[PDF] Fonctions continues et uniformement continues
Continuité uniforme 5 2 1 Définition de la continuité uniforme sur un intervalle Exercice : si ƒ est u-continue elle admet une limite finie 5
[PDF] SMIA 1 ANALYSE 1 FONCTIONS REELLES : Limite Continuité et
2 4 Continuité uniforme et Théor`eme de Heine 2 4 1 Continuité uniforme et continuité Caractérisation séquentielle de continuité uniforme
[PDF] Problème 1 : continuité uniforme
6 1 F est uniformément continue sur R+ On peut donc appliquer la définition de l'uniforme continuité avec ? = 1 et on obtient ??1 > 0/ ?(x y) ? (R+)
[PDF] TD continuité uniforme
TD continuité uniforme Exercice 1 1) Soit f une fonction continue sur un compact de Rn Montrer qu'elle est uni- formément continue
[PDF] Continuité uniforme - MP*2 Thiers
Continuité uniforme 1 Produit Soit fg fonctions de A dans C bornées et uniformément continues ; montrer que f g est uniformément continue
[PDF] Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1 Uniforme
Uniforme continuité 1 Montrer que la fonction définie par f(x) = 1/x n'est pas uniformément continue sur ]0 1] 2 Soit ?? < a < b < +?
[PDF] Intégration 1 Continuité uniforme 2 Fonctions continues par morceaux
Combien de fois la continuité uniforme donnée par le théorème de Heine joue un rôle crucial dans la théorie de l'intégrale de Riemann sur un segment
[PDF] Limite et continuité de fonctions - MP Dumont
La place du ? ? I n'est pas la même dans la définition de la continuité sur I et dans la définition de la continuité uniforme sur
[PDF] Limites et continuité chapitre 113 - cpge paradise
Exercice II 17 5 Uniforme continuité Soit f une application de X dans Y On dit que f est uniformément continue
[PDF] Fonctions continues et uniformement continues
La notion de continuité uniforme est globale (? ne dépend que ?) Il est clair que la continuité uniforme sur I entraîne la continuité sur I Par contre la
[PDF] Problème 1 : continuité uniforme
Problème 1 : continuité uniforme 1 f n'est pas uniformément continue sur I si et seulement si ?? > 0/ ??>0 ?(x y) ? I2/ (x ? y ? ? et f(x)
[PDF] Continuité uniforme - SamFaitDesMaths
20 oct 2016 · La continuité uniforme est une notion plus forte que la continuité puisque la fonction a la même régularité partout : ? ne dépend pas du couple
[PDF] Limites et continuité chapitre 113 - cpge paradise
Uniforme continuité Soit f une application de X dans Y On dit que f est uniformément continue lorsque ?? > 0 ?? > 0 ?(x y) ? X2 d(x
[PDF] Convergence uniforme
6 jan 2012 · Si la convergence d'une suite de fonctions continues est uniforme la limite est bien continue Théorème 4 Soit I un intervalle de R et (fn)n?
[PDF] Continuité
Définition 2 3 (Continuité uniforme) Soit f une application de D ? R dans R on dit que f est uniformément continue si pour tout ? > 0 il existe ? > 0
[PDF] Continuité uniforme
Continuité uniforme 1 Produit Soit fg fonctions de A dans C bornées et uniformément continues ; montrer que f g est uniformément continue
[PDF] TD continuité uniforme
Prouver que la continuité est uniforme Exercice 2 Montrer que l'intégrale de Lebesgue est uniformément continue de L1(R) dans R Exercice 3 Soit f
![[PDF] Problème 1 : continuité uniforme [PDF] Problème 1 : continuité uniforme](https://pdfprof.com/Listes/17/45227-17CorrigeEpreuve12012.pdf.pdf.jpg)
SESSION 2012
CAPES EXTERNE
MATHÉMATIQUES 1
Problème 1 : continuité uniforme
1.fn"est pas uniformément continue surIsi et seulement si
?ε > 0/?η > 0,?(x,y)?I2/(|x-y|?ηet|f(x) -f(y)|> ε).2.Soitfune fonctionk-lipschitzienne surIaveck > 0. Soitε > 0.
Soitη=ε
k. Soientxetydeux réels deItels que|x-y|?η. Alors |f(x) -f(y)|?k|x-y|?kη=ε.On a montré que?ε > 0,?η > 0/?(x,y)?I2,(|x-y|?η?|f(x)-f(y)|?ε)et doncfest uniformément continue surI.
