[PDF] [PDF] Chapter 1 Limites et Equivalents - PédagoTech de Toulouse INP

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Chapter 1

Limites et Equivalents

1.1 Introduction

Savoir qu'une fonction()tend vers±ou vers0lorsqueest voisin de 0 ne sut pas: il est souvent indispensable de savoir en plus à quellevitessecette convergence a lieu ou encore d'être capable decomparerla façon de converger de plusieurs fonctions.

Par exemple, les fonctions()=()=

et()= 2 tendent toutes les trois vers+quandtend vers+Mais lim = lim = lim et lim =lim 2 = lim +1 =0 Ainsi()tend plus vitevers l'infini que()qui elle même tend plus vite vers l'infini que()Numériquement c'est clair : prendre=10 6 alors() = 1000, () = 1000000et()=10 12 Noter qu'il ne s'agit pas seulement d'unecomparaisonau sens habituel des fonctions i.e.()()()(pour1)mais d'une vitesse de convergence diérente, exactement traduite dans les limites précédentes. Ainsi()et()=10 12 convergent vers+àlamême vitessequandtend vers+car lim ()=110 12 finie même si()()! Pour préciser le comportement d'une fonction au voisinage d'un point, l'un des outils fondamental est l'utilisation d'undéveloppement limitéqui fournit unéquivalentde la fonction au voisinage du point. De façon moins précise, il est important dans les problèmes de limite d'avoir quelques résultats de comparaison de convergence pour quelques fonctions de base commeln et . Nous rappelons les principaux résultats dans ce qui suit. Définition 1Soient()et()deux fonctions, lorsque lim 0 ()=1 1 ____________________ APAD - INP / Service de Formation Continue de l'INP Toulouse Rappels de maths Septembre 2003

INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE

on dira que()et()sont équivalentes au voisinage de 0 et on écrira 0

Dans ce qui précède, on avait()10

12 ()ce qui traduit l'idée, qu'à un facteur près, le comportement à l'infini est le même.

1.2sinquand0

Une autre façon d'écrire ce résultat est donc lim 0sin =1 Signalons au passage une inégalité utile àconnaître absolument sin

¯1xR

en convenant que sin =1pour=0grâce à la limite précédente.

Exercice 2Montrer quelim

0 sin 2 +1) =0 Numérateur et dénominateur tendent vers0c'est donc uneforme indéterminée.Mais pourvoisin de0on asinet 2 +11donc sin 2 +1) 0 L'équivalence desinpermet de résoudre l'indétermination.

1.3ln(1 +)quand0

Exercice 3Déduiredecerésultatque(etc'estunrésultatàconnaître) lim 1+ R

Erreurànepascommettre...dire que1+

1quand+et donc¡1+

1quand+

Noter que pour toutfixé, on a

qui tend vers0On pose alors ()=¡1+ On passe au logarithme (étantfixé, pourassez grand1+ estprochede1,enparticulier 1+

0et on peut prendre le logarithme)

ln ()=ln³ 1+ 2 ____________________ APAD - INP / Service de Formation Continue de l'INP Toulouse Rappels de maths Septembre 2003 C'est toujours une forme indéterminée quand+puisqueetln¡1+

0Mais l'équivalence du logarithme permet de lever l'indétermination.

ln

¡1+

car

0quand

ln¡1+ donc

Par contre, montrer avec la même technique que

lim 1+ 2 =1R et lim 1+ 1 0 +si=0 si0 si0

1.4 Quelques autres équivalents utiles

cos1 2 2 1+1+ 1 2 (1 +) 1+ 1 1+ 1 1 1 1+ 1+

Exercice 4Trouver les équivalents de

1 (1) 2 et2 (1) 3

Solution:

1 (1) 2 1+2 2 (1) 3 2+6

1.5 Comparaison deln,

et (0) Il est commode d'avoir en tête cette formulation. 3 ____________________ APAD - INP / Service de Formation Continue de l'INP Toulouse Rappels de maths Septembre 2003 Remarque 5Dans les formes indéterminées, l'exponentielle l'emporte sur la puissance qui l'emporte sur le logarithme.

Plus précisément

lim +ln =0 lim 0 +ln=0 lim =+0

Quelques commentaires:

Le deuxième résultat se déduit du premier. Poser= 1 avec+Alors ln=1 =ln0quand+ Des valeurs numériques donnent une bonne idée des diérences des vitesses de croissance de ces fonctions vers=Prendre=100, 100
=2710 43
,ln(100) = 46. On a lim 0 ln

En eet quand0

tend vers1etlnCe n'est pas une forme indéterminée et la limite estDans ce cas ce n'est pas l'exponentielle qui donne la limite. On a lim +ln =0

Poser=avec+,alors

ln =2 ln

0quand+

lim +ln =00

Exercice 6Déterminerlim

2 =?N

On pose=

2 et+Alors 2 2 =1³ 2

´=0

4 ____________________ APAD - INP / Service de Formation Continue de l'INP Toulouse Rappels de maths Septembre 2003

1.6 Complément : développements limités

Parfois il est nécessaire d'avoir un développement plus précis de la fonction au voisinage de 0 . Par exemple, si on veut étudierlim 0 sin 2 .L'équivalentsinne sutpas.En eet, le numérateur serait identiquement nul, ce qui n'est évidemment pas le cas quelques soit. On donne dans ce qui suit les développements limités (D.L.) des principales fonctions =1+ 1 2 2! sin= 3 3! 5 5! ++(1) 1 2+1 (2+1)! 2+1 cos=1 2 2! 4 4! ++(1) 2 2! 2 (1 +) =1++ (1) 2! 2 (1)(+1) 1 1+ =1+ 2 3 ++(1) 1 1 =1++ 2 3 ln(1 +)= 2 2 3 3 4 4 ++(1) 1 avec()0quand0. Revenons à l'exemple d'introduction. Si nous prenons un équivalent du sinus allant jusqu'à l'ordre 3, nous avons pour le numérateur l'équivalent suivant : sinµ 3 3 3! et donc l'équivalent de la fonction dont nous cherchons la limite est : sin 2 3! qui tend vers 0 lorsque x tend vers 0. La limite cherchée est donc égale à0. 5 ____________________quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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