[PDF] Calculs de dérivées. Compléments.

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Calculs de dérivées.

Compléments.

1. Nombre dérivé-Tangente à une courbe-

Dérivée d'une fonction.........................................p24. Compléments....................................................p9

2. Dérivée d'une fonction composée....................p5

3. Fonctions trigonométriques.............................p6

Calculs de dérivées.

Compléments.

1. Nombre dérivé- Tangente à une courbe- Dérivée d'une fonction

1.1. Nombre dérivé

Dans ce paragraphe, on considère une fonctionfdéfinie sur un intervalle I. a) Fonction dérivable en a Soit a un réel appartenant à I. On dit que fest dérivable en a lorsque le taux d'accroissement (ou taux de variation) de fen a admet une limite finie L en a, c'est-

à-dire lorsque : limx→af(x)-f(a)

x-a=L ou, en posantx=a+h, limh→0 f(a+h)-f(a) h=Lb) Nombre dérivé Si

fest dérivable en a alors L est appelé le nombre dérivé defen a, et on le notef'(a).

c) Remarque (O;⃗i,⃗j)est un repère du plan.

Lorsque

fest dérivable en a, la courbe représentative defadmet au pointA(a;f(a))une tangente de coefficient directeur f'(a).

Cette tangente a pour équation

y=f'(a)(x-a)+f(a). d) Approximation

Lorsque

fest dérivable en a, la fonctionfadmet une approximation affine au voisinage de a: f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a) e) Définition

On dit que

fest dérivable sur I lorsquefest dérivable en tout réelxde I. La fonction notée f', qui à tout réelxde I associe le nombre dérivéf'(x), est appelée fonction dérivée de f.

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1.2. Remarque

a) Si fest une fonction dérivable sur une intervalle I alorsfest continue sur cet intervalle.

On admet ce résultat.

b) La réciproque est fausse. Si une fonction est continue en a alors cette fonction n'est pas obligatoirement dérivable en a.

Exemple :

f(x)= ∣x∣limx→0 x<0 ∣x∣=limx→0 x<0(-x)=0etlimx→0 x>0∣x∣=limx→0 x>0(x)=0

Donc, limx→0

∣x∣=∣0∣=0 Donc, fest continue en 0. Si x<0, f(x)-f(0) x-0=-x x=-1, donclimx→0 x<0f(x)-f(0) x-0=-1 Si x>0, f(x)-f(0) x-0=x x=1, donclimx→0 x>0f(x)-f(0) x-0=1 Donc, fn'est pas dérivable en 0.

1.3. Dérivée des fonctions usuelles

f(x)Dff'(x)Df' k(constante)ℝ0ℝ xn, n∈ℕ*ℝnxn-1ℝ 1 xn, n∈ℕ*]-∞;0[ou]0;+∞[-n xn+1]-∞;0[ou]0;+∞[

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1.4. Dérivée et opérationsuetvsont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.kest un nombre réel.

FonctionDérivée

k×uk×u' u+vu'+v' uv u'v+uv' 1 v(vne s'annulant pas)-v' v2 u v(vne s'annulant pas)u'v-uv' v2

1.5. Variations et extremum d'une fonction dérivable

a) Théorème fest une fonction dérivable sur un intervalle I.

Si pour tout

xde I,f'(x)=0alors la fonctionfest une fonction constante sur I (c'est à dire qu'il existe un nombre réel ktel que pour tout nombre réel de I on ait f(x)=k).

Si pour tout

xde I,f'(x)>0(sauf peut-être en quelques valeurs isolées oùf'(x)s'annule) alors la fonction fest une fonction strictement croissante sur I .

Si pour tout

xde I,f'(x)<0(sauf peut-être en quelques valeurs isolées oùf'(x)s'annule) alors la fonction fest une fonction strictement décroissante sur I . b) Extremum d'une fonction dérivable fest une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I. Si fadmet un extremum local enx0alorsf'(x0)=0. Si f's'annule en changeant de signe enx0alorsfadmet un extremum local enx0.

