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Mathématiques en MP* d"après un cours au lycée Louis-le-Grand Limites et continuitéchapitre 11.3
Dans tout ce chapitre, on considèreXetYdeux espaces metriques respectivement munis des distances detδ,Aune partie deX,a?Aetfune fonction deAdansY. I LimitesOn dit quefadmet une limite enaselonAlorsqu"il exsitel?Ytel que ?V? V(l),?U? V(a), f(U∩A)?V(?)Définition I.1.Remarques
→une formulation équivalente à la définition ci-dessous est la suivante. fadmet une limite enaselonAs"il existel?Ytel que ?ε >0,?η >0,?x?A, d(a,x)< η=?δ(f(x),a),l)< ε →La propriété(?)est équivalente à ?V? V(l), f-1(V)∩A? {U∩A, U? V(a)}1.Si ftends versletl?, alorsl=l?. 2. Si fadmet une limitelenaselonAeta?A, alors nécessairementf(a) =l. 3. Si fadmet une limite en a selonA, elle au bornée au voisinage dea(dansA).Proposition I.2.Preuve
1. Soit l,l??Ytelles queftends versletl?enaselonA.Supposons quel?=l?. Appliquons la définition de limite avecε=δ(l,l?)10 . Il existeη,η?>0tel que ? x?A, d(a,x)< η=?δ(f(x),l)<δ(l,l?)10 ? x?A, d(a,x)< η?=?δ(f(x),l?)<δ(l,l?)10 On a alors pour toutx?Atel qued(x,a)Les propositions suivantes sont équivalentes
1.fpossède une limite enaselonA.
2. P ourtoute suite (xn)?ANqui converge versa, la suite(f(xn))converge.Proposition I.3.Preuve
(1)?(2)Soit(xn)?ANtel quexn----→n→+∞a. Soitε >0. Il existeη >0tel que?x?B(a,η)∩A,δ(f(x),l)< ε. (xn)converge versa, il existe doncN?Ntel que?n≥N,d(xn,a)< ηet alorsδ(f(xn),l)< ε.On en déduit donc que(f(xn))converge versl.
(2)?(1)→Montrons tout d"abord que toutes les suites de la forme(f(xn))avec(xn)une suite à valeurs dans
Aconvergeant versaconvergent vers une même limitel. Soit(xn)et(yn)deux suites à valeurs dansAconvergeant versa. A partir de ces deux suites, on construit la suite(zn)définie de la manière suivante :?n?N,? ?z 2n=xn z2n+1=yn
On a alors bien évidemmentzn----→n→+∞aet alors par hypothèsef(zn)converge vers une limite
qu"on noteral. En considèrant les deux suites extraites(f(z2n+1)) = (f(yn))et(f(z2n)) = (f(xn)), on en déduit immédiatement que(f(xn))et(f(yn))admettent la même limite que(f(zn)). →Il reste à montrer maintenant que la limite defenaselonAest bienl.Supposons quefne converge pas versl, i.e.
?ε >0,?η >0,?x?B(a,η)∩A, δ(f(x),l)≥ε cette proposition peut être reformulée de la manière suivante ?ε >0,?n?N,?x?B? a,1n+ 1? ∩A, δ(f(x),l)≥εOn peut alors construire une suite(xn)à valeurs dansAtelle que pour toutn?N,d(xn,a)<1n+1etδ(f(xn),l)≥ε.
En résumé, on a
(xn)est une suite à valeurs dansAqui converge versa. Pour toutn,δ(f(xn),l)≥εdonc(f(xn))ne peut pas tendre versl. ce qui est absurde par hypothèse.SoitBune partie deYetZun espace metrique. Si →a?Aetfest une fonction deAdansYqui admet une limitebenaselonA. →b?Betgest une fonction deBdansZqui admet une limitelenbselonB →f(A)?B Alorsg◦fadmet la limitelenaselonA.Proposition I.4.Preuve :soitW? V(l).