3.3.1Soit(x,y)?R2.|x|=|(x-y) +y|?|x-y|±|y|et donc|x|-|y|?|x-y|. En appliquant ce résultat àyetx, on a
aussi|y|-|x|?|y-x|. Comme||x|-|y||est l"un des deux nombres|x|-|y|ou|y|-|x|, on a montré que||x|-|y||?|x-y|.
3.2Soit(x,y)?R2.
|f(x) -f(y)|=????11+|x|-11+|y|????
Donc, la fonctionfest1-lipschitzienne surRet en particulierfest uniformément continue surRd"après la question 2.
4.4.1Soientxetydeux réels positifs.
et donc, puisque les deux nombres x+yet⎷x+⎷ysont positifs, on en déduit que⎷x+y?⎷x+⎷yparstricte croissance de la fonctiont?→t2surR+.Soientxetydeux réels positifs.
x=⎷y+x-y??y+|x-y|?⎷y+?|y-x|, et doncx-⎷y??|x-y|. En appliquant àyetx, on a aussi⎷y-⎷x??|x-y|et finalement??⎷x-⎷y????|x-y|.
4.2Soitε > 0. Soitη=ε2> 0. Soientxetydeux réels positifs tels que|x-y|?η. Alors
x-⎷y????|x-y|?⎷ε2=ε.On a montré que?ε > 0,?η > 0/?(x,y)?[0,+∞[2,(|x-y|?η?|g(x) -g(y)|?ε)et doncgest uniformément
continue sur[0,+∞[.4.3Il s"agit de prouver que l"ensembleA=?|⎷
x-⎷y| |x-y|, x?0, y?0, x?=y? n"est pas une partie majorée deR. Cet ensemble contient les nombres de la forme x-⎷0| |x-0|=1⎷xoùx > 0. Comme limx→0+1⎷x= +∞, l"ensembleAn"est pas majoré et donc la fonctiongn"est pas lipschitzienne surR+. 5.5.1Soitε=1
2. Soitη > 0. Soitn?N?puisxn=⎷n+etyn=⎷n.
http ://www.maths-france.fr 1 c?Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés. ?n?14η2
On choisit alorsn=E?1
4η2?
+1. D"après ce qui précède, on a|xn-yn|?η. D"autre part, |x2n-y2n|=x2n-y2n=n+1-n=1 > ε.On a montré que?ε > 0/?η > 0,?(x,y)?R2/(|x-y|?ηet|h(x) -h(y)|> ε)et donc que la fonctionhn"est pas
uniformément continue surR.5.2Puisquehn"est pas uniformément continue surR,hn"est pas lipschitzienne surRpar contraposition de l"implication
obtenue à la question 2. 6.6.1Fest uniformément continue surR+. On peut donc appliquer la définition de l"uniforme continuité avecε=1et on
obtient ?η1> 0/?(x,y)?(R+)2,(|x-y|?η1?|F(x) -F(y)|?1).6.2Soitn?N?.
x 0 n?η1?x0η1?n?n?E?x0η1? On en déduit l"existence et l"unicité den0:n0=?????1six0η1< 1
E?x0η1?
six0η1?1(carn0?N?). 6.3 n 0-1? k=0?F?(k+1)x0
n0? -F?kx0n0?? =F?n0x0n0? -F(0) =F(x0) -F(0)(somme télescopique). Par suite, |F(x0) -F(0)|=?????n 0-1? k=0?F?(k+1)x0
n0? -F?kx0n0?? ??n 0-1? k=0????F?(k+1)x0n0?
-F?kx0n0?6.4Soitk??0,n-1?.????(k+1)x0
n0-kx0n0???? =x0n0?η1et donc????F?(k+1)x0n0?
-F?kx0n0? ??1. Par suite, |F(x0) -F(0)|?n 0-1? k=01=n0.Maintenant, si
x0η1?1,n0=E?x0η1?
?x0η1+1ce qui reste vrai dans le cas oùx0η1< 1. On en déduit queF(x0)?|F(x0)|?|F(x0) -F(0)|+|F(0)|?n0+|F(0)|?1
η1x0+ (1+|F(0)|).
