[PDF] UE MAT234 Notes de cours sur les fonctions de plusieurs variables

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UE MAT234

Notes de cours sur les fonctions de plusieurs variables

1 Fonctions de plusieurs variables reelles

1.1 Denitions generales

1.1.1 Denition

IR n=IRIR:::IRest l'ensemble desn-uplets de reelsx= (x1;:::;xn). De la m^eme facon que l'on a deni les fonctions d'une seule variable reelle, on peut denir les fonctions de plusieurs variables reelles : f:EIRn!IR (x1;:::;xn)!f(x1;:::;xn) En pratique, on travaillera le plus souvent avecn= 2 oun= 3. On utilisera parfois dans ce cas la notation (x;y) ou (x;y;z) plut^ot que (x1;x2) ou (x1;x2;x3).

Exemples :

Longueur (ou norme) d'un vecteur :f(x1;:::;xn) =v

uutn X i=1x2i Temperature en un point : c'est une fonction de la position geographique (x;y;z) et du tempst:T(x;y;z;t)

1.1.2 Polyn^omes a plusieurs variables

Unpolyn^ome anvariablesest une fonction de la forme

P(x1;:::;xn) =X

p

1;:::;pna

p1;:::;pnxp11:::xpnn avec les exposantsp1;:::;pnentiers et les coecientsap1;:::;pnreels.

Ledegre totaldumon^omexp11:::xpnnestp1++pn.

Ledegre partiel par rapport a la variablexidu mon^omexp11:::xpnnestpi. Un polyn^ome est dithomogene de degreps'il est constitue de mon^omes dont le degre total est toujours egal ap. Ledegre total d'un polyn^omeest le plus haut degre total des mon^omes qui le composent. Ledegre partiel d'un polyn^omepar rapport a une variable est le plus haut degre partiel par rapport a cette variable des mon^omes qui le composent. Exemple :P(x;y;z) =x3y+z43x2z2+ 7xz3est homogene de degre 4. Ses degres partiels par rapport ax,yetzsont respectivement 3, 1 et 4. 1

1.1.3 Continuite

La denition de la continuite d'une fonction de plusieurs variables est une generalisation du cas d'une fonction d'une seule variable. Soitf:EIRn!IR.fest continue ena= (a1;:::;an) si et seulement si limx!af(x) =f(a). Cette denition peut aussi s'ecrire de la facon suivante :fest continue enasi et seulement si pour tout voisinageVdef(a), il existe un voisinageWdeatel que8w2W;f(w)2V.

Exemples :

f(x;y) =xyest continue en (0;0). En eet : lim(x;y)!(0;0)f(x;y) = 0 =f(0;0).

Soitfdenie parf(x;y) =x3yx

2+y2si (x;y)6= (0;0), etf(0;0) = 0.fest continue en

(0;0). En eet, 0 jf(x;y)j jxyjx2x

2+y2 jxyj. D'ou lim(x;y)!(0;0)f(x;y) = 0 =f(0;0).

Soitfdenie parf(x;y) =xyx

2+y2si (x;y)6= (0;0), etf(0;0) = 0.fn'est pas

continue en (0;0). En eet, en choisissant par exempley=x, on voit quef(x;x) = 1=2, qui ne tend pas versf(0;0) = 0 quandxtend vers 0. Graphiquement, cela se traduit par une rupture dans le dessin defau voisinage de (0;0).

1.1.4 Generalisation : fonctions de IR

nvers IRp On peut generaliser de facon naturelle les fonctions deIRnversIRet introduire des fonctions deIRnversIRppourp >1 : f:EIRn!IRp ou chaque fonctionfiest une fonction deIRnversIR. Exemple :Une station meteo mobile fournit la temperatureT, la pressionP, l'humidite et la vitesse du vent (u;v;w). C'est donc une fonction deIR4versIR6: M(x;y;z;t) = (T(x;y;z;t);P(x;y;z;t);(x;y;z;t);u(x;y;z;t);v(x;y;z;t);w(x;y;z;t)).

1.2 Fonctions de deux variables reelles

On considere icifdeIR2versIR.

1.2.1 Representations graphiques

Representation 3-D: on trace en perspective dansIR3la surface formee des points (x;y;f(x;y)). Representation par lignes de niveaux: on trace dans le plan les lignes isovaleurs (ou lignes de niveau) de la fonction. L'isoligne de niveauKestf(x;y)=f(x;y) =Kg 2 Exemple :La ligne de niveauK(K0) de la fonctionf(x;y) =x2+y2est le cercle de centre 0 de rayonpK.

1.2.2 Coordonnees polaires

Un pointM(x;y) du plan peut aussi ^etre repere par sescoordonnees polaires(r;), denies parx=rcos,y=rsin, avecr0 et2[0;2[.rest appelerayon, etangle polaireouargument. Ce changement de coordonnees (x;y)!(r;) est bijectif deIR2f(0;0)gversIR +[0;2[.

Le changement inverse est :r=px

2+y2, cos=xpx

2+y2, sin=ypx

2+y2.

1.3 Fonctions de trois variables reelles

On considere icif(x;y;z), deIR3versIR.

1.3.1 Coordonnees cylindriques

Un pointM(x;y;z) deIR3peut aussi ^etre repere par sescoordonnees cylindriques (r;;z), denies parx=rcos,y=rsin, avecr0 et2[0;2[. (r;) est donc l'expression en coordonnees polaires de (x;y).