→Il existeV? V(b)tel queg(V∩B)?W. →Il existeU? V(a)tel quef(U∩A)?V.2/18 Mathématiques en MP* d"après un cours au lycée Louis-le-Grand On a aussif(U∩A)?f(A)?B, doncf(U∩A)?V∩Bet alorsg◦f(U∩A)?W.En résumé, on a montré que
?W? V(l),?U? V(a), g◦f(U∩A)?WAttention :la conditionf(A)?Best nécessaire.
En effet, si on prendA=R?,B=R?,Y=R,Z=Rtous munis de la distance induite par la valeur absolue. On considère le cas où →fest une fonction deAdansY, définie par?x?= 0,f(x) =xsin?1x →gest une fonction deRdansZ, définie par?x?R,g(x) = 1x=0.On a alors
→fadmet une limite0en0selonA=R?. →gadmet une limite0en0selonB=R? →f(A) =f(R?)contient0doncf(A)??R?=B.Maisg◦fn"admet pas de limite en0selonR?. En effet, si on considère les suites à valeurs dansR?,
(un)n?N=?12πn?et(vn)n?N=?12πn+π2
, on a On en déduit donc queg◦fn"admet pas de limite en0.Soitf? C([-1,1],R)telle que f(x)-f(x2 )x --→x→0l?RMontrer quefest dérivable en0.Exercice I.5.
Soitf? C(R,R)telle que
f(x+ 1)-f(x)----→x→+∞L?RMontrer quex?-→f(x)x
admet une limite en+∞.Exercice I.6. 3/18 Mathématiques en MP* d"après un cours au lycée Louis-le-GrandII Continuité
Dans cette partie, on considère que l"ensemble de départ defestXet quea?X. Nous nous allons donc dire "fadmet une limitelena" aulieu de "fadmet une limitelenaselonX" lorsqu"il n"y a pas ambigüité.1. Continuité localeSoitfune fonction deXdansY. Les propositions suivantes sont équivalentes
1.fadmet une limite ena.
2.?V? V(f(a)),?U? V(a), f(U)?V
3.?ε >0,?η >0,?x?X, d(a,x)< η=?δ(f(x),f(a))< ε
Lorsquefvérifie l"une de ces propriétés, on dit quefest continue ena.Proposition II.1.Preuve
(1)?(2)Sifadmet une limite enaselonX, alors nécessairement, d"après ce qui précéde, puisque
a?X, cette limite est égale àf(a). Le point(2)est tout simplement l"application de la définition de
limite pourl=f(a).(2)?(3)soitε >0. On considère le voisinage def(a),B(f(a),ε). Par hypothèse, il existeU? V(a)
tel quef(U)?B(f(a),ε).Uétant un voisinage dea, il existeη >0tel queB(a,η)?U. et alors on a
f(B(a,η))?U. En résumé, ?ε >0,?η >0, f(B(a,η))?B(f(a),ε) i.e. ?ε >0,?η >0, d(x,a)< η=?δ(f(x),a)< ε (3)?(1)Il s"agit tout simplement de l"une des formulations du fait quefadmet une limitef(a)ena selonX.Les propositions suivantes sont équivalentes1.fest continue ena.
2. P ourtout suite (xn)?XN,xn----→n→+∞a=?(f(xn))converge.Proposition II.2.Remarques
La composition de deux fonctions continues est continue.lorsqueYest un espace vectoriel normé muni d"une norme?.?etδla distance induite par?.?, alors les
opérations conservent la continuité : →La somme de deux fonctions continues est continue. →Lorsque?.?est une norme d"algèbre, le produit de deux fonctions continues est cotninu.4/18 Mathématiques en MP* d"après un cours au lycée Louis-le-Grand Soita,bdeux réels tels quea < b. On dit qu"une fonctionf: [a,b]-→Rest réglée lorsque fadmet une limite à droite et à gauche en tout point de[a,b]. Par exemple, les fonctions monotones sont réglées. Supposons quefsoit réglée. Montrer que l"ensemble des points de discontinuité defest dénombrable.Exercice II.3.2. Continuité globale
Commencons par énoncer un résultat qui sera utile par la suite.Les propositions suivantes sont équivalentes
1.fest continue ena.
