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Fonctions de plusieurs variables. Page 5 sur 33. B) Différentielle d'une fonction différentiable. Théorème : Si f est différentiable en A alors il existe

UE MAT234 Notes de cours sur les fonctions de plusieurs variables

La définition de la continuité d'une fonction de plusieurs variables est une généralisation du cas d'une fonction d'une seule variable. Soit f : E ? IRn ??

1 Fonctions de plusieurs variables

Cours de Mathématiques II. Chapitre 2 surface définie comme le graphe d'une fonction de deux variables (x y) qui ne dépend que.

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Le but de ce cours est de généraliser la notion de dérivée d'une fonction d'une variable réelle à valeurs réelles à partir de la théorie du calcul

Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Par contre on peut intégrer une fonction de deux variables sur un plan`etes sur la sonde au cours de son trajet (ce calcul est — entre autre ...

Chapitre 2 - Continuité dune fonction de plusieurs variables

En outre bon nombre des propriétés des fonctions continues connues pour les fonctions d'une variable seront encore valables ici. 2.1 Fonctions continues. Soit

Fonctions de plusieurs variables

voulez décrire l'évolution de la pression P et la température T au cours du temps Nous allons apprendre `a étudier les fonctions de plusieurs variables.

Cours 2: Variables aléatoires continues loi normale

Definition. Une variable aléatoire possède une densité si sa fonction de répartition F est dérivable. La dérivée notée f est appelée densité de probabilité de

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FIGURE 2.2 – Graphe de la fonction h(x y) = x2 ? y2. 2.1.2 Fonctions vectorielles de plusieurs variables. Définition 2.1.3. Une fonction vectorielle de n

Chapitre 3 - Dérivées partielles différentielle

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Le modèle de base d'une fonction à n variables réelles et p composantes (n Le cours général sur les notions de limites et de continuité a été effectué

Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?
Ainsi, pour une fonction de deux variables (x, y) ?? f(x, y) : — le graphe de f est un sous-ensemble de l'espace R3 muni des coordonnées (x, y, z); — l'ensemble de définition de f est un sous-ensemble du plan horizontal muni des coor- données (x, y); — le dessin des lignes de niveau de f se situe lui-aussi dans le plan
Comment étudier une fonction à deux variables ?
Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres réels (x, y) associe au plus un nombre réel. Si f est une telle fonction, on note f : R × R ? R. Si f associe un nombre à (x, y), on note f(x, y) ce nombre. On dit qu'on peut évaluer f en (x, y) et f(x, y) est la valeur de f en (x, y).
La différentielle au point (x, y) d'une application à deux variables f est l'expression dfx,y = ?f ?x (x, y)dx + ?f ?y (x, y)dy. Les dx, dy et df de l'expression ci-dessous représentent de « petits accroissements » de la fonction et de chacune des variables respectivement.

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Université Moulay Ismaïl

Faculté des Sciences et Techniques

Département de Mathématiques

Filière : Tronc commun MIP

Module : M135

ANALYSE 3 :

Fonctions de plusieurs variables

et calcul des intégrales multiples

Professeur : Sidi Mohamed DOUIRI

Notes de Cours

Table des matières

1 Notions Topologiques dansRn1

1.1 L"espace vectoriel norméRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.1.1 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Notions topologiques dansRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.2.1 Boules ouvertes, boules fermées et parties bornées . . . .

1.2.2 Les ouverts et les fermés deRn. . . . . . . . . . . . . . .4

1.2.3 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4 Suites deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.2.5 Adhérence, Intérieur et Frontière d"une partie deRn. . .6

1.2.6 Parties compacts deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.2.7 Parties convexes deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

2 Fonctions de plusieurs variables réelles

2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Fonctions numériques de plusieurs variables . . . . . . .

2.1.2 Fonctions vectorielles de plusieurs variables . . . . . . .

2.2 Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1 Les dérivées partielles premières (ou d"ordre 1) . . . . .

2.3.2 La différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3 La relation entre la différentiabilité et les dérivées partielles

2.3.4 La différentiabilité d"une fonction composée . . . . . . .

2.3.5 Théorème des accroissements finis (T.A.F) . . . . . . . .

2.3.6 Dérivées partielles d"ordre supérieur . . . . . . . . . . .

2.3.7 La matrice Hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.8 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1 Condition nécessaire d"existence d"un extremum . . . . .