1.3.2 Coordonnees spheriques

Un pointM(x;y;z) deIR3peut aussi ^etre repere par sescoordonnees spheriques(r;;'), denies parx=rcossin',y=rsinsin',z=rcos', avecr0,2[0;2[ et'2[0;]. C'est un systeme de reperage usuel sur une sphere :rest appelerayonou distance au centre, longitude,'colatitude(=2'est la latitude).

2 Derivation d'une fonction de plusieurs variables

2.1 Derivees premieres

SoitfdeIRnversIR, (e1;:::;en) la base canonique deIRn, eta2IRn. DenitionSoitdun vecteur deIRn. On appellederivee directionnelledefau point adans la directiond, notee@f@d(a) : @f@d(a) = lim!0f(a+d)f(a) = lim!0f(a1+d1;:::;an+dn)f(a1;:::;an) si elle existe La derivee directionnelle@f=@dest donc une fonction deIRnversIR. 3

Exemples :

La pente d'un relief dans une direction donnee est la derivee directionnelle dans cette direction.

Soitf(x;y) =x3yyetd= (12

;p3 2 ). On a :@f@d(x;y) =32 x2y+p3 2 (x31). En physique, on parle souvent dederivee normaleet dederivee tangentiellepour designer la derivee directionnelle en un point d'une courbe ou d'une surface donnee, dans la direction normale ou tangente a cette courbe ou surface. DenitionOn appellederivee partielledefpar rapport a la i-eme variablexila derivee directionnelle defdans la directionei. Elle est notee@f@x i. En pratique on calcule@f=@xicomme une derivee classique, en supposant les variables x

1,:::,xi1,xi+1,:::,xnconstantes et en derivant par rapport axi.

DenitionLe vecteur @f@x

1(a);:::;@f@x

n(a)! est appelegradient defau point a, note gradf(a) ourf(a).

ProprieteSirf(a) existe, alors@f@d(a) =rf(a).d

DenitionsOn dit quefestde classeC1enasi chaque derivee partielle existe au voisinage deaet est continue ena. DenitionOn suppose quefest de classeC1ena. On appelledierentielle defen a l'application lineaire noteeDf[a] denie par

Df[a] :IRn!IR

h= (h1;:::;hn)!Df[a](h) =n X i=1@f@x i(a)hi=rf(a).h

On utilise souvent la notationdxiau lieu dehi.

Exemple : pourf(x;y) =x3yy, on aDf[(x;y)](dx;dy) = 3x2y dx+ (x31)dy. ProprieteOn a alors :f(a+h) =f(a) +Df[a](h) +o(khk). C'est l'equivalent de la formule des accroissements nis pour les fonctions d'une seule variable. 4 DenitionSoitfdeIRnversIRp:f(x1;:::;xn) = (f1(x1;:::;xn);:::;fp(x1;:::;xn)). fest de classeC1ena2IRnsi et seulement si chaque application composantefil'est.

La dierentielle defena2IRns'ecrit alors :

Df[a](h) = (Df1[a](h);:::;Dfp[a](h)), soit en abregeDf[a] = (Df1[a];:::;Dfp[a]). Ainsi, puisqueDfi[a](h) =rfi.h, on a, avec des notations en vecteurs colonnes :

Df[a](h) =0

B B@Df

1[a](h)...

Df p[a](h)1 C CA=0 B

BBBBB@@f

1@x

1[a]@f1@x

n[a] @f p@x

1[a]@fp@x

n[a]1 C

CCCCCA0

B B@h 1... h n1 C CA; soit,Df[a](h) =Jf(a).h, ouJf(a) est appeleematrice jacobienne defau point a. ExempleOn reprend l'exemple du changement de variables en coordonnees polairesx= rcos,y=rsin. L'application des resultats precedents donne dx dy! = cosrsin sin rcos! dr d!

2.2 Derivation de fonctions composees

ProprieteSoitf:E1IRn!IRpetg:E2IRp!IR. On suppose, pour quegfsoit denie, quef(E1)E2. Soita2E1. On suppose quefest dierentiable enaet quegest dierentiable enf(a). Alorsgfest dierentiable enaetD(gf)[a] =Dg[f(a)]Df[a]. Matriciellement, ceci est equivalent aJgf(a) =Jg(f(a))Jf(a) Application au changement de variablesSoit un changement de coordonnees (x1;:::;xn)! (y1;:::;yn). Soitfune fonction de classeC1etg=f :g(x1;:::;xn) =f(y1;:::;yn). La propriete precedente s'ecrit

8i= 1;:::;n@g@x

i(x1;:::;xn) =nX k=1@f@y k(y1;:::;yn)@yk@x i Cette formule est parfois appeleeformule des derivees totales. ExempleSoit une fonctionfdeIR2versIR. On notegson expression en coordonnees polairesg(r;) =f(rcos;rsin) =f(x;y). On a alors :

8>>>>><

>>>>:@g@r =@f@x @x@r +@f@y @y@r = cos@f@x + sin@f@y =xpx

2+y2@f@x

+ypx

2+y2@f@y

@g@ =@f@x @x@ +@f@y @y@ =rsin@f@x +rcos@f@y =y@f@x +x@f@y qui s'inverse en

8>>>>><

>>>>:@f@x = cos@g@rquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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