordre 2 def(x) =p1+x21+x+p1+x2en 0. En déduire un développement à
l"ordre 2 en+¥. Calculer un développement à l"ordre 1 en¥.2 Applications
Exercice 4Calculer les limites suivantes
lim x!0e x2cosxx2limx!0ln(1+x)sinxx
limx!0cosxp1x2x 4Étudier la position du graphe de l"applicationx7!ln(1+x+x2)par rapport à sa tangente en 0 et 1.
Déterminer:
1. (a) lim x!+¥px2+3x+2+x
(b) lim x!¥px2+3x+2+x
2. lim x!0+(arctanx)1x 2 3. lim x!0(1+3x)131sinx1cosx
Exercice 7Soitfl"application deRdansRdéfinie parf(x) =x31+x6:Calculerf(n)(0)pour toutn2N:Soitaun nombre réel etf:]a;+¥[!Rune application de classeC2. On supposefetf00bornées ; on pose
M 0=sup x>ajf(x)jetM2=sup x>ajf00(x)j. 1. En appliquant une formule de T aylorreliant f(x)etf(x+h), montrer que, pour toutx>aet touth>0, on a :jf0(x)j6h2 M2+2h M0. 2.En déduire que f0est bornée sur]a;+¥[.
3.Établir le résultat sui vant: soit g:]0;+¥[!Rune application de classeC2à dérivée seconde bornée et
telle que limx!+¥g(x) =0. Alors limx!+¥g0(x) =0.4 DL implicite
Exercice 9tan(x) =x1.Montrer que l"équation tan x=xpossède une unique solutionxndansnpp2 ;np+p2 (n2N). 2.Quelle relation lie xnet arctan(xn)?
3. Donner un DL de xnen fonction denà l"ordre 0 pourn!¥. 4.En reportant dans la relation trouvée en
2 , obtenir un DL dexnà l"ordre 2.Exercice 10Recherche d"équivalentsDonner des équivalents simples pour les fonctions suivantes :
1.2 exp1+4xp1+6x2, en 0
2.(cosx)sinx(cosx)tanx, en 0
3. arctan x+arctan3x 2p3 , enp3 4. px2+123px
3+x+4px
4+x2, en+¥
5. ar gch1cosx, en 0
cosx1+ax21+bx2 soit uno(xn)en 0 avecnmaximal.Calculer
`=limx!+¥ ln(x+1)lnx xDonner un équivalent de
ln(x+1)lnx x lorsquex!+¥.Indication pourl"exer cice1 N1.cos xexpx=1+x13
x3+o(x3)2.(ln(1+x))2=x2x3+1112
x4+o(x4) 3. shxxx 3=13! +15! x2+17! x4+19! x6+o(x6) 4. e xp sin(x)=1+x+12 x218 x4+o(x4) 5. sin6(x) =x6x8+o(x9)
6. ln (cosx) =12 x2112 x4145 x6+o(x6) 7.1cosx=1+12
x2+524 x4+o(x4) 8. tan x=x+x33 +2x515 +17x7315 +o(x7)9.(1+x)11+x=exp11+xln(1+x)=1+xx2+x32
+o(x3) 10. arcsin ln(1+x2)=x2x42 +x62+o(x6)Indication pourl"exer cice2 NPour la première question vous pouvez appliquer la formule de Taylor ou bien poserh=x1 et considérer un
dl au voisinage deh=0.Indication pourl"exer cice3 NEnx=0 c"est le quotient de deux dl. Enx= +¥, on poseh=1x
et on calcule un dl enh=0.Indication pourl"exer cice4 NIl s"agit bien sûr de calculer d"abord des dl afin d"obtenir la limite. On trouve :
1. lim x!0ex2cosxx 2=32 2. lim x!0ln(1+x)sinxx =0 3. lim x!0cosxp1x2x 4=16Indication pour
l"exer cice5 NFaire un dl enx=0 à l"ordre 2 cela donnef(0),f0(0)et la position par rapport à la tangente donc tout ce qu"il
faut pour répondre aux questions. Idem enx=1.Indication pourl"exer cice6 NIl s"agit de faire un dl afin de trouver la limite.
1. (a) lim x!+¥px2+3x+2+x= +¥
(b) lim x!¥px2+3x+2+x=32
2. lim x!0+(arctanx)1x 2=0 4 3.lim x!0(1+3x)131sinx1cosx=2Indication pourl"exer cice7 NCalculer d"abord le dl puis utiliser une formule de Taylor.
Indication pour
l"exer cice8 N1.La formule à appliquer est celle de T aylor-Lagrangeà l"ordre 2.
2.Étudier la fonction f(h) =h2
M2+2hM0et trouver infh>0f(h).
