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Lycée Pierre de Fermat 2019/2020

MPSI 1TDIntégration

1 Continuité uniforme.

1.1 Manipulations techniques élémentaires.

?Exercice1.1. Soient(a,b,c)?R

3tels que-∞6a < b < c6+∞.

Montrer que, si une fonctionfdéfinie sur]a,c[est uniformément continue sur]a,b]et sur[b,c[, alors elle est

uniformément continue sur]a,c[. ?Exercice1.2. Structure des fonctions uniformémen tcon tinuessur I.

SoitIun intervalle réel. On noteC0u(I,R)l"ensemble des applications uniformément continues surI.

1. Mon trerque C0u(I,R)est un sous-espace vectoriel de(C0(I,R),+,·). 2.

Mon trerqu eC0u([0,+∞[,R)n"est pas un sous-anneau de(C0([0,+∞[,R),+,×). On pourra utiliser les

résultats prouvés dans l"exercice 1.7 3. Dans cette question, on supp oseque Iest borné et on note|I|sa longueur. (a) Mon trerque toute fonction uniformémen tcon tinuesur Iest bornée surI. (b) Mon trerque, dan sce cas, C0u(I,R)est un sous-anneau de(C0(I,R),+,×). ?Exercice1.3. Soitf? C0([0,1],R). Montrer que la suitevn=1n n k=0(-1)kf?kn converge et calculer sa limite. ?Exercice1.4. Encadremen td"une fonction uniformémen tcon tinuepar des fonctions affines

Montrer que toute application uniformément continue surR+est majorée par une application affine et minorée

par une autre fonction affine.

?Exercice1.5. Soitf: [0,+∞[une application uniformément continue telle que?t?R?+,limn→+∞f(nt) = 0.

Montrer quelimx→+∞f(x) = 0.

1.2 Théorème de Heine

?Exercice1.6. Montrer qu"une application définie surR, périodique et continue est uniformément continue.

?Exercice1.7. 1.

Soit f? C0(R+,R), dérivable sur]1,+∞[et à dérivée bornée sur]1,+∞[. Montrer quefest uniformément

continue surR+. 2.

En déduire que, p ourα?]0,1],pα?

?R +→R x?→?xαsix >0,

0six= 0,est uniformément continue surR+.

3.

Qu"en est-il des f onctionspαpourα >1?

?Exercice1.8. Soitfune application continue surR+qui admet une limite finie en+∞. Montrer quefest

uniformément continue surR+.

2 Fonctions continues par morceaux

2.1 Fonctions en escalier

?Exercice2.1.

Considérons la fonctionf?

???????[0,1]→R x?→? ?0six= 0,?1x six?]0,1]. 1.

Mon trerque fn"est pas en escalier sur[0,1].

2. Mon trerque, p ourtout a?]0,1],fest en escalier sur[a,1]et calculer? 1 a f(u)du. 1 ?Exercice2.2. Soitσ= (0,1,2)la subdivision uniforme de pas1de[0,2]. 1.

Déterminer une base Bet la dimension de l"espace vectorielEσ([0,2],R)des fonctions en escalier sur[0,2]

dontσest une subdivision adaptée. 2.

P osonsI:?

?E

σ([0,2],R)→R

f?→? 1 0 f(u)du,J:? ?E

σ([0,2],R)→R

f?→? 2 1 f(u)du etK:? ?E

σ([0,2],R)→R

f?→? 2 0 f(u)du

ExpliciterI,JetKdans la base duale de la baseB.

?Exercice2.3. Soitσ= (0,1,2,3)la subdivision uniforme de pas1de[0,3].

Déterminer une base et la dimension de l"espace vectorielEσ([0,3],R)des fonctions en escalier sur[0,3]dontσ

est une subdivision adaptée.