2.?V? V(f(a)), f-1(V)? V(a)Lemme II.4.
Preuve
(1)?(2)Sifest continue ena, alors par définition ?V? V(f(a)),?U? V(a), f(U)?V et donc ?V? V(f(a)),?U? V(a), f-1(f(U))?f-1(V) orU?f-1(f(U))?f-1(V)et finalement pour toutV? V(f(a)), on af-1(V)? V(a)car contientU un voisinage dea. (2)?(1)SoitV? V(f(a)), posonsU=f-1(V)? V(a). On af(U) =f(f-1(V))?V, d"où la continuité defena.Les propositions suivantes sont équivalentes.1.fest continue en tout point deX.
2. P ourtout ouv ertΩdeY,f-1(Ω)est un ouvert deX. 3. p ourtout fermé FdeY,f-1(F)est un fermé deX.Proposition II.5.Preuve
(1)?(2)SoitΩun ouvert deYetx?f-1(Ω).Ωest un ouvert contenantf(x), doncΩ? V(f(x)), alorspar continuité defet le lemme précédent,f-1(Ω)? V(x). Il existe alorsε >0tel queB(x,ε)?f-1(Ω)
et finalementf-1(Ω)est ouvert.(2)?(1)Soitε >0etb?X. PosonsΩ =B(f(b),ε). Par hypothèse,f-1(Ω)est ouvert et donc il existe
η >0tel queB(b,ε)?f-1(Ω), i.e.f(B(b,η))?B(f(a),ε), ce qui donne directement la continuité def
enb, donc en tout point deX. (2)?(3)SoitFun fermé deY.Y\Fest ouvert deY, doncf-1(Y\F) =X\f-1(F)est ouvert et finalementf-1(F)est fermé.(3)?(2)Le sens réciproque peut être fait de la même manière et est laissé comme exercice au lecteur.5/18
Mathématiques en MP* d"après un cours au lycée Louis-le-GrandApplications
→Sifest une fonction continue deXdansY, alors pour toutb?Y,f-1({b})est fermé car{b}est fermé.→Si de plusY=R, alors{x?X, f(x)<0}est ouvert car est égal àf-1(]- ∞,0[)et]- ∞,0[est
ouvert. →SiYest un espace vectoriel normé etgune fonction continue deXdansY, alors l"ensemble oùf coincide avecgest un fermé car il est égal à {x?X f(x) =g(x)}={x?X(f-g)(x) = 0}= (f-g)-1({0}) le fait quef-gcontinue et{0}est fermé permet de conclure. Exemple(principe des prolongements des indentités) SoitEun espace vectoriel normé etf,g? C(X,E). Sifetgcoincident sur une partieAdense dansX, alorsf=g.En effet, siBest l"ensemble oùfcoincide avecg, alors d"après le troisième point des application de la
proposition précédente,Best fermé. On a alorsA?Bet doncX=A?B=BcarBest fermé. Onobtient donc queB=Xet que finalementf=g.Soitfune fonction deXdansY. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes.
1.fest continue en tout point deX.
2.P ourtoute partie AdeX,f(A)?f(A).Exercice II.6.
Soitf: (R,+)-→(R,+)un morphisme de groupe. Montrer que les propriétés suivantes sontéquivalentes.
1.fest continue.
2.?λ?R,?x?R, f(x) =λx
3.fest continue en un point.
4.fest continue en0.
5.fest bornée au voisinage de0.Exercice II.7.