Remarque :

Si f'(x0)=0alors la fonctionfn'admet pas nécessairement un extremum local enx0.

Exemple :

f(x)=x3fest dérivable sur ℝ et f'(x)=3x2f'(0)=0et fest strictement croissante sur ℝ donc fn'admet pas d'extremum local enx0.

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2. Dérivée d'une fonction composée

2.1. Théorème

Soitu une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que toutes les valeurs u(x)appartiennent à un intervalle J, et soitvune fonction définie et dérivable sur J.

Alorsv∘uest dérivable sur I et

(v∘u)'=v'∘u×u'.

Démonstration :

Soit a un nombre appartenant à I.

On va montrer que

v∘uest dérivable en a en étudiant la limite de son taux d'accroissement.

Pour tout

xappartenant à I-{a}, v∘u(x)-v∘u(a) x-a=v∘u(x)-v∘u(a) u(x)-u(a)×u(x)-u(a) x-a On s'intéresse d'abord au second facteur de ce produit. Comme uest dérivable sur I, elle l'est en a et limx→au(x)-u(a) x-a=u'(a), nombre réel.

De plus,

limx→a u(x)-u(a)=limx→a u(x)-u(a) On s'intéresse ensuite au premier facteur de ce produit. On vient de voir quelimx→au(x)=u(a). On pose alors

X=u(x).

Comme vest dérivable sur J, elle l'est enu(a)et limX→u(a)v(X)-v(u(a))

X-a=v'(u(a)).

Alors, par combinaison des limites, limx→av∘u(x)-v∘u(a) u(x)-u(a)=v'(u(a))

Enfin, par produit,

limx→a v∘u(x)-v∘u(a) x-a=v'(u(a))×u'(a)Ceci étant valable pour tout a appartenant à I, on vient de prouver que v∘uest dérivable sur I et (v∘u)'=v'∘u×u'

2.1. Remarque

Il faut retenir les cas particuliers suivants : Soit uune fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

Sinest un entier naturel non nul :

(un)'=nun-1×u'Sinest un entier naturel non nul, et siune s'annule pas sur I : (1 un)'=-nu' un+1

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a∈ℝ*etb∈ℝ,g(x)=f(ax+b). Si fest dérivable en ax0+balors gest dérivable enx0et :

g'(x0)=af'(ax0+b)

3. Fonctions trigonométriques

Les fonctions sinus et cosinus sont définies et continues sur ℝ, donc : limx→acosx=cosaet limx→a sinx=sina3.1. Exemples de limites de fonctions trigonométriques a) On admet que limx→0sinx x=1 b) Calculer les limites de sin2h het sinh 2 hlorsque htend vers 0. limh→02h=0etlimX→0sinX

X=1donc

limh→0 sin2h

2h=1et donclimh→0

sin2h h=2 limh→0h

2=0etlimX→0sinX

X=1donclimh→0sinh

2 h

2=1et donc

limh→0 sinh 2 h=1 2 On peut facilement vérifier que poura∈ℝ* : limh→0sinah h=aoulimx→0sinax x=a c) Calculer la limite decosh-1 hlorsque htend vers zéro.

On utilise les formules de duplication :

Pour tout nombre réela :

cos2a=cos2a-sin2a cos2a=2cos2a-1cos2a=1-2sin2a

On obtient donc, pour tout réel

h : cosh=1-2(sinh

2)2Donc,

cosh-1=-2(sinh

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cosh-1 h=-2(sinh 2)2 h=-2×sinh 2 h×sinh 2 Or, limh→0 sinh 2 h=1

2et limh→0sinh

2=sin0

2=0

Conséquence :

limh→0cosh-1 h=0

3.2. Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en 0

a) On a limh→0 sinh h=1Or, sinh h=sin(0+h)-sin(0) h Il s'agit du taux d'accroissement de la fonction sinus entre 0 et

0+h. Ce taux admet pour limite 1 lorsque h tend

vers 0, donc : La fonction sinus est dérivable en zéro et sin'(0)=1. b) On a limh→0 cosh-1 h=0Or, cosh-1 h=cos(0+h)-cos(0) h Il s'agit du taux d'accroissement de la fonction cosinus entre 0 et

0+h. Ce taux admet pour limite 0 lorsque h

tend vers 0, donc : La fonction cosinus est dérivable en zéro et cos'(0)=0.