2.4.2 Condition suffisante d"existence d"un extremum . . . . .

30
I

Analyse 3 (Notes de cours)/ S3/FSTE S.M. Douiri

2.5 Difféomorphismes et Théorème des fonctions implicites . . . . .

2.5.1 Difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.2 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . .

3 Calculs des intégrales doubles et triples

3.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Intégration sur un rectangle deR2. . . . . . . . . . . . .35

3.1.2 Calcul des intégrales doubles sur un rectangle . . . . . .

3.1.3 Intégration sur une partie bornée deR2. . . . . . . . . .37

3.1.4 Intégrale double et changement de variables . . . . . . .

3.2 Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Théorème de Fubini dansR3. . . . . . . . . . . . . . . .39

3.2.2 Changement de variables dansR3:. . . . . . . . . . . . .40

Chapitre1Notions Topologiques dansRn

1.1 L"espace vectoriel norméRn

R nest l"espace produit denensembles identiques àR, i.e R n=R R|{z} nfois;oùn2N: Un élémentxdeRns"écrit sous la formex= (x1;x2;:::;xn);où lesxisont des réels. L"espaceRnpeut être muni d"une structure d"espace vectoriel surR:Il suffit de poser pour tout couplex= (x1;x2;:::;xn); y= (y1;y2;:::;yn)et pour tout2R: x+y= (x1+y1;x2+y2;:::;xn+yn)etx= (x1;x2;:::;xn): R estlabasecanoniqueoùe1= (1;0;:::;0); e2= (0;1;0;:::;0)eten= (0;:::;0;1):

1.1.1 Distances

Définition 1.1.1.SoitEun ensemble quelconque. On appelle distance (ou métrique) surEtoute applicationddéfinie deEEà valeurs dansR+;vérifiant les propriétés suivantes : i)8(x;y)2EE; d(x;y) = 0,x=y(Séparation); ii)8(x;y)2EE; d(x;y) =d(y;x)(Symétrie); iii)8(x;y;z)2EEE; d(x;y)d(x;z)+d(z;y)(Inégalité triangulaire). 1

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Exemples 1.1.2.

1. L "applicationdé finiepar d(x;y) =jxyjest une distance surR: 2.

L "applicationdéfinie par d(x;y=jxyj+j1x

1y jest une distance sur R 3.

L "applicationdéfinie sur EEpard(x;y) =0six=y;

1six6=yest une dis-

tance surEappelée la distance discrète et(E;d)est un espace métrique discret.

1.1.2 Normes

Définition 1.1.3.SoitEunK-espace vectoriel (K=RouC). On appelle norme sur Etoute applicationNdeEdansR+vérifiant les propriétés suivantes : i)8x2E; N(x) = 0()x= 0(Séparation); ii)8x2E;82K; N(x) =jjN(x)(Condition d"homogéneité); iii)8(x;y)2EE; N(x+y)N(x)+N(y)(Inégalitétriangulaire). N(x)la norme dexest souvent notéekxkEoukxk:L"espaceEmuni de cette norme est appelé espace vectoriel normé (e.v.n). On le note(E;k k):

Exemples 1.1.4.

La valeur absolue e stune norme sur R:

2. On peut munir l"espace vectoriel Rnpar les normes usuellesk k1,k k2et k k

1en posant pour chaque élémentx= (x1;:::;xn)deRn:

kxk1=nP i=1jxij; kxk2= nP i=1x2i 12 (Norme euclidienne); kxk1= sup i=1;:::;njxij(Norme sup ou infini): Exercice.Vérifier que les applications précédentesk k1,k k2etk k1sont des normes surRn:

Remarque 1.1.5.

1. T outespace vectoriel normé (E;jj jj)est un espace métrique dont la dis- tance est définie pard(x;y) =jjxyjj:Cette distance est appelée dis- tance associée à la normejj jjet on ajjxjj=d(x;0)pour toutx2E: 2. On peut tr ouverdes espaces métriques dont la distance n"est associée à aucune norme. 2

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Proposition 1.1.6.Soit(E;jj jj)un espace vectoriel normé.