Soitf:R-→Run morphisme de corps continu. Montrer quef=Id.Exercice II.8. Soitf:C-→Cun morphisme de corps continu. Montrer quef=Idouf= (z?-→z).Exercice II.9. 6/18 Mathématiques en MP* d"après un cours au lycée Louis-le-Grand3. Homéomorphismes
Soitfune application deXdansY. Si
→fest continue. →fest bijective. →f-1est continue. alors on dit quefest un homéomorphisme deXdansY.Définition II.10.Exemples
→SoitEunK-espace vectoriel normé et(λ,a)?K?×E. L"applicationhλ,a:? ?E-→E x?-→λx+aest un homéomorphisme. →La fonction tangente est un homéomorphisme de]-π2 ,π2 [dansR.SoitIetJdeux intervalles deR. Sif:I-→Jest une bijection continue, alorsf-1est continue.Proposition II.11.Attention :cette propriété n"est plus vraie lorsqueIetJne sont pas des intervalles. En effet, si on
considère la fonction de[0,1[?[2,3]dans[0,2]f:x?-→? bijective mais sa bijection réciproque n"est pas continue.Courbe def32112Courbe def-13
2112SoientΩetΩ?deux ouverts deR. Sif: Ω-→Ω?est une bijection continue, alorsf-1est continue.Proposition II.12. 7/18 Mathématiques en MP* d"après un cours au lycée Louis-le-Grand
4. Applications lipschitziennes
Soitfune application deXdansY. On dit quefest lipschitzienne ouk-lipschitzienne s"il existek?R+tel queExemples
→SoitEun espace vectoriel normé muni d"une norme?.?. l"applicationx?-→ ?x?est1-lipschitzienne.
En effet, pour toutx,y?E, on a
→Soita?X. L"applicationx?-→d(a,x)est1-lipschitzienne. En effet, pour toutx,y?Xéquivalentes.
1.fest lipschitzienne.
2.f?est bornée.Exercice II.14.
Vocabulaire :lorsquefest lipschitzienne, on appelle rapport de lipschitzianité le nombre k= inf{α?R+, festα-lipschitzienne}SoitAune partie non videX. Posons pour toutx?X d(x,A) = infa?Ad(x,a) 1.Mon trerque p ourt outx?X,d(x,A) = 0??x?A.
2.Mon trerque x?-→d(x,A)est1-lipschitzienne.
3. Mon trerque si AetBsont deux fermés disjoints non vides deX, alors il existe deux ouvertsUetVdeXtels queA?U,B?V, etU∩V=∅.Exercice II.15. Soitk?R+,Iun ensemble, et(fi)i?Iune famille de fonctionsk-lipschitziennes. Supposons qu"il existea?Xtel que la famille(fi(a))i?Iest majorée.Montrer quef:?
?X-→R x?-→sup i?Ifi(x)est correctement définie et estk-lipschitzienne.Exercice II.16. 8/18 Mathématiques en MP* d"après un cours au lycée Louis-le-Grand SoitAune partie deXetf:A-→Rune applicationk-lipschitzienne. Posons pour tout x?A g(x) = infy?A(f(y) +kd(x,y)) Montrer quegestk-lipschitzienne et queg|A=f.Exercice II.17.5. Uniforme continuité
Soitfune application deXdansY. On dit quefest uniformément continue lorsque ?ε >0,?η >0,?(x,y)?X2, d(x,y)< η=?δ(f(x),f(y))< εDéfinition II.18.Exemples
→Sif? C([a,b],C), alorsfest uniformément continue d"après le théorème de Heine. →Sifest une application deXdansY k-lipschitzienne, alorsfest uniformément continue. LaPreuve de ce résultat est laissée comme exercice au lecteur.Attention :il n"y a pas de réciproque pour le point précédent. Une fonction uniformément continue n"est
pas nécessairement lipschitzienne.En effet, il suffit de considérer la fonction de[0,1]dans[0,1]f:x?-→⎷x. C"est une fonction continue
sur un segment, donc elle est uniformément continue d"après le théorème de Heine. Supposons quefest lipschitzienne. On dispose alors dek≥0tel que pour toutx?]0,1], ?????f(x)-f(0)x-0? i.e.1⎷x
ce qui est absurde.Une fonctionfcontinue sur un segment[a,b]est uniformément continue.Théorème (Heine) II.19.
