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2. Les fonctions hyperboliques

1. Qu'est-ce que les fonctions hyperboliques ?

Définition

On définit les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique ainsi.

Définition de

cosh x et de sinh x cosh sinh2 2 x x x xe e e ex x

On utilise aussi les notations suivantes.

ch cosh sh sinhx x x x= =

Par similarité avec les fonctions trigonométriques, on définit aussi les fonctions suivantes.

Autres fonctions hyperboliques

sinh coshtanh cothcosh sinh x xx xx x= =

1 1sech cschcosh sinhx xx x= =

On utilise aussi la notation suivante pour la tangente hyperbolique. th tanhx x=

Lien avec les fonctions trigonométriques

Cette définition implique un lien avec les fonctions trigonométriques. En effet, on avait vu au chapitre 1 que cos2 ix ixe ex

On a donc que

( )cos2 x xe eix Version 2022 2 Luc Tremblay Collège Mérici 2. Les fonctions hyperboliques

Cela signifie que

Lien entre

cosh x et cos x ( ) ( )cos coshix x=

On avait également vu au chapitre 1 que

sin2 ix ixe exi--=

On a donc que

( )sin2 2 2 x x x x x xe eixi e e i e ei-

Cela signifie que

Lien entre

sinh x et sin x ( ) ( )sin sinhix i x= Interprétation géométrique des fonctions hyperboliques

On connait bien l'interprétation géométrique des fonctions trigonométriques. Elles

permettent de calculer les coordonnées d'un point sur un cercle à partir de l'angle. Normalement, on interprète le coefficient à l'intérieur des fonctions comme un angle, mais on peut aussi l'interpréter comme étant 2 fois l'aire de la région en rose sur la figure. Avec le cosinus, on obtient la coordonnée en x du point rouge et avec le sinus, on obtient la coordonnée en y du point rouge. trig-functions-functions-of Version 2022 3 Luc Tremblay Collège Mérici 2. Les fonctions hyperboliques

Les fonctions trigonométriques font

exactement la même chose. Elles permettent d'obtenir les coordonnées d'un point sur une hyperbole. Notez que l'équation de cette hyperbole est 1 (alors qu'on avait est 1 pour le cercle). Ici aussi, l'argument de la fonction est égal à 2 fois l'aire de la région en rose. Avec le cosinus hyperbolique, on obtient la coordonnée en x du point rouge et avec le sinus hyperbolique, on obtient la coordonnée en y du point rouge. trig-functions-functions-of En réalité, cette interprétation graphique n'est pas très utile parce qu'il n'y a pas de moyen facile de connaitre l'aire de la région en rose (contrairement au cercle où l'aire est égal à la moitié de l'angle). Toutefois, elle permet de comprendre d'où vient le nom de ces fonctions.

Utilité des fonctions hyperboliques

Même si l'interprétation graphique ne génère pas vraiment d'application, ces fonctions sont bien utiles. Elles sont utiles tout simplement parce qu'elles sont la solution de l'intégrale d'une fonction relativement simple, comme nous le verrons bientôt.

2. Propriétés des fonctions hyperboliques

Notons cette première propriété.

Lien entre

sinh x et cosh x

2 2cosh sinh 1x x- =

On peut facilement prouver cette propriété à partir des définitions. 2 2 2 2

2 2 2 2

cosh sinh2 2 2 2 4 4 x x x x x x x x x x x xe e e ex x e e e e e e e e- - Version 2022 4 Luc Tremblay Collège Mérici 2. Les fonctions hyperboliques

2 2 2 22 2

4 4 2 2 4 4 1 x x x xe e e e- -+ + - += - On peut aussi la prouver à partir d'une identité trigonométrique.

2 22 2

2 2cosh sinh cos sin

cos sin 1 x x ix i ix ix ix- = - Avec les définitions et cette propriété, on peut souvent simplifier des expressions dans lesquelles on retrouve des fonctions hyperboliques

Exemple

Simplifiez l'expression suivante.

2 2coth

1 sinh

x x+ On a 2 2 2 2 2 2 2 2

2coth coth

1 sinh cosh

cosh 1 sinh cosh 1 sinh csch x x x x x x x x x ____________________ Version 2022 5 Luc Tremblay Collège Mérici 2. Les fonctions hyperboliques

3. Graphiques des fonctions hyperboliques

Voici les graphiques des fonctions hyperboliques.

SÉRIE D'EXERCICES 1

Calculez la valeur des fonctions suivantes (avec 4 décimales). 1. sinh (1) Version 2022 6 Luc Tremblay Collège Mérici 2. Les fonctions hyperboliques 2. cosh (2) 3. tanh (3) 4. sech (1) 5. csch (2) 6. coth (2)

Démontrez les identités suivantes.

7. cosh sinhxx x e+ = 8. cosh sinhxx x e-- = 9. ()()sinh sinhx x- = - 10. ()()cosh coshx x- = 11.

2 2tanh sech 1x x+ =

12. ()sinh cosh sinh sinh coshx y x y x y+ = + 13. ()cosh cosh cosh sinh sinhx y x y x y+ = + 14.

1cosh sinh cosh sinhx x x x

15. ( )tanh tanhtanh1 tanh tanh x yx yx y 16. ( )cosh sinh cosh sinh nx x nx nx+ = + (Indice : utilisez l'identité de l'exercice 7)

4. Dérivés des fonctions hyperboliques

La dérivée de la fonction

cosh x est cosh1 2 1 2 sinh x x x x d e ed x dx dx e e x

La dérivée de la fonction sinh x est

sinh1 2 1 2 cosh x x x x d e ed x dx dx e e x Version 2022 7 Luc Tremblay Collège Mérici 2. Les fonctions hyperboliques

On a donc

Dérivés de sinh x et de cosh x

()()cosh sinhsinh coshd x d xx xdx dx= = De là, on peut obtenir les dérivées des autres fonctions hyperboliques. Par exemple, voici la dérivée de la fonction sech x. 1

2sech cosh

cosh sinh

1 sinh

cosh cosh sech tanh d x d x dx dx x xquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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