2.2 Fonctions continues par morceaux

?Exercice2.4. Soitσ= (xi)06i6n(n?N?fixé) une subdivision fixée de[a,b]. Montrer que l"ensemble

E

σ([a,b])(resp.CMσ([a,b])etCAσ([a,b])) des fonctions en escalier(resp. continues par morceaux et continues

affines par morceaux) sur[a,b]admettantσcomme subdivision adaptée est un espace vectoriel dont on précisera

la dimension et dont on donnera une base le cas échéant. ?Exercice2.5. Montrer qu"une fonction continue par morceaux sur[a,b]est bornée sur[a,b]. Peut-on dire qu"une fonction continue par morceaux sur[a,b]est bornée et atteint ses bornes? ?Exercice2.6. À prop osde fonctions con tinuespar morceaux sur un segmen t[a,b]. 1.

Démon trerqu"une fonction con tinuepar morceaux sur [a,b]qui ne prend des valeurs strictement négatives

qu"en un nombre fini de points a une intégrale positive ou nulle. 2. Mon trerqu"une fonction con vexesur le segmen t[a,b]est continue par morceaux sur[a,b].

3 Propriétés de l"intégrale de Riemann

3.1 Intégration des fonctions continues et continues par morceaux.

?Exercice3.1. Cas d"égalité dans l"inégalité triangulaire con tinuep ourles fonctions con tinues

Soitf? C0([a,b],R). Montrer que

b a f(u)du? b a |f(u)|du??f>0sur[a,b]ouf60sur[a,b]. ?Exercice3.2. Cas d"égalité p ourles fonctions con tinuespar morceaux 1.

Soit f? CM([a,b],R)telle quef>0sur[a,b]et?

b a f(u)du= 0. Montrer qu"il existe une partie finieSde[a,b]telle quefest identiquement nulle sur[a,b]\S. 2.

Soit f? CM([a,b],R). Montrer que

b a f(u)du? b a |f(u)|du??il existe une partie finieSde[a,b]telle que? ?f>0sur[a,b]\S ou f60sur[a,b]\S. 3.

Soien t(f,g)? CM([a,b],R)2. Montrer que

b a f(u)g(u)du? b a |f(u)|du?? b a |g(u)|du??? ??il existe une partie finieSde[a,b]etλ?Rtels que f=λ.gsur[a,b]\S ou g=λ.fsur[a,b]\S. ?Exercice3.3.

Soitf? C0([0,1],R)telle que?

1 0 f(u)du=12 . Montrer qu"il existex0?[0,1]tel quef(x0) =x0. 2 ?Exercice3.4. Soient(f,g)? C0([0,1],R+)2telles que?x?[0,1],f(x)g(x)>1. Montrer que? 1 0 f(u)du? 1 0 g(u)du>1. ?Exercice3.5.

Soitf? C0([0,1],R)telle que?

1 0 f2(u)du=? 1 0 f3(u)du=? 1 0 f4(u)du. 1.

Calculer

1 0 (f2(u)-f(u))2du. 2. En déduire que fest soit identiquement nulle sur[0,1], soit constante égale à1. 3.

Retrouv erce résultat directe ment(sans utiliser la question 1) en utili santla caractérisation du cas d"égalité

de l"inégalité de Cauchy-Schwarz pour les fonctions continues sur un segment.

3.2 Sommes de Riemann.

?Exercice3.6. Démontrer les égalités suivantes : lim n→+∞n k=1nn

2+k2=π4

,limn→+∞n k=1kn

2sin?kn

=⎷2sin

1-π4

=-⎷2cos ?π4 + 1? = sin(1)-cos(1). ?Exercice3.7. Montrer que la suite(un)n?N?de terme généralun=1n n? k=1? n+k??1n converge vers4/e. ?Exercice3.8. Montrer que la suite(un)n?N?de terme généralun=?(2n)!n!(2n)n? 1n converge vers2/e. ?Exercice3.9. Étudier les suites de terme généraln? p=1lnn2n2+ 3pnetn? p=1pn ⎷e p. On précisera essentiellement leur comportement asymptotique. ?Exercice3.10. Un calcul d"équiv alent.