Preuve :formulons tout d"abord la négation de l"uniforme continuité ?ε >0,?η >0,?x,y?[a,b],|x-y|< ηet|f(x)-f(y)| ≥εSupposons donc cette proposition vérifiée. On dispose alors de deux suites(xn)n?Net(yn)n?Ntelles que
(?)et|f(xn)-f(yn)| ≥ε.(xn)et(yn)étant à valeurs dans un ferméborné deR, le théorème de Bolzano-Weierstrass nous permet d"affirmer l"existence d"une extractice?
telle que(x?(n))converge. De même, on dispose d"une extractriceψtelle que(y?◦ψ(n))soit convergente.
L"inégalité(?)impose que(x?◦ψ(n))et(y?◦ψ(n))admettent la même limite qu"on notel.
On a alors
???f(x?◦ψ(n))-f(y?◦ψ(n))???----→n→+∞|f(l)-f(l)|= 09/18 Mathématiques en MP* d"après un cours au lycée Louis-le-Grandmais pour toutn?N,???f(x?◦ψ(n)-f(y?◦ψ(n))???≥ε >0, ce qui absurde, d"où l"uniforme continuité def
sur[a,b].SoitAune partie deXetf:A-→Rune application uniformément continue. Montrer quef admet une limite en tout point deA.Exercice II.20. SoitEun espace vectoriel normé etf:Bf(0,1)-→Rune application uniformément continue.Montrer quefest bornée.Exercice II.21.
Attention :une application continue bornée n"est pas nécessairement uniformément continue. En effet, considérons la fonction de]0,1]dans[-1,1],f:x?-→cos(1x ).1 -1Cette fonction estC∞sur]0,1], mais elle n"est pas uniformément continue. Montrons le. Enoncons tout d"abord la négation de l"uniforme continuité. ?ε >0,?η >0,?(x,y)?X2, d(x,y)< ηetδ(f(x),f(y))≥ε i.e., en adaptant cette proposition à notre problème, ?ε >0,?η >0,?(x,y)?]0,1]2,|x-y|< ηet|f(x)-f(y)| ≥ε Considérons les suites(xn)n?N?= (12nπ)n?N?et(yn)n?N?= (1(2n+1)π)n?N?. On a |xn-yn|=? ????12nπ-1(2n+ 1)π? ????----→n→+∞0 mais pour toutn?N? |f(xn)-f(yn)|= 1 donc en prenantε=12 , on a pour toutη >0, on peut prendrenassez grand pour qu"on ait|xn-yn|< η et|f(xn)-f(yn)|= 1≥εce qui montre bien la négation de l"uniforme continuité.L"intuition derrière ce contrexemple est quefoscille très rapidement au voisinage de0(voir figure ci-
dessus), ce qui fait qu"on ne peut plus contrôler l"écart entre l"image de deux points assez proches.
Il existe une infinité d"autres contrexemples, on peut par exemple prendre la fonction deRdans[-1,1]
x?-→sin(x2)10/18 Mathématiques en MP* d"après un cours au lycée Louis-le-Grand 1-1on peut prouver de la même manière la non uniforme continuité en prenant les suites(xn)n?N=?⎷2nπ?
n?N et(yn)n?N=? ?(2n+12 n?N. Ici encore, on voit que la fonction oscille très vite au voisinage de+∞ce qui empêche la fonction d"être uniformément continue.6. Extensions du théorème de HeineSoitT?R+etE=CT(R,C)l"ensemble des fonctions continuesT-périodiques deRdansC.