On a trouvé deux réelsaetb(indépendants dex0), à savoira=1η1etb=1+|F(0)|, tels queF(x0)?ax0+b. On a
montré que ?(a,b)?R2/?x?R+,F(x)?ax+b.7.SoitFune fonction uniformément continue surR. AlorsFest en particulier une fonction uniformément continue surR+
et?(a,b)?R2/?x?R+,F(x)?ax+b. Pourx?1, on en déduit queF(x) x?a+bx?a+b. Ainsi, siFest uniformément continue surR, nécessairement la fonctionx?→F(x) xest majorée sur[1,+∞[. http ://www.maths-france.fr 2 c?Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés.7.1)SoitPun polynôme de degré supérieur ou égal à2. On suppose sans perte de généralité, quite à remplacerPpar
-P, que dom(P)> 0. On sait alors que limx→+∞P(x) x= +∞. D"après la remarque précédente,Pn"est pas uniformément continue surR.7.2De même, puisque limx→+∞e
xx= +∞d"après un théorème de croissances comparées, la fonction exponentielle n"est pas
uniformément continue surR.8. Théorème de Heine.
8.1PuisqueGn"est pas uniformément continue sur[a,b],
?ε > 0/?η > 0,?(x,y)?[a,b]2/(|x-y|?ηet|G(x) -G(y)|> ε). εest ainsi dorénavant fixé. On applique cette définition aux cas particuliersη=1 noùnest un entier naturel non nul donné et on obtient ?ε > 0/?n?N?,?(xn,y)?[a,b]2/? |xn-yn|?1 net|G(x) -G(y)|> ε?8.2Les suites(xn)n?N?et(yn)n?N?sont à valeurs dans[a,b]et donc(xn)n?N?et(yn)n?N?sont deux suites réelles
bornées. Le théorème deBolzano-Weierstrasspermet d"affirmer que l"on peut extraire de la suite(xn)n?N?une sous-
suite(xψ(n))n?N?convergente. La suite(yψ(n))n?N?est toujours bornée et on peut en extraire une sous-suite(yσ(n))n?N?
convergente. La suite(yσ(n))n?N?est alors une sous-suite convergente de la suite(yn)n?N?. Enfin, la suite(xσ(n))n?N?est
convergente en tant que suite extraite de la suite convergente(xψ(n))n?N?et donc la suite(xσ(n))n?N?est une sous-suite
convergente de la suite(xn)n?N?.Il est connu que, puisqueσest une application strictement croissante deN?dans lui-même, on a en particulier?n?N?,
σ(n)?net donc
?n?N?,??xσ(n)-yσ(n)???1σ(n)?1net??G(xσ(n)) -G(yσ(n))??> ε.
8.3Puisque?n?N?,??xσ(n)-yσ(n)???1
n, le théorème des gendarmes permet d"affirmer que limn→+∞?xσ(n)-yσ(n)?=0. Puisque les suites(xσ(n))n?N?et(yσ(n))n?N?sont convergentes, on peut alors écrire lim et donc limPour toutn?N?,a?xσ(n)?b, par passage à la limite quandntend vers+∞on obtienta?x?b. PuisqueGest
continue sur[a,b]et en particulier enx, on doit avoir limn→+∞?G(xσ(n)) -G(yσ(n))?=G(x) -G(x) =0. Ceci contredit le
fait que?n?N?,??G(xσ(n)) -G(yσ(n))??> ε. Il était donc absurde de supposer queGn"était pas uniformément continue
sur[a,b]. Le théorème deHeineest démontré.9.La fonction exponentielle est continue sur tout segment contenu dansR. D"après le théorème deHeine, la fonction
exponentielle est donc uniformément continue sur tout segment deR. Mais d"après la question 7.2, la fonction exponentielle
n"est pas uniformément continue surR. L"implication ((Guniformément continue sur tout segment contenu dansJ)?(G
uniformément continue surJ)) est donc une implication fausse.Problème 2 : marches aléatoires
Partie A : quelques résultats d"analyse
1.1.1Soitk?N?. La fonctiont?→1
test continue et décroissante sur[k,k+1]. Par suite, pour tout réeltde[k,k+1], on a 1 k+1?1t?1k. D"après l"inégalité de la moyenne, on a alors 1 k+1=(k+1) -kk+1?? k+1 k1tdt?(k+1) -kk=1k. http ://www.maths-france.fr 3 c?Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés.1.2Soitn?1. Pour toutk??1,n?,?
k+1 k1tdt?1k. En sommant ces inégalités, on obtient H n=n? k=11 k?n? k=1? k+1 k1tdt=? n+111tdt=ln(n+1).