8 x2E;jjxjj 0etjj xjj=jjxjj:

8 x1;:::;xp2E;81;:::;p2K;jjPp

i=1ixijj Pp i=1jijjjxijj:

8 x;y2E;j jjxjj jjyjj j jjxyjj:

Preuve."Exercice".

Définition 1.1.7.Deux normesN1etN2, définies sur un même espace vectoriel norméE;sont dites équivalentes s"ils existent deux réels strictement positifset tels que N

1(x)N2(x) N1(x);8x2E:

On écrit alorsN1N2:

Exercice.Montrer que les trois normes usuellesjj jj1;jj jj2etjj jj1définies sur R nsont équivalentes. Remarque 1.1.8.Généralement, dans un espace vectoriel normé de dimension finie ( en particulier dansRn) toutes les normes sont équivalentes.

1.2 Notions topologiques dansRn

1.2.1 Boules ouvertes, boules fermées et parties bornées

Définitions 1.2.1.Soita2Rnetr2R+:

1. La partie S(a;r) =fx2Rn:jjxajj=rgest appeléesphère de centrea et de rayonr. 2. On appelle boule ouverte de centreaet de rayonrla partie deRnnotée B(a;r)(ouBjj jj(a;r)pour montrer la norme utilisée) et définie par

B(a;r) =fx2Rn:jjxajj< rg:

3. On appelle boule fermée de centreaet de rayonrla partie deRnnotée B

0(a;r)(ouBf(a;r)ouB0jj jj(a;r)) et définie par

0(a;r) =Bf(a;r) =fx2Rn:jjxajj rg:

Remarques 1.2.2.

1. Dans le c asoù a= 0Rnetr= 1, on parle des boules et sphèresunitées. 2. Les boules(resp.sphères)ontdesformesgéométriquesdifférentesselon les normes utilisées. 3

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Exemples 1.2.3.

?Dans(R2;jj jj1): S jj jj1((0;0);1) =f(x;y)2R2:jj(x;y)jj1= 1g=f(x;y)2R2:jxj+jyj= 1g etBjj jj1((0;0);1) =f(x;y)2R2:jj(x;y)jj1<1g=f(x;y)2R2:jxj+jyj<1g: ?Dans(R2;jj jj2): S jj jj2((0;0);1) =f(x;y)2R2:jj(x;y)jj2= 1g=f(x;y)2R2:px

2+y2= 1g

etBjj jj2((0;0);1) =f(x;y)2R2:jj(x;y)jj2<1g=f(x;y)2R2:px

2+y2<1g:

?Dans(R2;jj jj1): S jj jj1((0;0);1) =f(x;y)2R2:jj(x;y)jj1= 1g=f(x;y)2R2: max(jxj;jyj) = 1g

etBjj jj1((0;0);1) =f(x;y)2R2:jj(x;y)jj1<1g=f(x;y)2R2: max(jxj;jyj)<1g:FIGURE1.1 -Sphères et Boules unités pour les normesk k1;k k2etk k1respectivement

Définition et propriété 1.2.4.Une partieAdeRnest ditebornéesi elle est in- clue dans une boule (ouverte ou fermée). Dans ce cas, le diamètre deAest fini, où le diamètre est défini par diamA= supfd(a;b) : (a;b)2AAg<1: Autrement dit,Aet bornée dansRnsi, et seulement s"il existeM >0tel que pour toutx2Aon akxk M:

1.2.2 Les ouverts et les fermés deRn

Définitions 1.2.5.

1. On dit qu"une partie deRnest ouverte si elle est vide ou si pour touta2; il existe une boule ouverte de centreacontenue dans: C"est-à-dire,est un ouvert si, et seulement si,=;ou8a2;9r >0tel queB(a;r): 4

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2. On dit qu"une partie FdeRnest fermée si son complémentaire{FRnest un ouvert dansRn:

Remarques 1.2.6.

1. Généra lement,les définitions précédentes r estentles mêmes dans n"im- porte quel espace vectoriel norméE: 2. Les notions d"ouvert et de fermé dans Rnsont indépendantes de la norme choisi car toutes les normes deRnsont équivalentes.

Exemples 1.2.7.