Montrer que toute fonction deEest uniformément continue.Exercice II.22.SoitE={f? C(R,C), f(x)----→x→±∞0}. Montrer que toute fonction deEest uniformément
continue.Exercice II.23. 11/18 Mathématiques en MP* d"après un cours au lycée Louis-le-GrandCorrection de l"exercice I.5. :
Soitε >0, il existeη >0tel que pour toutx?B(0,η) ?????f(x)-f?x2 ?x -l?Or pour toutk?N, six?B(0,η), alorsx2
k?B(0,η). On a alors pour toutk?N, ????f(x2 k)-f(x2 k+1)x 2 k-l? i.e. ?????f(x2 k)-f(x2 k+1)x -l2 k? ????<ε2 kEn sommant toutes ces inégalités pourk?J0;n-1Ket utilisant l"inégalité triangulaire, on obtient que
pour toutn?Netx?B(0,η), ??????f(x)-f(x2 n)x -ln-1? k=012 k? k=0? ????f(x2 k+1)-f(x2 k)x -l2 k? ????< εn-1? k=012 k En faisant tendrenvers l"infini, par continuité def, l"inégalité ci-dessus devient ?????f(x)-f(0)x -2l? Ce qui montre quefest dérivable en0et quef?(0) = 2l. Correction de l"exercice I.6. :Soitε >0,A >1tel que pour toutx≥A-1, En sommant toutes les inégalités ci-dessous, on obtient et on ax-n(x)est toujours dans[A,A+ 1]oùfest bornée car continue, donc n(x)x x→+∞1(L-ε) +f(x-n(x))x f(x)x x→+∞1(L+ε) +f(x-n(x))x x→+∞012/18 Mathématiques en MP* d"après un cours au lycée Louis-le-Grand On peut donc choisirB > Ade sorte à ce que pour toutx > B, ?????f(x-n(x))x et donc pour toutx > BOn a donc bien montré quex?-→f(x)x
admet une limite en+∞et que f(x)x ----→x→+∞LCorrection de l"exercice II.3. :Posons pour toutx?[a,b]f(x+)etf(x-)respectivement la limite à droite et à gauche enx. Définissons
les ensembles suivants. →Cest l"ensemble des points de discontinuité def. →A={x?[a,b],|f(x+)-f(x-)|>0} →Pour toutp?N?,Ap=?x?[a,b],|f(x+)-f(x-)| ≥1p →B={x?[a,b], f(x-) =f(x+)etf(x+)?=f(x)} →Pour toutp?N?Bp=?x?B,|f(x+)-f(x)| ≥1pOn a alors
C=B?A=?
p?N?B p?? p?N?A pOn va montrer que pour toutp?N?,ApetBpsont finis. Une fois cela fait, on peut facilement conclure car
on aura montré queAetBsont union dénombrable d"ensembles finis et donc qu"ils sont dénombrables.
Supposons par l"absurde qu"il existep?N?tel queApest infini.Apest infini borné en dimension finie,
il possède donc un point d"accumulation qu"on notex. On dispose alors d"une suite(xn)n?Ninjective à
valeurs dansAqui converge versx. Quitte à extraire de la suite(xn)on suppose sans perte de généralité
qu"elle est croissante. →Soitη1>0tel que pour toutα?]x-η1,x[,|f(α)-f(x-)|<14p →Soitn?Ntel quexn?]x-η1,x[. On suppose aussi sans perte de généralité quex?=a. →Soitη2>0tel que pour toutα?]xn-η2,xn[,|f(α)-f(x-n)|<14p →Soityn,zn?[a,b]tels queyn?]xn-η2,xn[etyn?]xn,xn+η3[.Pour que tout cela soit plus clair, observons tous les paramètres qu"on vient de définir sur le dessin
suivant :y nz nη 1η 2η 3x nx On a |f(yn)-f(zn)| ≥???f(x-n)-f(x+n)???-???f(x+n)-f(zn)???-???f(yn)-f(x-n)??? 1p -14p-14p=12p13/18 Mathématiques en MP* d"après un cours au lycée Louis-le-Grand et ce qui est absurde.quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38[PDF] continuité traduction
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