Soitn?2. Pour toutk??2,n?,1
k?? k k-11tdt. En sommant ces inégalités, on obtient n k=21 k?n? k=2? k k-11tdt=? n11tdt=ln(n),
puis en rajoutant1à chaque membre de l"inégalité, on obtientHn?1+ln(n). Cette dernière inégalité reste vraie pour
n=1carH1=1et on a donc montré que ?n?N?, ln(n+1)?Hn?1+ln(n).Soitn?2. Alors ln(n)> 0et en divisant les deux membres de l"encadrement précédent par ln(n), on obtientln(n+1)ln(n)?
H nln(n)?1+1ln(n). Quandntend vers+∞,1+1ln(n)tend vers1et d"autre part,ln(n+1)ln(n)tend vers1car ln(n+1)≂ln(n).
Le théorème des gendarmes permet alors d"affirmer que Hn ln(n)tend vers1ou encore que H n≂n→+∞ln(n).2.Soitn?N?.Kn+1-Kn=1(n+1)2> 0. Donc la suite(Kn)n?N?est strictement croissante. D"autre part, pourn?2,
K n=1+n? k=21 k×k?1+n? k=21(k-1)×k=1+n? k=2?1k-1-1k?
=1+1-1 n(somme télescopique) ?2.ce qui reste vrai pourn=1. Ainsi, la suite(Kn)n?N?est croissante et majorée par2et donc la suite(Kn)n?N?converge.
3.Déterminons un équivalent deanquandntend vers+∞:
a n=⎷ n4n×(2n)!n!2
n→+∞⎷ n4n×?
2n e?2n⎷4πn
??n e? n⎷2πn?2=⎷
n n n×⎷ 4π2π=1⎷π.
lim n→+∞an=14.Soitn?N?.
a n+1 an=⎷ n+1 n+1 puis a n+1 an-1=2n+1-2⎷ n⎷n+12⎷n⎷n+1=?
n?2-2⎷n⎷n+1+?⎷n+1?22⎷n⎷n+1=?⎷
n+1-⎷n?22⎷n⎷n+1.
http ://www.maths-france.fr 4 c?Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés.5.On en déduit que pour toutn?N?,an+1an-1 > 0puis quean+1> an(caran> 0). Ainsi, la suite(an)n?N?est
strictement croissante et tend vers 1 ⎷πd"après la question 3. Mais alors ?n?N?,an?1 6.6.1Soientaetbdeux réels.
(a+b)2-4ab=a2-2ab+b2= (a-b)2?0, et donc(a+b)2?4ab.6.2Soitn?N?.⎷
n+1-⎷n=1⎷n+⎷n+1. De plus, d"après la question précédente,?⎷n+⎷n+1?2?4⎷n⎷n+1.
Par suite,
7.7.1Soitn?N?. On sa it déjà quean+1-an?0. Ensuite,
a n+1-an=an?an+1 an-1? =an?⎷ n+1-⎷n?22⎷n⎷n+1(d"après la question 4)
×14?n(n+1)×12?n(n+1)(d"après les questions 5 et 6.2) 18n(n+1)⎷π.
?n?N?,0?an+1-an?18n(n+1)⎷π.
7.2L"inégalité est claire sip=k. Soientketpdeux entiers naturels tels que1?< p.
a p-ak=p-1? i=k(ai+1-ai) (somme télescopique) p-1? i=k18i(i+1)⎷π(d"après la question 7.2)
18⎷πp-1?
i=k?1i-1i+1?
=18⎷π?1k-1p?
(somme télescopique) 18k⎷π.
7.3kétant fixé, on fait tendrepvers+∞dans l"encadrement précédent. D"après la question 3, on obtient
?k?N?,0?1 ⎷π-ak?18k⎷π.Partie B : marche aléatoire sur une droite
http ://www.maths-france.fr 5 c?Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés.1.Pour tout entier naturel non nuln,Un=2n?
k=1O k. 2.2.1Soitk?0. Une marche aléatoire de l"instant0à l"instantks"identifie à unk-uplet(x1,x2,...,xk)d"éléments
de l"ensemble{-1,1}. L"abscisse de la particule à l"instantkestx1+x2+...+xkpuis l"abscisse de la particule est
x1+x2+...+x2k+x2k+1. Modulo2,x1+x2+...+x2k+x2k+1≡1+1+...+1=2k+1≡1. Ainsi, l"abscisse de la
particule à l"instant0est un nombre impair et en particulier n"est jamais égale à0. Doncp(O2k+1=1) =0.