Déterminer un équivalent de la suiteun=?

(n+ 1)(n+ 2)...(n+n-1)(n+n)? 1n ?Exercice3.11. 1.

Mon trerque ?x??

-12 ,12 ,|ln(1 +x)-x|62x2. 2. En déduire que, si f? C0([a,b],R)(a < b), alorslimn→+∞n k=1?

1+b-an

f? a+kb-an = exp??b a f(u)du? ?Exercice3.12. Un calcul d"in tégralvia une factorisation de p olynôme. Considérons la fonctionF:R\ {-1,1} →R, définie, pour toutx?R\ {-1,1}, par

F(x) =?

0 ln(x2-2xcosθ+ 1)dθ . 1.

Justifier que Fest bien définie surR\ {-1,1}.

2. Résoudre, p ourtout n?N?, dansCl"équationz2n= 1. 3.

En déduire l"iden tité

n? k=0(x2-2xcos(kπ/n) + 1) = (x2n-1)(x2-1). 4. Calculer, en fonction des v aleursde x, la quantité lim n→+∞1n ln(|x-1|2) +n? k=1ln(|x2-2xcos(kπ/n) + 1|)? lorsqu"elle existe. 5.

En déduire que F(x) =?0si|x|<1,

2πln(|x|)si|x|>1

3

3.3 Intégration de fonctions complexes d"une variable réelle sur un segment.

?Exercice3.13. 1.

Démon trerque ,si fest une fonction continue d"un intervalle réelIdansCet siF:I→Cest une fonction

dérivable (c"est à dire que ses parties réelle et imaginaire le sont) vérifiant pour toutu?I,F?(u) =f(u),

alors, pour tout[a,b]?I,? b a f(u)du=F(b)-F(a). 2.

En déduire le c alculrapide de

4⎷π

0 u3e-iu4du. 3. (application très utile) P ourtout x?RetA?R+, posonshA(x) =? A 0 cos(xt)e-tdt. ExprimerhA(x)

explicitement en fonction dex. On identifierahA(x)comme la partie réelle de l"intégrale d"une certaine

fonction à valeurs complexes pour ensuite calculer l"intégrale obtenue.

CalculerlimA→+∞hA(x)que vous noterez?

0 cos(xt)e-tdtl"année prochaine. ?Exercice3.14. 1.

Calculer, p ourtout ??R,I(?) =?

0 eiθdθetJ(?) =? 0 eθ-2iθdθpuis en déduire? 0 eθcos(2θ)dθet 0 eθsin(2θ)dθ. 2.

Calculer, p ourtout m?Z,Im=12π?

-πeimθdθ. ?Exercice3.15. Montrer que, pour toutP?R[X],? 1 -1P(t)dt=-i? 0 eiθP(eiθ)dθ.

t=eiθest-il un changement de variable? pour démontrer la relation, on observera qu"elle est vérifiée sur les

monômes avant de conclure par linéarité de l"intégrale. ?Exercice3.16. SoitP(X)?C[X]fixé. Il existe(a0,...,an)?Cn+1tels quean?= 0etP(X) =n? k=0a kXk. 1. Mon trerque, p ourtout k?[[0,n]],?r?R?+,akrk=12π? 2π 0 e-ikθP(reiθ)dθ. 2. En déduire qu"un p olynômeb ornésur Cest nécessairement constant. 3. Retrouv erle ré sultatprécé dentdirectemen t. 4.

Mon trerque

12π?

2π 0 |P(reiθ)|2dθ=n? k=0|ak|2r2k.

3.4 Techniques de calculs d"intégrales, intégration par parties, changement de va-

riable. ?Exercice3.17. A dditivitéde l"in tégrale,relation de Chasles. Calculer 2 0 |u|u2du,? 1 -1|u|u2du,? 0 -1|u|u2du,? 1 -1min(2,eu)udu,? 2 1 u?eu?du.quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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