1. Les boules ouvertes (r esp.fermées) de Rnsont des ouverts (resp. fer- més) dansRn: 2. T outepartie finie (contient un nombr efini d"éléments) de Rnest fermée.

3.;etRnsont à la fois ouverts et fermés.

Proposition 1.2.8.

i)Toute union (finie ou infinie) d"ouverts deRnest un ouvert. ii)Toute intersection finie d"ouverts deRnest un ouvert. iii)Toute union finie de fermés deRnest un fermé. iv)Toute intersection (finie ou infinie) de fermés deRnest un fermé.

Preuve."Faite au cours"

Exercice.Donner des contre-exemples pour expliquer pourquoi on ne peut pas généraliser les résultatsii)etiii)à des ensembles d"indices quelconques.

1.2.3 Voisinages

Définition 1.2.9.On dit qu"une partieVdeRnest un voisinage dea2RnsiV contient une boule de centrea:On note parV(a)l"ensemble des voisinages dea: Autrement dit,V2 V(a)si, et seulement s"il exister >0tel queB(a;r)V: Exemple 1.2.10.Pourr >0, la boule ferméeB0(a;r)est un voisinage dea:

Proposition 1.2.11.Soita2Rn:

i)SiV2 V(a)alorsa2V: ii)Toute intersection finie de voisinages deaest un voisinage dea: iii)SiV2 V(a)etVWalorsW2 V(a):

Preuve."Exercice".

Remarque 1.2.12.Dans un espace vectoriel norméE, deux normes équiva- sont des ouverts de(E;N2)et réciproquement. Il en est donc de même pour les fermés et les voisinages. 5

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1.2.4 Suites deRn

Définition 1.2.13."La convergence dansRn"

Soit(xk)k2Nune suite dansRn, c"est-à-dire,xk= (xk1;:::;xkn)2Rnpour toutk2N: On dit que la suite(xk)k2Nconverge versl2Rnsilimk!1kxklk= 0, ce qui signifie que

8" >0;9N2N;8kNon akxklk< ":

Dans ce cas, la limitelest unique et on notelimk!1xk=louxk!k!1l: Remarque 1.2.14.Si(xk)k2Nest une suite deRn;alors pour toute application ':N!Nstrictement croissante, la suite(x'(k))k2Nest appelée une sous-suite (ou suite extraite ou suite partielle) de la suite(xk)k2N:

Définition 1.2.15."Suites de Cauchy dansRn"

On dit qu"une suite(xk)k2Nd"éléments deRnest de Cauchy si

8" >0;9N2N;tel que8pN;8qNon akxpxqk< ":

Théorème 1.2.16.Soit(xk)k2Nune suite deRn, avecxk= (xk1;:::;xkn)pour tout k2N:La suite(xk)k2Nest convergente versl= (l1;:::;ln)2Rnsi, et seulement si, lesnsuites réelles(xk1)k2N;:::et(xkn)k2Nsont convergentes versl1;:::etlnrespecti- vement. On dit que la convergence dansRnest équivalente à la convergence compo- sante par composante.

Preuve."Faite au cours".

Remarques 1.2.17.Par le même principe, on peut généraliser des résultats connues pour les suites réelles au cas des suites dansRn;à savoir : 1. Une suite (xk)k2NdeRn;oùxk= (xk1;:::;xkn)pour toutk2N;est de Cauchy si, et seulement si, lesnsuites réelles(xk1)k2N;:::et(xkn)k2Nsont toutes de Cauchy. 2. T outesuite conver gentede Rnest une suite de Cauchy. La réciproque n"est pas vérifiée sauf dans un espace complet, ce qui est le cas pour (Rn;k k): 3. T outesuite conver gente(xk)k2NdeRnest bornée, c"est-à-dire qu"il existe

M >0tel quekxkk M;8k2N:De plusklimk!1xkk M:

4."Théorème de Bolzano-Weierstrass" :De toute suite bornée deRn;on

peut extraire une sous-suite qui converge.