2.2Soitk?1. Le nombre total de2k-uplets d"éléments de{-1,1}est22k=4k. D"autre part, une marche aléatoire de
l"instant0à l"instant2kaboutissant enOs"identifie à un2k-uplet(x1,...,x2k)d"éléments de{-1,1}tel quex1+x2+...+
x2k=0c"est-à-dire un2k-uplet(x1,...,x2k)d"éléments de{-1,1}contenant de1que de-1. Il y a?2k
k? tels2k-uplets, 2k k? étant le nombre de choix de l"emplacement deknombres1dans2kplaces. Finalement,p(O2k=1) =? 2k k? 4k.3.Soitk?N?.E(O2k+1) =0×p(O2k+1=0) +1×p(O2k+1=1) =0. D"autre part,
E(O2k) =0×p(O2k=0) +1×p(O2k=1) =1
4k? 2k k?L"espérance étant linéaire
E(Un) =2n?
k=1E(Ok) =n? k=1E(O2k) =n? k=11 4k? 2k k? Montrons alors par récurrence que?n?1,E(Un) =2n+1 4n? 2n n? -1.Pourn=1,E(Un) =1?
k=11 4k? 2k k? =24=12et2n+14? 2n n? -1=34×2-1=12. L"égalité est donc vraie quandn=1.Soitn?1. Supposons queE(Un) =2n+1
4n? 2n n? -1.E(Un+1) =E(Un) +1
4n+1?2(n+1)
n+1? =2n+14n? 2n n? -1+14n+1? 2n+2 n+1? 1 4n+1?4(2n+1)?2n
n? +?2n+2 n+1?? -1=14n+1?4(2n+1)(n+1)2(2n+2)(2n+1)+1??2n+2
n+1? -1 14n+1(2(n+1) +1)?2(n+1)
n+1? -1. Le résultat est démontré par récurrence. ?n?1,E(Un) =2n+1 4n? 2n n? -1.4.E(Un) =2n+1⎷n⎷
n 4n? 2n n?-1=(2n+1)an⎷n-1. D"après la question 3 de la partie A,(2n+1)an⎷n≂n→+∞2n⎷n⎷π=
2 n⎷π. Puisque limn→+∞2⎷ n⎷π= +∞, on en déduit queE(Un)≂n→+∞2⎷
n⎷π.Partie C : marche aléatoire sur un plan
1.Pour toutn?1,Un=2n?
k=1O k. http ://www.maths-france.fr 6 c?Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés.2.Soitk?0. Si une marche dans le plan aboutit à l"origine à l"instantk, alors la projetée de cette marche sur l"axe
(Ox)aboutit aussi à l"origine. D"après la partie B, la projetée de la particule sur(Ox)n"est jamais enOà l"instant2k+1
et donc la particule n"est jamais enOà l"instant2k+1. On en déduit quep(O2k+1=1) =0.Soitk?1. Une marche entre l"instant0et l"instant2kaboutit enOsi et seulement si ses projections sur(Ox)et(Oy)
aboutissent enO. La probabilité demandée est donc p(O2k=1) =?1 4k? 2k k?? 2 =?ak⎷k? 2 =a2kk.3.La question précédente fournit aussi?k?0,E(O2k+1) =0et?k?1,E(O2k) =a2k
k.Soitn?1.E(Un) =2n?
k=1E(Ok) =n? k=1E(O2k) =n? k=1a 2 k k.4.Soitk?1. D"après la question 7.3 de la partie A,0?1
⎷π-ak?18k⎷πet donc1⎷π-18k⎷π?ak?1⎷πpuis 1 kπ?1-18k?
2 ?a2kk?1kπ. D"autre part, 1-1 8k? 2 =1-14k+164k2?1-14k, et doncak?1 kπ?1-18k?
2quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] continuité traduction
[PDF] continuité ou continuation
[PDF] continuation définition
[PDF] fonction de plusieurs variables continuité exercices corrigés
[PDF] prolongement par continuité dune fonction
[PDF] calcul limite fonction 2 variables
[PDF] fonction ? deux variables réelles
[PDF] limites et continuité des fonctions de plusieurs variables
[PDF] fonction de plusieurs variables cours mp
[PDF] montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle
[PDF] montrer qu'une fonction est continue sur r
[PDF] continuité et dérivabilité
[PDF] continuité d'une fonction en un point exercice
[PDF] prolongement par continuité exemple