3.Il f autchoisir un a>0 tel queg(x)soit assez petit sur]a;+¥[; puis appliquer les questions précédentes
àgsur cet intervalle.Indication pourl"exer cice11 NIdentifier les dl de cosxet1+ax21+bx2enx=0.Indication pourl"exer cice12 NFaites un développement faisant intervenir desxet des lnx. Trouvez`=1.5
Correction del"exer cice1 N1.cos xexpx(à l"ordre 3).Le dl de cosxà l"ordre 3 est
cosx=112! x2+e1(x)x3:Le dl de expxà l"ordre 3 est
expx=1+x+12! x2+13! x3+e2(x)x3: Par convention toutes nos fonctionsei(x)vérifieronsei(x)!0 lorsquex!0.On multiplie ces deux expressions
cosxexpx= 112x2+e1(x)x3
1+x+12!
x2+13! x3+e2(x)x3 =11+x+12!
x2+13! x3+e2(x)x3 on développe la ligne du dessus 12 x21+x+12!
x2+13! x3+e2(x)x3 +e1(x)x31+x+12!
x2+13! x3+e2(x)x3 On va développer chacun de ces produits, par exemple pour le deuxième produit : 12! x21+x+12!
x2+13! x3+e2(x)x3 =12 x212 x314 x4112 x512 x2e2(x)x3: Mais on cherche un dl à l"ordre 3 donc tout terme enx4,x5ou plus se met danse3(x)x3, y compris x2e2(x)x3qui est un bien de la formee(x)x3. Donc
12 x21+x+12!
x2+13! x3+e2(x)x3 =12 x212 x3+e3(x)x3:Pour le troisième produit on a
e1(x)x3
1+x+12!
x2+13! x3+e2(x)x3 =e1(x)x3+xe1(x)x3+=e4(x)x3On en arrive à :
cosxexpx= 112x2+e1(x)x3
1+x+12!
x2+13! x3+e2(x)x3 =1+x+12! x2+13! x3+e1(x)x3 12 x212 x3+e3(x)x3 +e4(x)x3il ne reste plus qu"à regrouper les termes : =1+x+(12 12 )x2+(16 12 )x3+e5(x)x3 =1+x13 x3+e5(x)x3Ainsi le dl de cosxexpxen 0 à l"ordre 3 est :
cosxexpx=1+x13 x3+e5(x)x3: 62.(ln(1+x))2(à l"ordre 4).
Il s"agit juste de multiplier le dl de ln(1+x)par lui-même. En fait si l"on réfléchit un peu on s"aperçoit
qu"un dl à l"ordre 3 sera suffisant (car le terme constant est nul) : ln(1+x) =x12 x2+13 x3+e(x)x3 e5(x)!0 lorsquex!0.
(ln(1+x))2=ln(1+x)ln(1+x) x12 x2+13 x3+e(x)x3 x12 x2+13 x3+e(x)x3 =x x12 x2+13 x3+e(x)x3 12 x2 x12 x2+13 x3+e(x)x3 13 x3 x12 x2+13 x3+e(x)x3 +e(x)x3 x12 x2+13 x3+e(x)x3 =x212 x3+13 x4+e(x)x4 12 x3+14 x4+e1(x)x4 13 x4+e2(x)x4 +e3(x)x4 =x2x3+1112 x4+e4(x)x4 3. shxxx3(à l"ordre 6).
Pour le dl de
shxxx3on commence par faire un dl du numérateur. Tout d"abord :
shx=x+13! x3+15! x5+17! x7+19! x9+e(x)x9 donc shxx=13! x3+15! x5+17! x7+19! x9+e(x)x9:Il ne reste plus qu"à diviser parx3:
shxxx 3=13! x3+15! x5+17! x7+19! x9+e(x)x9x 3=13! +15! x2+17! x4+19! x6+e(x)x6Remarquez que nous avons commencé par calculer un dl du numérateur à l"ordre 9, pour obtenir après
division un dl à l"ordre 6. 4. e xp sin(x)(à l"ordre 4).On sait sinx=x13!
x3+o(x4)et exp(u) =1+u+12! u2+13! u3+14! u4+o(u4). 7On note désormais toute fonctione(x)xn(oùe(x)!0 lorsquex!0) paro(xn). Cela évite les multiples
expressionsei(x)xn. On substitueu=sin(x), il faut donc calculeru;u2;u3etu4: u=sinx=x13! x3+o(x4) u2=x13!
x3+o(x4)2=x213 x4+o(x4) u3=x13!
x3+o(x4)3=x3+o(x4) u3=x4+o(x4)eto(u4) =o(x4)
Pour obtenir :
exp(sin(x)) =1+x13! x3+o(x4) 12! x213 x4+o(x4) 13! x3+o(x4) 14! x4+o(x4) +o(x4) =1+x+12 x218 x4+o(x4): 5. sin6(x)(à l"ordre 9).
On sait sin(x) =x13!
x3+o(x4).Si l"on voulait calculer un dl de sin
2(x)à l"ordre 5 on écrirait :
sin2(x) =x13!
x3+o(x4)2=x13! x3+o(x4)x13! x3+o(x4)=x2213! x4+o(x5):En effet tous les autres termes sont danso(x5).
Le principe est le même pour sin
6(x): sin6(x) =x13!
x3+o(x4)6=x13!quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17[PDF] tangente hyperbolique dérivée
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