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L2 mathématiques, Analyse 3

Corrigé d"une partie du DS2

Exercice 1.Soita?Ret soitf:]a,+∞[→Rune fonction dérivable.

1) On suppose quefa une limite finie en+∞. Peut-on en conclure quef?tend vers0en+∞?Non. La fonction peut avoir une limite sans que sa dérivée en ait. Exemple :sin(x2)/x(vérifiez-

le).2) Même question en supposant (en plus) quef?a une limite en+∞.Sifetf?ont des limites finies, alors la limite def?est nulle. En effet, supposons quef?ait

une limitelnon nulle. Par exemplel <0. Par définition de la limite il existeMtel que pour x≥Mon aitf?(x)< l/2. Soit alorsxun nombre strictement supérieur àM. La fonctionfest

continue sur[M,x], dérivable sur]M,x[. Le théorème des accroissements finis assure l"existence

decx?]M,x[, tel quef(x)-f(M) =f?(cx)(x-M). Commecx> Mon af?(cx)< l/2, et commex-M >0,f(x)-f(M)< l/2(x-M), doncf(x)< lx/2+f(M)-lM/2. On en déduit

queftend vers-∞en+∞. Contradiction.3) On suppose quef?tend vers0en+∞. Peut-on en conclure quefa une limite finie en+∞?Non. La dérivée delnxtend vers+∞en+∞mais sa dérivée tend vers 0.Exercice 2.Calculer la dérivée de la fonctionf(x) = 1/xen un pointa >0en utilisant

seulement la définition de la dérivabilité.Il s"agit de trouver la limite, lorsquextend versadu rapport,

1/x-1/ax-a.

On a

1/x-1/ax-a=a-xax(x-a)=-1ax

Cette quantité tend vers-1/a2lorsquextend versa.Exercice 3.Soitfune fonction continue surR+, dérivable surR?+telle quef(0) = 1,f(1) = 2

etlimx→+∞f(x) =-1. Montrer qu"il existec >0tel quef?(c) = 0.Commeftend vers-1en+∞il existeM >1tel quef(M)<0. La fonction étant continue sur

R

+, elle est continue sur[1,M]. Le théorème des valeurs intermédiaires appliqué àfentre1et

Massure l"existence d"un nombred?[1,M]tel quef(d) = 1(carf(M)<0<1<2 =f(1)). La fonctionfest continue sur[0,d], dérivable sur]0,d[etf(0) =f(d) = 1. Du théorème de

Rolle on déduite l"existence d"un nombrec?]0,d[tel quef?(c).Exercice 4.1) Pourquoi la fonctiontanh(x) = sinh(x)/cosh(x)est elle-définie surR?Parce

que la fonctioncoshne s"annule pas surR.Donner ses limites en-∞et+∞(on connaît celles

de la fonction exponentielle).La fonctiontanhtend vers-1en-∞, vers 1 en+∞.2) Pourquoi est-elle dérivable?C"est un quotient de fonctions dérivables.Calculer sa dérivée.

tanh

?(x) = (cosh(x)cosh(x)-sinh(x)sinh(x))/cosh2(x) = 1-tanh2(x).3) Quelle est l"image deRpar la fonctiontanh?]-1,1[.Montrer quetanhest une bijection

deRsur son image.C"est une application strictement croissante (sa dérivée est strictement positive en tout point), donc une injection, donc une bijection sur son image.On appelleArgth

son application réciproque. Calculer la dérivée deArgth(exprimer le résultat sous une forme qui

ne fait pas apparaître de fonctionscosh,sinh,exp,tanh).Argth ?(x) = 1/tanh?(Argth(x)) =

1/(1-tanh2(Argth(x))) = 1/(1-x2).1Université de Rennes 1, 2008/2009

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