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Universit´e Aix-MarseillePEIP 2013-14

Petit formulaire bien utile

Formules trigonom

´etriques

On rappelle que les fonctions sinus et cosinus sont d

´efinies surR, prennent leurs valeurs dans

l"intervalle[-1;1]et sont2π-p´eriodiques, la fonction tangente est d´efinie surR\{π 2 +kπ;k∈Z}, prend ses valeurs dansRet estπ-p´eriodique. cos

2x+sin2x=1 tanx=sinx

cosx1+tan2x=1 cos 2x sin(-x) =-sinxcos(-x) =cosxtan(-x) =-tanx sin(π-x) =sinxcos(π-x) =-cosxtan(π-x) =-tanx sin(π 2 -x)=cosxcos(π 2 -x)=sinxtan(π 2 -x)=1 tanx sin2x=2sinxcosxcos2x= cos

2x-sin2x

2cos 2x-1

1-2sin2xtan2x=2tanx

1-tan2x

sinx=2t

1+t2cosx=1-t2

1+t2tanx=2t

1-t2 lorsque, dans la derni `ere ligne,t=tan(x 2 Les formules d"addition et transformation de sommes en produits sin(a+b) =sinacosb+sinbcosacos(a+b) =cosacosb-sinasinb tan(a+b) =tana+tanb

1-tanatanb

cosp+cosq=2cos(p+q 2 )cos(p-q 2 )cosp-cosq=-2sin(p+q 2 )sin(p-q 2 sinp+sinq=2sin(p+q 2 )cos(p-q 2 )sinp-sinq=2cos(p+q 2 )sin(p-q 2

Poura;b∈Retx;y∈R, on a aussi

a

2+b2cos(x-φ);

o `uφv´erifie cosφ=a a

2+b2etsinφ=b

a 2+b2:

Quelques limites

sinh h --→h→01;1-cosh h

2--→h→01

2 ;tanh h --→h→01: D

´eriv´ees - Primitives

Les fonctions sinus et cosinus sont d

´erivables surR, la fonction tangente est d´erivable sur son ensemble de d

´efinitionR\{π

2 +kπ;k∈Z}. sin ′(x) =cosxcos′(x) =-sinxtan′(x) =1+tan2x=1 cos

Notation trigonom

´etrique pour les nombres complexes

e ix=cosx+isinxcosx=ℜe(eix) =1 2 (eix+e-ix)sinx=ℑm(eix) =1

2i(eix-e-ix)

Fonctions hyperboliques

On rappelle que les fonctions sinus hyperboliquesh, cosinus hyperboliquechet tangente hyper- boliquethsont d´efinies surR. Par d´efinition, shx=1 2 (ex-e-x);chx=1 2 (ex+e-x);thx=shx chx=ex-e-x e x+e-x:

En particulier, on a

chx+shx=exx∈R: La fonctionshprend ses valeurs dansR, la fonctionchprend ses valeurs dans l"intervalle[1;+∞[ et la fonctionthprend ses valeurs dans l"intervalle]-1;1[. ch

2x-sh2x=1 thx=shx

chx1-th2x=1 ch 2x sh(-x) =-shxch(-x) =chxth(-x) =-thx sh2x=2shxchxch2x= ch

2x+sh2x

2ch 2x-1

1+2sh2xth2x=2thx

1+th2x:

Les formules d"addition et transformation de sommes en produits sh(a+b) =shachb+shbchach(a+b) =chachb+shashb th(a+b) =tha+thb

1-thathb

chp+chq=2ch(p+q 2 )ch(p-q 2 )chp-chq=2sh(p+q 2 )sh(p-q 2 shp+shq=2sh(p+q 2 )ch(p-q 2 )shp-shq=2ch(p+q 2 )sh(p-q 2 D

´eriv´ees - Primitives

Les fonctions sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique sont d

´erivables

surR. sh ′(x) =chxch′(x) =shxth′(x) =1-th2x=1 ch

Fonctions r

´eciproques

Si on restreint les ensembles de d

´efinition du sinus, du cosinus et de la tangente, il est possible d"obtenir des fonctions bijectives.

L"applicationsin:[-π

2 2 ]-→[-1;1]est bijective. Son application r´eciproque est appel´ee arcsinus arcsin :[-1;1]-→[ 2 2 elle est d

´erivable sur]-1;1[et sa d´eriv´ee vaut

arcsin ′(x) =1

1-x2pour toutx∈]-1;1[.