1.2.5 Adhérence, Intérieur et Frontière d"une partie deRn

Définitions 1.2.18.SoitAune partie deRn:

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1. L "adhérencede A;notéeA(ouadh(A)), est le plus petit ensemble fermé conte- nantA:D"après la Proposition1.2.8 , l"adhérence deAn"est autre que l"inter- section de tous les fermés contenantA: 2. L "intérieurde A;notéA(ouInt(A)), est le plus grand ouvert contenu dansA: C"est la réunion de tous les ouverts contenus dansA: 3. La fr ontièrede A;notée@A(ouFr(A)), est l"ensemble des points adhérents à Aqui ne sont pas des points intérieurs àA:C"est-à-dire, @A=AnA=A\(A)c:

Remarques 1.2.19.SoitAune partie deRn:

AAA;

Aest fermé si, et seulement si,A=A;

Aest ouvert si, et seulement si,A=A;

@A=A\A c:quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

[PDF] montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle

[PDF] montrer qu'une fonction est continue sur r

[PDF] continuité et dérivabilité

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Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?

Comment étudier une fonction à deux variables ?

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Département de Mathématiques

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Module : M135

ANALYSE 3 :

Fonctions de plusieurs variables

Professeur : Sidi Mohamed DOUIRI

Notes de Cours

Table des matières

1 Notions Topologiques dansRn1

1.1 L"espace vectoriel norméRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.1.1 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Notions topologiques dansRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.2.1 Boules ouvertes, boules fermées et parties bornées . . . .

1.2.2 Les ouverts et les fermés deRn. . . . . . . . . . . . . . .4

1.2.3 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4 Suites deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.2.5 Adhérence, Intérieur et Frontière d"une partie deRn. . .6

1.2.6 Parties compacts deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.2.7 Parties convexes deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

2 Fonctions de plusieurs variables réelles

2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Fonctions numériques de plusieurs variables . . . . . . .

2.1.2 Fonctions vectorielles de plusieurs variables . . . . . . .

2.2 Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1 Les dérivées partielles premières (ou d"ordre 1) . . . . .

2.3.2 La différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3 La relation entre la différentiabilité et les dérivées partielles

2.3.4 La différentiabilité d"une fonction composée . . . . . . .

2.3.5 Théorème des accroissements finis (T.A.F) . . . . . . . .

2.3.6 Dérivées partielles d"ordre supérieur . . . . . . . . . . .

2.3.7 La matrice Hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.8 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1 Condition nécessaire d"existence d"un extremum . . . . .

2.4.2 Condition suffisante d"existence d"un extremum . . . . .

Analyse 3 (Notes de cours)/ S3/FSTE S.M. Douiri

2.5 Difféomorphismes et Théorème des fonctions implicites . . . . .

2.5.1 Difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.2 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . .

3 Calculs des intégrales doubles et triples

3.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Intégration sur un rectangle deR2. . . . . . . . . . . . .35

3.1.2 Calcul des intégrales doubles sur un rectangle . . . . . .

3.1.3 Intégration sur une partie bornée deR2. . . . . . . . . .37

3.1.4 Intégrale double et changement de variables . . . . . . .

3.2 Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Théorème de Fubini dansR3. . . . . . . . . . . . . . . .39

3.2.2 Changement de variables dansR3:. . . . . . . . . . . . .40

Chapitre1Notions Topologiques dansRn

1.1 L"espace vectoriel norméRn

1.1.1 Distances

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Exemples 1.1.2.

L "applicationdéfinie par d(x;y=jxyj+j1x

L "applicationdéfinie sur EEpard(x;y) =0six=y;

1six6=yest une dis-

1.1.2 Normes

Exemples 1.1.4.

La valeur absolue e stune norme sur R:

1en posant pour chaque élémentx= (x1;:::;xn)deRn:

Remarque 1.1.5.

Analyse 3 (Notes de cours)/ S3/FSTE S.M. Douiri

8 x2E;jjxjj 0etjj xjj=jjxjj:

8 x1;:::;xp2E;81;:::;p2K;jjPp

8 x;y2E;j jjxjj jjyjj j jjxyjj:

Preuve."Exercice".

1(x)N2(x) N1(x);8x2E:

On écrit alorsN1N2:

1.2 Notions topologiques dansRn

1.2.1 Boules ouvertes, boules fermées et parties bornées

Définitions 1.2.1.Soita2Rnetr2R+:

B(a;r) =fx2Rn:jjxajj< rg:

0(a;r)(ouBf(a;r)ouB0jj jj(a;r)) et définie par