3.3. Dérivabilité de la fonction sinus sur ℝ

Soit x0un nombre réel eth∈ℝ*. sin(x0+h)-sin(x0) hest le taux d'accroissement de la fonction sinus entre x0etx0+h.

On utilise la formule d'addition :

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(x0+h)=sinx0cosh+cosx0sinh sin(x0+h)-sin(x0) h=sinx0cosh+cosx0sinh-sinx0 h=sinx0(cosh-1 h)+cosx0(sinh h)Or, limh→0 cosh-1 h=0etlimh→0 sinh

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Donc, limh→0sin(x0+h)-sin(x0)

h=cosx0

Conclusion :

La fonction sinus est dérivable sur ℝ et sa fonction dérivée est la fonction cosinus :

sin'=cos.

3.4. Dérivabilité de la fonction cosinus sur ℝ

Soitx0un nombre réel eth∈ℝ*.

cos(x0+h)-cos(x0) hest le taux d'accroissement de la fonction cosinus entre x0etx0+h.

On utilise la formule d'addition :

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb h=cosx0cosh-sinx0sinh-cosx0 h=cosx0 (cosh-1 h)-sinx0(sinh h)Or, limh→0 cosh-1 h=0etlimh→0 sinh h=1Donc, limh→0cos(x0+h)-cos(x0) h=-sinx0

Conclusion :

La fonction cosinus est dérivable sur ℝ et sa fonction dérivée est l'opposée de la

fonction sinus : cos'=-sin.

3.5. Remarques

Si uest une fonction dérivable sur l'intervalle I alors la fonctionf=sin(u)est dérivable sur I et f'=[sin(u)]'=cos(u)×u'. Si uest une fonction dérivable sur l'intervalle I alors la fonctiong=cos(u)est dérivable sur I et g'=[cos(u)]'=-sin(u)×u'.

Cas particuliers :

Siu(x)=ax+baveca∈ℝ*et

b∈ℝ, alors la fonctionfdéfinie sur ℝ parf(x)=sin(ax+b)est dérivable sur ℝ et f'(x)=[sin(ax+b)]'=[f(ax+b)]'=acos(ax+b).

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Siu(x)=ax+baveca∈ℝ*etb∈ℝ, alors la fonctiongdéfinie sur ℝ parg(x)=cos(ax+b)est dérivable sur ℝ

et g'(x)=[cos(ax+b)]'=[g(ax+b)]'=-asin(ax+b).

4. Compléments

4.1. Dérivées successives

Soitfune fonction définie et dérivable sur I. Si f'est dérivable sur I, alors on note sa dérivéef''et c'est la dérivée seconde def . Si

f''est dérivable sur I, alors on note sa dérivéef'''ouf(3)et c'est la dérivée d'ordre 3 def.

Si on le peut, on peut définir la dérivée d'ordre 4 (f(4)), et ainsi de suite.

Exemple

Pourf(x)=cos(x), définie sur ℝ, calculer les dérivées jusqu'à l'ordre 4. f'(x)=-sin(x), f''(x)=-cos(x), f(3)(x)=sin(x), f(4)(x)=cos(x)=f(x).

4.2. Utilisation du taux d'accroissement pour le calcul de limites

Calculer la limite enπ

4de sinx-cosx

x-π 4.

On obtient une forme indéterminée du type"0

0».

On considère la fonction

fdéfinie sur ℝ par f(x)=sinx-cosx. f(π

4)=sinπ

4-cosπ

2=0. sinx-cosx x-π

4=f(x)-f

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