De plus, pour toutx∈[-1;1], on asin(arcsinx) =xet pour toutx∈R, arcsin(sinx) ={x-2kπsix∈[-π 2 +2kπ;π 2 +2kπ] -x+(2k+1)πsix∈[π 2 +2kπ;3π 2 +2kπ];k∈Z:

L"applicationcos :[0;π]-→[-1;1]est bijective. Son application r´eciproque est appel´ee arccosinus

arccos :[-1;1]-→[0;π]; 2 elle est d´erivable sur]-1;1[et sa d´eriv´ee vaut arccos ′(x) =-1

1-x2pour toutx∈]-1;1[.

De plus, pour toutx∈[-1;1], on acos(arccosx) =xet pour toutx∈R, arccos(cosx) ={-x+2kπsix∈[(2k-1)π;2kπ]

L"applicationtan :]-π

2 2 [-→Rest bijective. Son application r´eciproque est appel´ee arctangente arctan :R-→] 2 2 elle est d

´erivable surRet sa d´eriv´ee vaut

arctan ′(x) =1

1+x2pour toutx∈R.

On fait maintenant la m

ˆeme chose pour les fonctions hyperboliques.

L"applicationsh :R-→Rest bijective. Son application r´eciproque est appel´ee argument sinus

hyperbolique argsh :R-→R; elle est d

´erivable surRet sa d´eriv´ee vaut

argsh ′(x) =1 x

2+1pour toutx∈R.

L"argument sinus hyperbolique s"exprime aussi de la fac¸on suivante : x

2+1)pour toutx∈R.

L"applicationch :[0;+∞[-→[1;+∞[est bijective. Son application r´eciproque est appel´ee argument

cosinus hyperbolique argch :[1;+∞[-→[0;+∞[; elle est d ´erivable sur]1;+∞[et sa d´eriv´ee vaut argch ′(x) =1 x

2-1pour toutx>1.

L"argument cosinus hyperbolique s"exprime aussi de la fac¸on suivante : x

2-1)pour toutx≥1.

L"applicationth :R-→]-1;1[est bijective. Son application r´eciproque est appel´ee argument tan-

gente hyperbolique argth :]-1;1[-→R; elle est d

´erivable sur]-1;1[et sa d´eriv´ee vaut

argth ′(x) =1

1-x2pour toutx∈]-1;1[.

L"argument tangente hyperbolique s"exprime aussi de la fac¸on suivante : argthx=1 2 ln(1+x 1-x) 1+x

1-xpour toutx∈]-1;1[.

3

Quelques identit´es remarquables

- Somme des premiers termes d"une progression g

´eom´etrique :

1+q+···+qn=h∑

k=0qk={n+1siq=1;

1-qn+1

1-qsiq̸=1:

- Poura;b∈Cetn∈N(n≥1) : a n-bn= (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+···+a2bn-3+abn-2+bn-1) = (a-b)n-1∑ k=0an-1-kbk:

En particulier,

a

2-b2= (a-b)(a+b)eta3-b3= (a-b)(a2+ab+b2):

- Somme desnpremiers entiers :

1+2+···+n=n∑

k=1k=n(n+1) 2 - Bin

ˆome de Newton (poura;b∈C) :

(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)n=n∑ k=0( n k) a kbn-k;o`u(n k) =n! k=1k: - Somme de sinus et cosinus : pourx∈R\2πZ, C n(x) =1+cosx+cos2x+···+cosnx=n∑ k=0coskx=cos(nx 2 )sin((n+1)x 2 sin (x 2 et S n(x) =sinx+sin2x+···+sinnx=n∑ k=0sinkx=sin(nx 2 )sin((n+1)x 2 sin (x 2

Six∈2πZ,Cn(x) =n+1etSn(x) =0.

Quelques primitives

Z x ndx=1 n+1xn+1+c;x∈R;n∈Z\{1};Z e axdx=1 a eax+c;x∈R;a̸=0; Z cosaxdx=1 a sinax+c;x∈R;a̸=0;Z sinaxdx=-1 a cosax+c;x∈R;a̸=0; Z chaxdx=1 a shax+c;x∈R;a̸=0;Z shaxdx=1 a chax+c;x∈R;a̸=0;quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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